高中数学2.2 基本不等式练习题

2021-2022学年高一数学同步课时优练测（人教A版必修第一册）

一、单选题

1.已知函数 的两个零点分别为 ，则 的最小值为（    ）           

A. 8                                           B. 6                                           C. 4                                           D. 2

【答案】 C  

【解析】因为函数 的两个零点分别为 ，

所以 ， ，

所以 ，

当且仅当 ，即 时，取等号，

所以则 的最小值为4

故答案为：C

2.已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（    ）           

A. 15                                   B.                                    C. 16                                   D. 

【答案】 D  

【解析】正实数 ， 满足 ，

则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 .

故答案为：D.

 
3.已知 ，且 ，则 的最小值为（    ）           

A. 3                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 9

【答案】 A  

【解析】因为 ，故 ，

故 ，

当且仅当 时等号成立，

故 的最小值为3。

故答案为：A.

4.已知点 是以 为直径的圆上任意一点，若 则 的最大值为（  ）           

A.                                         B. 3                                        C.                                         D. 4

【答案】 A  

【解析】根据圆的几何性质可得 ，所以 ，

由基本不等式链可得： ，

因为 ，所以 ，

整理可得 ，

当且仅当 时等号成立，

所以 的最大值为 .

故答案为：A

5.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 ､ ､ ，则三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ， ，则此三角形面积的最大值为（    ）           

A.                                         B. 3                                        C.                                         D. 

【答案】 B  

【解析】由题意

，

当且仅当 ，即 时等号成立﹐

此三角形面积的最大值为3.

故答案为：B．

6.已知正数a，b满足 ，则 的最小值为（    ）           

A. 8                                        B. 9                                        C. 10                                        D. 不存在

【答案】 B  

【解析】因为正数a，b满足 ，

所以 ，

当且仅当 ，即 时，等号成立.

故答案为：B.

二、填空题

7.已知 ， 且 ，则 的最小值为________.   

【答案】   

【解析】因为 ， 且 ，

所以 ，当且仅当 ，即

或 时等号成立．

故答案为： ．

8.已知正实数a，b满足 ，则 的取值范围为________．   

【答案】 （6,9）  

【解析】由 得 ，∴ ，且 ．

∵ ，∴ ，∴ ∴ ．

则 ，

令

则 在 上递减，（因为 ），

∴ ．

令 ，则 ，

∴ = 在 上单增，

∴ ．

故答案为：(6,9)．

 9.若正数 、 满足 ，则 的最小值为________.   

【答案】   

【解析】已知正数 、 满足 ，则 ，

所以， ，

当且仅当 时，等号成立.

因此， 的最小值为 .

故答案为： .

三、解答题

10.     

（1）已知 求 的最小值   

（2）已知a，b均为正实数，且 ，求a＋b的最小值；   

【答案】 （1）解：       = ，  

当且仅当 ,即 时取等号，

  的最小值为3；
（2）解：因为a，b均为正实数，且 ， ，  

当且仅当 ，即 时取等号，结合 ，解得 ,符合题意，

∴a＋b的最小值18.

【解析】（1）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出a＋b的最小值。

11.已知 ， ，且 ．   

（1）求 的最小值；   

（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．   

【答案】 （1）解：因为 ， ，  

所以 ，

当且仅当 ，即 ， 时取等号，

所以 的最小值为9．

（2）解：因为 ， ，  

所以 ，

所以 ．

因为 恒成立，

所以 ，

解得 ，

所以 的取值范围为 ．

【解析】（1） ，利用基本不等式性质即可求得最小值．（2）利用基本不等式求出 的最小值，代入 求出 的范围即可．

12.已知 ，且 .   

（1）求 的最大值；   

（2）求 的最小值.   

【答案】 （1）解：因为 ，    

(当且仅当 ，即x=20,y=5时等号成立)

所以 ，

因此 的最大值为

（2）解：因为 ，即    

所以

(当且仅当 ，即 时等号成立)

所以 的最小值为

【解析】（1）由基本不等式变形后求得最大值；
（2）利用“1”代换得定值后，由基本不等式得最小值。