苏教版必修13.2.2 对数函数教学设计及反思

对数函数(2)教学设计

学习目标

1．进一步熟悉对数函数的图像和性质；

2．能处理与对数函数有关的复合函数的值域、单调性；

3．学会处理一下简单的对数应用问题.

预备知识

对数函数的图象和性质是：对数函数的图象恒过点      ，当时，对数函数在 的单调性是        ；当时，对数函数在上的单调性是        ．

教学过程：

活动：学生用手机扫二维码看对数函数的图像和性质，为新课做准备.

首先我们一起来回忆一下对数函数的定义和它的图像以及性质

问：什么是对数函数

一般地，当       时，函数        叫做对数函数，自变量是；函数的定义域是     ，值域      ．

问：它的图像是什么样子，又有哪些性质呢？

活动：学生画出大致图像，教师引导.对数函数的图象和性质

这节课我们继续来研究一下与对数函数有关的复合函数的性质，看问题情境：

求下列函数的定义域和值域

活动：学生思考几分钟，由学生回答并说出解题过程

（1）定义域，值域  R（2）定义域，值域

（3）定义域，值域

提出问题：（1）这些函数有什么特点？

（2）都可以写成什么形式？

（3）如何求这些函数的定义域和值域

活动：学生讨论，老师和学生一起总结：都是复合函数，写成的形式

求定义域即解不等式，用换元法求值域.

设计意图：为下面求较为复杂的函数做准备.

看下面问题：

 求的值域.

活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．给出规范的解题过程.设，则，∵，∴；∴函数的值域为.

提问：（1）这种函数和上面函数有何不同？

（2）可以写成什么形式？（3）如何求这种函数的定义域

变式训练：，怎么求值域呢？

学生思考、交流得出解题方法.

设计意图：通过提问引导学生思考总结解决此类题目的一般方法以及注意点.变式训练进一步强调换元法的注意点

看例题：

例1．（1）求的值域；

师生共同简单分析这种函数的特点

活动：学生思考几分钟

由学生说出解法（1）由，得，故函数的定义域为；

令，∵，∴，，即，

∴函数的值域为.

设计意图：设计这道题目主要为了进一步巩固问题情境中的题型，强调在解题过程中要先求函数的定义域.

（2）求的值域

活动：教师引导学生分析此题和上面一题的区别和联系.特别是底数的变化，如何处理不同底的对数问题

方法一：化成以4为底

方法二：化成以2为底

活动：学生在下面做，一二两组用第一种方法，三四两组用第二种方法，做完后分别找两个学生投影.

教师给出规范的解题过程.

设计意图：通过这个题目教会学生化繁为简的数学思想方法，对数问题中不同底化同底的常见思路

例2．（1）求函数的单调区间；

活动：教师引导学生回顾复合函数单调性的解题方法（1）先求定义域（2）看内外函数的单调性

学生回答，教师在黑板示范规范的解题过程，便于学生学习.

（2）求函数的单调区间．

活动：由学生自己完成，将学生的解题过程投影.通过投影可以展示学生完整的解题过程，其他学生可以互相学习.

学生解题过程

在上单调递减，在上单调递增，

点评：先求定义域，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，最后利用“同增异减”这一规律进行复合，即可求得的单调区间.

活动 ：插入一段这个例题的微视频.

设计意图：通过教师当堂演示，学生课后在家复习有困难可以通过手机扫二维码，看微视频，方便学习.

例3. 函数在[1，2]上单调递增，求实数的取值范围.

活动：学生分组讨论，每组派代表发言，陈述自己的分析过程.最后由一个学生说出详细解答过程.教师给出规范解题过程.

解：设，在[1，2]为减函数，，且在[1，2]要恒大于0，即，得，实数的取值范围为.

设计意图：对数的底数和真数都含有参数，引导学生遇到复杂题目还是抓住本质，分析内外层的单调性和整个函数的单调性，当然不能忘记真数大于零.

课堂小练：已知函数；

（1）若函数的定义域为，值域为，求实数的值；

（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.

（3）若函数在上为增函数，求实数的取值范围.

活动：学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示.最后由学生自己完成

展示学生的解题过程.教师给出规范的解题过程.

解答：（1）∵函数的定义域为，值域为；

∴的最小值为，即，解得.

（2）∵函数的值域为，真数能取遍一切正实数.，即

（3）∵在上是减函数，

由复合函数的单调性可知解得；

故实数的取值范围是.

设计意图：进一步理解复合函数单调性的解法，注意与对数函数复合始终要牢记真数大于零.

活动：教师指出课后复习有困难可以扫码看微视频.

提出问题：1．讨论复合函数（且）单调性的步骤有哪些？

生：（1）求定义域；

（2）拆分：，并讨论各自的单调性；

（3）用“同增异减”下结论．

2．设函数（其中且）

提出问题：:若的定义域为，等价于什么问题

生：等价于对任意的都成立；

当时，检验是否成立；

当时，．

提出问题：若的值域为，等价于什么问题

生：等价于能取到的一切实数；

当时，检验是否成立；

当时，．

提出问题：如何处理形如函数的值域？

采用换元，令，根据定义域先求的值域，再求的值域；

提出问题：如何处理形如函数的值域？

第二种类型一般要先由真数，求出定义域，再根据定义域求的值域，再根据的取值确定复合函数的值域.

设计意图：通过提问，师生共同总结本节课的主要内容.

拓展延伸：已知函数是奇函数；（1）求常数的值及函数的定义域；（2）求证：是定义域上的单调增函数．

设计意图：对于一些学有余力的学生可以课后回去做一些提高题，遇到问题不需要老师现场解答，可以通过手机扫二维码看微视频学习.