内蒙古自治区乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）
展开乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期中考试
文科数学试卷
考试范围：选修1-1导数、选修4-4、选修1-2统计案例；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、选择题(每小题5分，共12小题，总分60分)
1、极坐标方程表示的曲线是（ ）
A．一条射线 B．两条射线
C．一条直线 D．两条相交直线
2、曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3、下列命题：
①在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于0，表示回归效果越好；
②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的把握程度越大．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、设r>0，那么直线xcosθ＋ysin θ＝r与圆 (φ是参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．视r的大小而定
5、曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线C的方程为( )
A． B． C． D．
6、以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；
③已知直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．1 B．2 C．3 D．4
7、已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线 (t为参数)的距离为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8、函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9、2020年初，新型冠状病毒(COVID-19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
周数(x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
治愈人数(y) | 2 | 17 | 36 | 93 | 142 |
由表格可得y关于x的二次回归方程为，则此回归模型第2周的残差(实际值与预报值之差)为（ ）
A．5 B．4 C．1 D．0
10、设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11、已知函数f(x)在x=x0处的导数为12，则（ ）
A．-4 B．4 C．-36 D．36
12、若不等式对任意的都成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题(每空5分，共20分)
13、已知点A的极坐标为，则它的直角坐标为 .
14、设函数．若，则a = .
15、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量进行线性相关检验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如下表：
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
r | 0.82 | 0.78 | 0.69 | 0.85 |
则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是 .
16、已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 .
三、解答题(共70分)
17、(10分)设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求的极值.
18、(12分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
19、(12分)定义在实数集上的函数，．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
20、(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气等级 | [0，200] | (200，400] | (400，600] |
1（优） | 2 | 16 | 25 |
2（良） | 5 | 10 | 12 |
3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
| 人次≤400 | 人次>400 |
空气质量好 |
|
|
空气质量不好 |
|
|
附：
P(K2 ≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
21、(12分)已知函数.
（1）若函数在时取到极值，求实数a的值；
（2）试讨论函数的单调性.
22、(12分)在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线，交于、两点.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）已知点的直角坐标为，求的值.
乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期中考试
文科数学答案
1．D 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．B 8．D 9．C 10．C 11．A 12．A
13． 14．1 15．丁同学 16．
17．（1），
曲线在点处的切线方程为，
所以，
；
（2）由（1）得，
令或，
或，
递增区间是，递减区间是，
的极大值为，极小值为.
18．（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
19．（1）∵，∴，，∴，
∴所求切线方程为，即．
（2）令，
∴，
当时，；当时，；
当时，，要使恒成立，即，
由上知的最大值在或取得，而，，
∵，∴，即．
20．（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）列联表如下：
| 人次 | 人次 |
空气质量不好 | ||
空气质量好 |
，
因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
21．.
（1）∵函数在时取到极值，
∴，解得.
经检验，当时，函数在时取到极小值，∴实数a的值为-2.
（2）由，得或.
①当时，.
由，得.
由，得或.
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
②当时，，同理可得函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
22．（1）由消去，得，
所以，即，
由，消去得，，
所以曲线的极坐标方程为，
曲线的普通方程为.
（2）将代入中，得，
设、两点所对的参数分别为，，
则，，
所以.
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