数学3.2.2 对数函数教案设计

第27课时 对数函数（二）

【学习目标】

1．了解函数图像的平移变换、对称变换、绝对值变换；

2．能熟练地运用对数函数的性质（如定义域、值域和单调性）解题；

3．提高学生分析问题和解决问题的能力．

【课前导学】

1．函数y=a的图象与函数y=logx的图象之间的关系？

2．说出函数图象的变换有哪些？

【课堂活动】

一．建构数学：

例1 说明函数与函数的图象的关系．

提示：通过列表画图说明．

解答见教材P68例3．

思考：函数与函数图象之间有什么关系？

例2 画出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间．

解答见教材P69例4．

【解后反思】此题说明作函数的图像时需要考虑函数的性质（如奇偶性）；反之，由函数图像可以直观的看出函数的性质（如单调性）．

例3画出函数与的图像，指出这两个函数图象之间有什么关系？

解：图像略．这两个函数图象关于x轴对称．

【推广】函数与的图象关于x轴对称．

二．应用数学：

例1 已知，求函数的最大值和最小值.

[思路分析]先利用函数的单调性及定义域求的范围，然后将表示成二次函数的形式求最值.

[解法]依题设有，所以，

又，

而

.

【解后反思】本题的常见错误是忽视函数的定义域.

例2 已知函数.求:

（1）       求的定义域；

（2）       判断的奇偶性并予以证明；

（3）       求使的的取值范围.

[思路分析]根据对数的定义求定义域，利用奇偶性的定义判断的奇偶性，利用对数函数的单调性求的的取值范围.

解：由.

（1）       为奇函数.

（2）       当；

当.

【解后反思】

（1）       判断奇偶性时，首先要注意函数的定义域；

（2）       解形如的不等式时，注意；

（3）       含字母的问题应注意分类讨论.

例3 已知均为正数，且.求的取值范围.

[思路分析]解答本题的思维步骤是：

（1）       若要求的范围，联想到把已知方程变形为关于的二次方程；

（2）       利用方程有实根得判别式大于或等于零构造不等关系；

（3）       利用对数函数的单调性确定的范围.

解：由变形得，

整理得.

由于，，解之得.

【解后反思】本题综合了函数．方程．不等式的内容，要善于联想迁移，寻求知识间的相互联系.

例4 将函数的图像沿x轴向右平移2个单位，再向下平移1个单位，最后将x轴下方部分翻折到上方所得到函数图像的解析式       ．

三．理解数学：

1．把函数f(x)= logx的图象分别沿x轴方向向左平移2个单位．沿y轴方向向下平移1个单位，得到f(x)=        ．

2．把函数f(x)的图象分别沿x轴方向向左、沿y轴方向向下各平移3个单位，得到 y= log(x-2)的图象，则f(x)=        ．

3．要使y=log（x+m）的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是     ．

4．作出y=lg（-x）,y=-lgx图象，并说明与y=lgx图象之间关系．

【课后提升】

1.若的大小关系是                      ．

答案：

2.函数在同一坐标系中的图象可能是  （1）   .

（1）                  （2）   （3）    （4）

3.已知.

4. 作出下列函数的图像，并指出其单调区间：

(1)y=lg(－x)；(2)y=log2|x＋1|；

解  (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．

 (2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示．

单调递减区间是(－∞，－1)．

单调递增区间是(－1，＋∞)．

的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为

所示．

单调减区间是(－1，2]．

单调增区间是[2，＋∞)．

解  (4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．

单调递减区间是(－∞，1)．

5.已知.

（1）       证明在R上是奇函数；

（2）       判断的单调性.

证明：（1）

故在R上是奇函数.

（2），

6.已知常数.

（1）      若；

（2）      若当.

解：（1）原方程可化为

即；

（2）

令.

7.已知.

（1）       若的定义域是R，求实数的取值范围；

（2）       若的值域是R，求实数的取值范围.

解：设，

（1）       若的定义域是R，即对任意，

则.

（2）       若的值域是R，则.

8.设.

证明：由已知得.

因为.

若，

故.

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