高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数教案设计

这是一份高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数教案设计，共19页。教案主要包含了函数作图，写出对数函数性质，练习，拓展探究等内容，欢迎下载使用。
1 问题提出
对数函数概念教学是中学数学教学的重要任务之一，由于学生学习的对象是抽象的形式化的教材，学习活动主要表现为师生和生生间的思维交流，因此对数汗水概念教学也就演变成了建构学习的过程。这种建构学习的过程需要学生亲身体验，但从已往实际教学情况来看，在进行对数函数概念学习时学生参与建构体验还远远不够，多是教师包办替代，甚至于有的教师直接给出，缺乏探究和体验的过程。如何帮助学生自主建构对数函数概念的理解，本课例从“生活实例”、“数学文化史料”、“小组合作探究”等方面作了探索。
2 教学内容分析
2.1教材分析
对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，扩展阅读反函数以及指数函数的基础上引入的，所以是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整、系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础。
本节学习重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质。难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质。由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为学习的重点。
由于对数函数的概念相对抽象，教材是通过指数函数和指对数间的转换得到的，借助函数的概念来加深理解的，无疑给学生造成了巨大的难度，如何让学生理解这一建构的过程称为学生难点。
2.2 学情分析
由于学生的认知水平与其获得的生活经验是密不可分的，而数学概念多是基于生活经验的积累或生活实际的需求而产生的，是数学形式化的抽象，数学概念脱离不了生活的影子。因此在进行对数函数概念教学时要结合高一学生的发展实际，把学生在生活中获得的经验、能力等引入课堂学习中，把课堂中的数学问题以生活化的形态呈现，化抽象的数学问题为有趣的易于学生理解的事例。到本节学习为止，学生已经掌握函数的概念、指数式与对数式互化、指数函数的概念与图像性质等相关知识，教学时应充分考虑学生已有的知识结构体系组织教学。
2.3 教学目标
课前通过导学要求，能了解当地的文化，能用自己的理解表述对数函数的概念，说出对数函数构成的要素及其具有的特征，渗透数学抽象。
课中能借助细胞的分裂在指数函数及函数概念的基础上，掌握对数函数的概念，能用列表描点法初略描绘对数函数的图像，借助图像及动画演示抽象出对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。
通过合作学习能举出生活中有关对数函数的例子，能从对数函数概念的角度予以解释，加强直观想象教学；通过探究学习能弄清指数函数与对数函数的关系，并能举出实例加以说明，培养数学建模和数学运算能力；通过教师点拨引导能归纳总结出对数函数的性质，并能会简单的应用。
在概念形成和性质推出过程中，培养学生的观察，比较和归纳的能力；通过对数函数概念的学习，渗透数形结合，分类讨论的思想； 通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性，逐步提高学生对知识的探究能力。
3 教学思路及设计理念
3.1 教学设计
高中数学相对抽象，教师要想方设法引导学生从日常生活和实践入手思考问题，能从情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验，以简驭繁，学会运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。
主要教学环节：按照学生思维认知规律组织概念学习，以活动导学单为载体，让学生课前先自主学习，初步了解对数函数有关的概念，课中采取教师引导学生自主参与合作探究式学习方式组织教学。
教学设计流程图如下：
3.2 活动导学单
《对数函数》活动导学单附后。
4 教学过程设计
4.1 情境创设
从数学史引入，用PPT投出，教师引导学生参与交流。
链接1. 在1770年瑞士数学家欧拉出版的一本著作中，首先使用了用y＝ax来定义x＝lgay，他指出“对数源出于指数”。
引例：细胞的分裂，请学生说出分裂规律。
思考：一个分裂成3个，4个，n个的情形。
链接2.考古学家在估算出土文物或古遗址年代时，经常利用到公式，其中P 是每一个碳14 的含量，t 表示年代。
4.2 新知探究
教师抛出问题“结合函数的概念，谈谈式子 x＝lga y 是否表示函数”，并给出函数图示，安排学生小组讨论，教师巡查，讨论完毕后小组交流发言。教师根据学生回答情况，给予补充和梳理。
4.3 概念生成
安排学生将讨论结果板演，得出函数模型：
教师扮演，由学生口述，写出对数函数的概念。
一般地，函数 y＝lgax (a>0,且a≠1)叫做对数函数。
概念给出后教师留时间给学生反思理解，让学生自己感悟，举出实例小组内交流，教师巡查个别答疑。
教师巡查后再和学生一起来回顾对数函数概念是如何得出的，我们从数学史引入，借助细胞分裂实例入手抽象特征，用自己的语言将这种特性表征出来，再通过数学的语言规范建构，得出对数函数的概念，这就是概念建构的一般规律，在这个过程中，同学们积极参与，表现很棒。
4.4 概念理解
请大家将对数函数概念研读一遍，然后将对数函数构成要素写出来。并提出问题1. 怎样认识对数函数？引导学生研究对数函数的定义域与值域，并让给学生写出，然后给出练习加以巩固。
学生答题完后，对求解规律小结。
使对数式有意义，真数大于零，底数
大于零且不等于1。
问题2. 这样构造对数函数y＝lg a x(a>0,且a≠1)的图像？
结合导学单学习内容，让学生利用列表法作出两个特殊函数的图像，并投影。
引例：作出函数和图象。
学生作出图像，讲评后教师借助几何画板动态展示，让学生直观感知。
问题3. 借助上面的函数请给出一般情况下对数函数的图像，小组合作交流。
教师再次借助借助几何画板动态演示，得出结论，并动手作图。
4.5 性质探究
结合导学单学习内容，教师借助借助几何画板动态演示，师生共同合作学习得出对数函数的性质。
教师让学生上讲台展示，并讲解。
讲评后留时间给学生感悟，消化整理。
4.6 概念性质理解与巩固
例2．比较下列各组数值的大小：
借助图像分析，并总结规律。
变式理解：比较下列各组数中两个值的大小
安排学生上黑板答题板演，并小结，然后给出当堂测试：
4.7 拓展探究
拓展探究1. 下面两个函数的图象有何特征关系？
拓展探究2. 下面两个函数的图象有何特征关系？
5 课堂小结
师生共同小结本节所学得失，并交流分享。
附1
《对数函数》活动导学单
一、函数作图
（1）作出函数和图象。
（2）作出函数和的图象。
二、写出对数函数性质
三、练习
比较下列各组数值的大小：
四、拓展探究
下面两个函数的图象有何特征关系？
结论：
理由：
附2
相关知识链接
阅读材料一：碳十四测年技术的起源和发展
公元1936年，一个名叫卡门的科学家发现并分离出一种分子，它是碳的一种同位素，分子量是十四，因此被称为碳十四。三年后，科学家柯夫经过研究，指出宇宙射线和大气作用后，射线中子的最终产物是碳十四，并计算出了其在大自然中的产生率。
这些成果引起了年青科学家利比的高度重视。利比是个爱好广泛的人，他一方面是研究放射现象的自然科学家，另一方面又喜欢诸如考古、历史之类的社会科学。利比敏锐的感觉到，这也许是解决考古学年代测定的一个突破口。但他还没开始这方面的研究，第二次世界大战爆发了，利比奉招来到哥伦比亚大学，参与原子弹的研发工作。二战结束后，利比出任芝加哥大学教授。有了自己的时间，他开始将心中的理想付诸实施。起初他对自己的研究秘而不宣，想给考古界带来个惊喜，但由于没有经费，他不得不于1946年圣诞节将自己的研究目的透露出来。消息传到考古界，立即引起维金基金会的重视，为利比提供了科研资金。在这笔资金的支持和众多考古学家的鼓励下，1949年利比终于成功的创建了碳十四测年的常规方法。
为了检验测年方法的准确性，专家们进行了严密的盲测实验。他们找来许多已知年代的含碳标本，放在只有标号的盒子里，让利比进行测年，然后把结果与实际年代进行比对，所有的结果都在可接受的误差范围内。经过重重考验，碳十四常规测年法被考古学家和地质学家所接受，成为确定旧石器晚期以来人类历史年代的有力工具。许多长久以来没有解决的难题迎刃而解。我们知道，考古学与历史学的重要的结合点就在于确定遗址的年代。而碳十四测年技术则为这个结合点找到了一个突破口。这是考古学的一个重要革命性的技术。
尽管碳十四测年常规技术为考古学的发展发挥了重要作用，但从它诞生之日起，这项技术的不足之处也令考古学家感到不便。其一是它需要的标本量比较大，并不是所有的遗址都能提供这么多的标本，当然也不能用它来对某些需要测年的文物来进行测年。再就是它的精度还是不够，年代越远的标本其误差也就越大，有时竟达到几百年。这对于研究年代学的学者来说，不能不说是一种遗憾。于是又出现了木轮年代校正曲线，经过科学家多年的努力，用这两者结合起来可以将误差缩小到几年甚至一两年！
碳十四测年的原理
我们知道，空气的主要成份是氮气和氧气。在宇宙射线的作用下，组成氮气的氮原子发生了变化，原子核由原来的七个质子变成了六个，成了碳元素的一种同位素，它的分子量是十四，因此叫碳十四。碳十四的原子核并不稳定，它放射出中子，最终又变回氮原子。这个变化是有一定的速度的，它每过5730年减少一半，这个时间也就是碳十四的半衰期。尽管如此，碳十四的化学性质还是与普通的碳十二完全一样，它与氧气反反应生成了二氧化碳，与碳十二的二氧化碳混合在了一起。科学家经过计算，认为这个混合比例，基本上是一个恒定的值，例年的变化不是太大。植物在光合作用时，将二氧化碳吸入合成有机物，碳十四二氧化碳也按比例进入植物体内。在整个自然界的食物链上，碳一层层的流动着，碳十四也跟着流动。随着新陈代谢，生物体内的碳十四含量也基本与大气保持一致。
但当生物死亡后，情况发生了变化，新陈代谢停止了。于是，尸体内的碳十四便以其特有的衰变规律进行衰变。只要我们测定其中碳十四的含量，就能知道这个生物是什么时候死的。比如，我们在一个遗址中发现一块人骨，只要测出其中所含的碳十四的量，就能算出这个人的死亡时间，进一步知道这个遗址的大致年代。这就是碳十四测年的技术原理。
碳十四测年工作在中国发展
中国的碳十四测年工作最早是由仇士华先生开展的，成绩斐然，曲折也颇多。1949年3月，当美国科学家利比研究碳十四测年技术成功并发表成果时，中国的大地上却正激战正酣，国共双方的这场内战吸引了几乎所有人的目光，对于这项考古学革命性的成果，没有人去注意它。新中国成立后，中国各项事业都开始启动。1955年，当时的中国科学院考古研究所副所长夏鼐首次关注到这项技术，并把它向中国考古界作了介绍，马上引起考古界强烈反响。当时，中国大地上考古发掘已取得许多重大发现，尤其是许多史前遗迹重见天日，但对于它们的年代却又说法不一，如果我们能够掌握这门技术，无疑会给考古界一个登上新高峰的机会。但是当时的中国政治风潮叠起，考古学家直到1959年才见到曙光。在夏鼐同志的领导下，中科院物理研究所的年轻物理学家仇士华、蔡莲珍夫妇被调到考古所，中国第一个碳十四实验室正式筹建。
仇士华，1932年生于江苏，他自小便酷爱物理学，终于在1952年考入浙江大学物理系，一年后国家进行高校院系调整，浙大物理系被并入复旦大学，仇士华也随系来到上海，成为复旦大学物理系的学生。1955年毕业，分配到中国科学院物理研究所工作。当时的中国科学院物理研究所其实是隐蔽的核物理研究所，是不可对外宣传的机密单位。要进入这样的单位，除了专业知识必须过硬外，还必须通过进乎苛刻的政治审查。当仇先生与他后来的妻子蔡莲珍通过重重考验进入该所时，二人心中升起一种由衷的自豪。他们决心为祖国的核物理事业奉献出自己的青春才华。
谁知天有不测风云，1957年，全国性的“反右”运动开始了。心直口快的仇士华夫妇被打成“右派”，不得不离开心爱的工作岗位，下放到农村劳动改造。这时中科院考古所开始进行碳十四实验室的筹建，但考古所自己却没有核物理学方面的人材，不得不向物理所求援，时任牧师所放射化学研究室主任的杨承宗向夏鼐推荐了正在蒙难的仇士华夫妇，这时，由于国家正在进行卫星研究，大量的技术工作急需解决，经反复研究，有关方面终于批准将原物理所的“右派”们包括仇氏夫妇召回北京。两月后，即1959年1月，经考古所与物理所协商，中科院组织部批准，仇士华与夫人蔡莲珍戴着右派帽子来到考古所进行二次创业。
面对全新的环境，仇士华兴奋不已，但困难是他始料未及的。他们唯一的资料就是利比先生的《放射性碳素测定年代》原著，没有任何现成的仪器，没有任何经验。仇士华是个越困难越大越要奋斗的人，他想，技术是人创造的，自己的处境总比利比要强，通过研究资料，他从零开始，一步一个脚印，在有关领导的关怀下，经过四年的艰苦奋斗，终于完成了全部设备的配装工作，后又用了三年调试和改进，1965年中国自己的碳十四实验室终于诞生了。就在仇士华紧张地进行样品盲测以通过专家验收时，上海的姚文元发表了著名的《评新编历史剧〈海瑞罢官〉》，一年后，文化大革命爆发了。老右派仇士华被再次打倒，被发配到明港的一座军营。这里，仇士华遭遇到极为残酷的折磨。直到1971年，形势才有所好转。时任中科院院长的郭沫若以“出国参展文物没有具体年代”为由，请求调回碳十四实验室的人员，以便尽快测出年代。周恩来亲自做出批复，仇士华、蔡莲珍等人终于摆脱了厄运，回到自己的工作岗位。然而，实验室的仪器都被造反派破坏了，他们不等不靠，经过艰苦努力，终于修复设备，投入紧张的测年当中。十一届三中全会后，仇士华和蔡莲珍都被平反。再之后，实验室在仇士华的领导下，取得了许多令人震奋的硕果。
比如，北京周口店出土的“山顶洞人”过去一直认为距今十万左右，经碳十四测年，为一万九千年。再比如早期商城郑州商城和偃师商城，专家们对它们的年代谁先谁后，打了多年口水战，后经测年，发现这两个商城的年代相差在五十年内，基本上是同时代的产物。
阅读材料二：对数发展史
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 。对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就。伽利略说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”
德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Expnent ，有代表之意）。
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数关系为：Nap．㏒x=10㏑(107/x)。
由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定距离。
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年，伦敦斯彼得所著的新对数》使对数与自然对数更接近（以e=为底）。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。科学家伽利略（1564-1642）说：给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍。
1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1~20000及0000~100000的14位常用对数表。
根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表都不再重要了，但是，对数的思想方法却仍然具有生命力。
从对数的发明过程我们可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，造成这种状况的主要原因是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年才由法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596—1650）开始使用。直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中，欧拉首先使用来定义。他指出：“对数源于指数”。对数的发明先于指数，成为数学史上的珍闻。从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力。建立对数与指数之间的联系的过程表明，使用较好的符号体系对于数学的发展是至关重要的。实际上，好的数学符号能够大大地节省人的思维负担。数学家们对数学符号体系的发展与完善作出了长期而艰苦的努力。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫真数，0.3010叫做假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用假数为对数。
我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。
当今中学数学教科书是先讲指数，后以反函数形式引出对数的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。
阅读材料三：函数概念的发展史
函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。
早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G．Galile，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(BernulliJhann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1822年傅里叶(Furier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。等到康托尔(Cantr，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。
现代函数概念——集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdrff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratwski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。
二十世纪初美国数学家维布伦（Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间，有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称 y是变量 x的函数。（定义 8）从这个定义开始，函数概念已把基础建立在集合上面，而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的。
随着时间的推移，函数便被明确的定义为集合之间的对应关系，其定义是： A和 B是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数。（定义 9）此定义根据映射的概念，用“映射”观点建立函数概念，其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数，简称函数 f 。（定义 10）以上三个定义，已打破数域的束缚，将集合中的元素改为抽象的，可以是数，也可以不是数，而是其它一切有形或无形的东西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圆的集合，则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射。
对新函数定义可以这样理解：函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）。
对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质，但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图。因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义，例如规则不同，那么是否函数也不同呢？如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数。
为了解决这一矛盾，二十世纪初，特别是在六十年代以后，广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义，而集合作为原始概念是不予定义的，这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合， f是笛卡儿集 A× B的一个子集，满足：①对任意的 a ∈ A，存在一个 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f则 b=c。则称 f为 A到 B的一个函数。记作 f:A→B。（定义11）这个定义利用“关系”这个概念，便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义，即不需要用到“对应”，又避免了对“规则”的解释，只要集合理论适用一切数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。它可称的上是最现代的定义了。
到此，“函数”最完善的定义（定义 11）已给出，作为数学中最基本的概念之一，已把基础直接建立在集合上面，即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应，它和“映射”实际上是一回事。
阅读材料四：花厅文化介绍
花厅遗址
花厅遗址位于江苏省新沂市马陵山西麓，年代约为公元前3000年，为新石器时代的大汶口文化遗址 。
1952~1989年先后四次发掘，已清理墓葬78座，墓葬大多为长方形墓坑，其中有大墓10座，墓中有用婴幼儿和少年人殉葬的、随葬品有多达上百件的，以陶器和玉器为主。陶器多具有大汶口文化的特征。
该遗址是唯一同时存在南北两种不同文化类型的国内史前文化遗址。这种现象，专家们称之为"文化两合现象"，为认识中国史前时期不同文化区之间的文化交流模式提供了例证。
1995年，花厅遗址被省政府公布为省级重点文物保护单位，2006年被国务院核定为第六批全国重点文物保护单位。
简介
随葬品以陶器和玉器为主，也有石器和骨器，部分墓用猪、狗陪葬。陶器多具有大汶口文化的特征，在陶器中的贯耳壶、"丁"字形足的鼎、阔把杯，石器中的有段锛及玉器等，又与太湖地区良渚文化的同类器物相同，表明这里在当时与太湖流域有密切来往。大墓中用婴幼儿和少年人殉葬，说明当时部落首领人物死后使用人殉已成为通行的礼俗。而小墓的墓坑窄小，有的墓仅有1件随葬品，与大墓形成鲜明对比，又反映出当时贫富对立已很严重。
考古发现
新中国成立后，南京博物馆于1952年、1953年、1987年、1989年四次进行有组织的发掘 ，在这里共发掘面积达3200平方米，发现墓葬78座，出土陶器1058件，石器134件，玉器1091件，骨器123件，全部出土文物共计2406件。 在四号墓中，发现一块陶板上镶嵌八颗绿松石，这是我国首次发现新石器时期陶器上的绿松石镶嵌。在十八座墓葬发掘中，有八座墓有人殉现象。在十八号墓中有两具殉葬幼儿的骸骨。在六十号墓中，有两具殉葬幼儿、一具殉葬少年、两具中青年男女的骸骨。这些墓葬出土的人骨，经上海自然博物馆人类学专家黄象洪教授鉴定，是目前我国发现时代最早的人殉人祭现象。所有这些，为探索中国文明史的起源，研究黄淮河下游的史前文化，提供了一批前所未有的和十分珍贵的实物资料。从花厅出土的文物论证，可以把我国奴隶制的发轫史向前推进2000年。
花厅古文化遗址发掘，在国内外影响都很大。前来寻迹、考察的专家、学者络绎不绝，世界著名考古学花厅遗址 家、美国哈佛大学人类系主任张光直教授说:"殷商文化的渊源要到花厅文化中去找。"
花厅古文化属大汶口文化中晚期。南京博物院曾于1952年、1953年两次进行普查和发掘，断定是新石器时代有代表性的文化遗址。1987年、1989年对此进行第三次、第四次普查发掘，前后共发掘古墓葬66座，出土陶器、石器和玉器1732件，发掘出来的土陶器基本与大汶口文化遗址出土的土陶器相似。证实了花厅古文化是大汶口文化的分支。其玉器的质、形、纹又与太湖地区良渚文化玉器相同，说明了属于黄河下游海岱文化区的花厅文化与属于长江下游太湖越人文化区的良渚文化，不仅在文化上交流融合，而且已出现共同的原始宗教信仰和精神文化因素。这两个分数南北的历史文化区，早在5000年前就有着部族间的密切交往。
知识探究：
在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a,b），探究点P关于一次函数y=x的图像的对称点Q的坐标，并写出简要的过程。