2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.2 简单的三角恒等变换(2)

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.2 简单的三角恒等变换(2)，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．计算：eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝( D )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．1D．eq \r(2)
解析：eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝
eq \r(3)cs 15°－2sin 15°•sin 30°＝eq \r(3)cs 15°－sin 15°＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 15°－\f(\r(3),2)cs 15°))＝－2sin(－45°)＝eq \r(2).
2．若eq \r(3)sin α－cs α＝eq \f(\r(10),5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝( D )
A．eq \f(\r(10),5)B．－eq \f(\r(10),5)
C．eq \f(\r(10),10)D．－eq \f(\r(10),10)
解析：∵eq \r(3)sin α－cs α＝
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α－\f(1,2)cs α))＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(10),5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(10),10).
3．计算：eq \f(sin 8°＋\r(3)cs 8°,\r(2)cs 22°)＝( A )
A．eq \r(2)B．1
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(1,2)
解析：eq \f(sin 8°＋\r(3)cs 8°,\r(2)cs 22°)＝
eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 8°＋\f(\r(3),2)cs 8°)),\r(2)cs 22°)＝
eq \f(2sin(8°＋60°),\r(2)cs 22°)＝eq \f(2sin 68°,\r(2)cs 22°)＝eq \r(2).
4．函数f(x)＝sin x＋cs x的一个对称中心是( D )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))
解析：因为f(x)＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x＝－eq \f(π,4)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝0，即函数f(x)的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0)).
5．若eq \r(3)sin x＋cs x＝4－m，则实数m的取值范围是( A )
A．[2，6]B．[－6，6]
C．(2，6)D．[2，4]
解析：∵eq \r(3)sin x＋cs x＝4－m，
∴eq \f(\r(3),2)sin x＋eq \f(1,2)cs x＝eq \f(4－m,2)，
∴sineq \f(π,3)sin x＋cseq \f(π,3)cs x＝
eq \f(4－m,2)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝eq \f(4－m,2).
∵－1≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))≤1，∴－1≤eq \f(4－m,2)≤1，∴2≤m≤6.
二、多项选择题
6．已知函数f(x)＝sin xcs x＋sin2x，则下列说法正确的是( BCD )
A．f(x)的最大值为2
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)关于直线x＝－eq \f(π,8)对称
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增
解析：∵f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(1－cs 2x,2)＝eq \f(1,2)(sin 2x－cs 2x)＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(1,2)，∴f(x)max＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2)＋1,2)，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π．当x＝－eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝－1，∴直线x＝－eq \f(π,8)为对称轴．当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，综上有B，C，D正确，A不正确．
7．已知函数f(x)＝4cs x•sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋eq \r(3)＋1的图象为C，则下列结论正确的是( CD )
A．图象C关于直线x＝eq \f(π,6)对称
B．函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上单调递减
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12)))为偶函数
D．若方程f(x)－m＝0在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))上有两个实根，则m∈[eq \r(3)＋1，3)
解析：依题意，f(x)＝4cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x－,\f(\r(3),2)cs x))＋eq \r(3)＋1＝sin 2x－
eq \r(3)(2cs2x－1)＋1＝sin 2x－
eq \r(3)cs 2x＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，对于A，因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)－\f(π,3)))＋1＝1，所以图象C不关于直线x＝eq \f(π,6)对称，A错误；对于B，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，而正弦函数y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，因此函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上单调递增，B错误；对于C，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12)))＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12)))－\f(π,3)))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＋1＝2cs 2x＋1，函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12)))为偶函数，C正确；对于D，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))，则当2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))时，f(x)是递增的，函数值从0递增到3，当2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3)))时，f(x)是递减的，函数值从3递减到eq \r(3)＋1，方程f(x)－m＝0在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))上有两个实根，即函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))上的图象与直线y＝m有两个公共点，所以m∈[eq \r(3)＋1，3)，D正确．故选CD．
三、 填空题
8．已知函数f(x)＝sin 2x＋2eq \r(3)cs2x，则函数f(x)的最小正周期是π．
解析：f(x)＝sin 2x＋2eq \r(3)cs2x＝
sin 2x＋eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)＝
2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋eq \r(3)，故T＝eq \f(2π,2)＝π．
9．设φ>0，函数f(x)＝sin(2x＋φ)－eq \r(3)cs(2x
＋φ)为偶函数，则φ的最小值为eq \f(5π,6).
解析：f(x)＝sin(2x＋φ)－eq \r(3)cs(2x＋φ)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin(2x＋φ)－\f(\r(3),2)cs(2x＋φ)))＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin(2x＋φ)·cs\f(π,3)－cs(2x＋φ)sin\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ－\f(π,3)))，∵f(x)为偶函数，所以φ－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ＋eq \f(5π,6)，又∵φ>0，∴当k＝0时，φ的最小值为eq \f(5π,6).
10．如图所示，某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，则割出的长方形桌面的最大面积为eq \f(\r(2)－1,2)_m2.
解析：如图，连接OC，
设∠COB＝θ，
则0°<θ<45°，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cs θ－AD＝cs θ－sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB•BC＝(cs θ－sin θ)•sin θ＝－sin2θ＋sin θcs θ＝－eq \f(1,2)(1－cs 2θ)＋eq \f(1,2)sin 2θ＝eq \f(1,2)(sin 2θ＋cs 2θ)－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)cs(2θ－45°)－eq \f(1,2).
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，
S(矩形ABCD)max＝eq \f(\r(2)－1,2) m2，所以割出的长方形桌面的最大面积为eq \f(\r(2)－1,2) m2.
四、解答题
11．已知函数f(x)＝sin2x－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，得f(x)＝
eq \f(1－cs 2x,2)－eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))),2)＝
eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 2x＋\f(\r(3),2)sin 2x))－eq \f(1,2)cs 2x＝
eq \f(\r(3),4)sin 2x－eq \f(1,4)cs 2x＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π．
(2)因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，
所以2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，\f(π,3)))，
所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(π,6)))上单调递减，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),4)，
所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(\r(3),4)，最小值为－eq \f(1,2).
12．如图所示，有一块扇形钢板OPQ，面积是eq \f(π,6)平方米，其所在圆的半径为1米．
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)现在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
解：(1)依题意，r＝1，
设∠POQ＝θ，则eq \f(1,2)×θ×12＝eq \f(π,6)，θ＝eq \f(π,3)，
即扇形圆心角的大小为eq \f(π,3).
(2)如图，连接OA，
设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为H，在Rt△AOH中，OH＝cs α，AH＝sin α，BH＝eq \f(AH,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)sin α，
所以OB＝OH－BH＝cs α－eq \f(\r(3),3)sin α，
设四边形ABOC的面积为S，
则S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－\f(\r(3),3)sin α))×sin α＝
sin αcs α－eq \f(\r(3),3)sin2α＝eq \f(1,2)sin 2α－eq \f(\r(3),3)•eq \f(1－cs 2α,2)＝eq \f(1,2)sin 2α＋eq \f(\r(3),6)cs 2α－eq \f(\r(3),6)＝
eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2α＋\f(1,2)cs 2α))－eq \f(\r(3),6)＝
eq \f(\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))－eq \f(\r(3),6)，由于0<α所以当2α＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，α＝eq \f(π,6)时，S取得最大值为eq \f(\r(3),3)－eq \f(\r(3),6)＝eq \f(\r(3),6)(平方米)，
所以当A是eq \(PQ,\s\up8(︵))的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为eq \f(\r(3),6)平方米．
13．(多选题)已知函数f(x)＝eq \f(sin 2x＋\r(3)cs 2x,sin x－\r(3)cs x)，则( AD )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2,3)π，2kπ＋\f(π,3)))
(k∈Z)
C．f(x)的最大值为2
D．f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))对称
解析：f(x)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))),－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))))＝
eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))),－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，且定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，对于A，f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,1)＝2π，即A正确；对于B，C，令eq \f(π,2)＋2kπ14．在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cs 2θ＝eq \f(7,25).
解析：由题意得5cs θ－5sin θ＝1，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以cs θ－sin θ＝eq \f(1,5)，又(cs θ＋sin θ)2＋(cs θ－sin θ)2＝2，所以cs θ＋sin θ＝eq \f(7,5)，所以cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝(cs θ＋sin θ)(cs θ－sin θ)＝eq \f(7,25).
15．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m．
(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
解：(1)连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcs θ＝20cs θ，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
因为A，D关于点O对称，
所以AD＝2OA＝40cs θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD•AB＝40cs θ•20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2θ∈(0，π)，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝eq \f(π,4)时，Smax＝400 m2.
此时AO＝DO＝10eq \r(2) m．
故当A，D距离圆心O为10eq \r(2) m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
(2)由(1)知AB＝20sin θ，
AD＝40cs θ，
所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cs θ＝40eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以θ＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，
当θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,4)时，(AB＋BC＋CD)max＝40eq \r(2) m，
此时AO＝DO＝10eq \r(2) m，
即当A，D距离圆心O为10eq \r(2) m时，步行小路的距离最远．