数学人教B版 (2019)10.1.1 复数的概念学案

10.1.1 复数的概念

1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．

2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．

3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．

重点：理解复数及其相关概念；

难点：引进复数的必要性

新知自学

1．复数的概念及分类

(1)数系的扩充及对应的集合符号表示

→→→→

↓　　　　↓　　　　↓　　　　↓　　 　↓

N――――→Z―――→Q――――→R―――→  C

(2)复数的有关概念

(3)复数的分类

②集合表示b＝0

b≠0；a＝0；a≠0

2．两个复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是           .a＝c且b＝d

一、    情境与问题

人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2,3,....以及表示没有的数“0”

为了表示各种相反意义的量以及满足计数的需要，人们又引进了负数

为了解决测量、分配中遇到的将某些量等分的问题，人们引入了分数

用正方形的边长去度量它的对角线，所得的结果无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们引入了无理数；

       数的扩充过程也可以从方程是否有解的角度来理解

     因为类似的方程，在自然数范围内无解，所以人们引入了负数，并将自然数扩充整数，使得类似的方程，在整数范围内有解；
    因为类似的方程，在整数范围内无解，所以人们引入了分数，并将整数扩充成有理数，使得类似的方程，在有理数范围内有解；
     因为类似=7的方程，在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数，并将有理数扩充成实数，使得类似=7的方程，在实数范围内解；
     我们已经知道类似=1的方程，在实数范围内无解，那么能否向前面一样引入一种新的数，使得这个方程有解，并将实数进行扩充呢？

       一般地，为了使方程=1有解，人们规定=1，称 为虚数单位。

尝试与发现

（1）你认为可以怎样表示2与的和？又该怎样表示3减去 ？
（2）你认为5与的乘积可以怎样表示？这个数具有什么性质？

引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：

（1）i 2  1；

（2）实数与i可以进行加法和乘法运算：

实数a与数i相加记为：a+i

实数b与数i相乘记为：bi ,并规定0• i =0

实数a与 bi相加记为：a+bi

（3）实数与 i 进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.

定义：把形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数。通常用字母 z 表示.

全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。

其中 i 为虚数单位。a实部; b虚部

二、典例解析

【例1】(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)

A．0　　　　　 B．1         C．2            D．3

(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.

(3)下列命题正确的是__________(填序号)．

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；

②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

③实数集的补集是虚数集．

【例2】已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，

①z为实数？　②z为虚数？　③z为纯虚数？

跟踪训练1．对以下命题：

①1＋i2＝0；

②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；

④两个虚数不能比较大小．

其中，正确命题的个数是(　　)

A．1       B．2      C．3       D．4

【例3】　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；

(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．

跟踪训练2．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　)

(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (　　)

(3)bi是纯虚数．                                                      (　　)  (　　)

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． (　　)

2．下列命题中是假命题的是(　　)

A．自然数集是非负整数集                        B．实数集与复数集的交集为实数集

C．实数集与虚数集的交集是{0}                   D．纯虚数集与实数集的交集为空集

3．下列命题：

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；

③两个复数不能比较大小．

其中错误命题的序号是__________．

4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m＝________.

5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i

(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.

1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.

2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．

3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．

参考答案：

学习过程

二、典例解析

【例1】(1)B　(2)±，5　(3)③　

[(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；

对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；

对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题

(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.

(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，

因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．

②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．

③由复数集的分类知，③正确，是真命题．]

【例2】[思路探究]　依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．

解：①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.

②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.

③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.

跟踪训练1 B　[对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0.故①正确．对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．对于③，当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]

【例3】[思路探究]　根据复数相等的充要条件求解．

[解]　(1)由复数相等的充要条件，

得解得

(2)设方程的实根为x＝m，

则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

所以解得或

所以实数a的值为a＝11或－.

跟踪训练2． [解]　由复数相等的条件得方程组

由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.

解得y1＝－1＋，y2＝－1－.

所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.

即或

达标检测

1．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2． C　[复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．]

3． ①②③　[当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这 一特殊情况，故③错．]

4．－3　[∵z＜0，∴，∴m＝－3.]

5．[解]　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.

(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m－3.

(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.

(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.

(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.