人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算教案设计

10.3复数的三角形式及运算（2）

本节课为复数三角形式及运算的第2课时，在学习了复数的三角形式和乘法的三角表示及几何意义的基础上，进一步探讨复数除法的三角表示及几何意义，两个复数相除，其结果也是一个复数．代数形式表示的复数除法，前面已学过它的公式．对于两个三角形式表示的复数相除，仍可化成代数形式来计算，但运算较繁杂．像寻求复数三角形式的乘法法则一样，得出复数三角形式的除法法则，公式要求形式简单，并能体现出模与辐角的特征和作用，也能反映出商的模与的模之间，商的辐角与的辐角之间的密切关系，在学习复数除法的三角形式及几何意义的过程中，进一步提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.

【教学重点】

复数三角形式的除法法则及几何意义

【教学难点】

商的模与的模之间，商的辐角与的辐角之间关系的应用

复习回顾：

1.复数的三角形式

z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，其中的θ称为z的辐角.

在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.

为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.

2.复数三角形式的乘法法则

r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.

模相乘，辐角相加

练习：

1．复数＋i化成三角形式，正确的是(　　)

A．cos＋isin　　 B．cos＋isin

C．cos＋isin D．cos＋isin

解答：B　复数＋i的模r＝1，cos θ＝，sin θ＝，所以可取θ＝arg＝.即＋i＝cos＋isin.

2．思考辨析

(1)两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于各复数的幅角的积．(　　)

(2)一个复数与i相乘，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转.(　　)

(3)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2[cos2θ＋isin2θ]．(　　)

解答： (1)×　(2)√　(3)×

3．设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为(　　)

A．3i B．3

C．－3i D．3

解答：A　[z1z2＝×6＝3＝3i.

问题1：复数三角形式的除法

如果非零复数的三角形式为：，

利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出的三角形式，并写出的值.

一般地，如果非零复数，那么是的一个辐角，因此

，而且

由于，可得，即

这样一来，如果，则

即：

注：的三角形式：的模除以的模等于的模，的辐角减去的辐角是的辐角.

问题2：复数三角形式除法的几何意义

设对应的向量分别为，将绕原点O旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为.

当时，按顺时针方向旋转角，当时，按逆时针方向旋转角

任意一个复数除以i，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，如图所示.

例1. (1) 计算：4(cos 80°＋isin 80°)÷[2(cos 320°＋isin 320°)]；

(2)已知复数z＝r(cos θ＋isin θ)，r≠0，求的三角形式．

解　(1)原式＝[cos(80°－320°)＋isin(80°－320°)]

＝2[cos(－240°)＋isin(－240°)]＝2

＝－1＋i.

(2)＝＝[cos(0－θ)＋isin(0－θ)]

＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]

变式训练：计算：

(1)3÷；

(2)2i÷.

解：(1)原式＝6

＝6＝6＝3＋3i.

(2)法一：原式＝2÷

＝4

＝4＝4

＝2－2i.

法二：原式＝2i÷＝2i÷＝＝8i＝－2i＋2＝2－2i.

例2.求 的值.

解：因为，

，

，

所以：

变式训练：

1.计算的值.

解：＝＝＝

2. ＝　     　　　.

答案：

3.若复数z的模为2，辐角主值为，则＝ （　　）

A.1+i     B 1-i     C -i      D.+i

答案：D

4. 计算下列各式：

（1）（cos 36°+isin 36°）-5；（2）.

解：（1）（cos 36°+isin 36°）-5＝＝＝-1.

（2）＝＝

＝＝＝ +i.

问题3：复数三角形式的乘法和除法几何意义的应用

例3.如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明：

证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，确定复平面，

由平行线的内错角相等可知，分别等于复数的辐角主值，因此

应该是的一个辐角，又因为：

，

而，所以存在整数，使得，由于都是锐角，

于是，从而.

例4.设复数，复数满足，已知的对应点在虚轴的负半轴，且求的代数形式.

解：z1＝.

设z2＝2（cos α+isin α），α∈（0，π），

∴ z1z22＝.

由题设知2α+＝2kπ+（k∈Z），

∴ α＝kπ+（k∈Z）.

又α∈（0，π），∴ α＝，

∴ z2＝＝-1+i.

变式训练：

1.设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α和β，则α+β等于 （　 ）

A.135°     B.315°    C.675°      D.585°

2.设复数z1＝2sin θ+icos θ在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量， 对应复数z2＝r（cos φ+isin φ），则tan φ＝              （　 ）

A.        B.       C.      D.

答案：C，A

小结：

1．两个复数三角形式的除法就是将被除数的模除以除数的模作为商的模，被除数的辐角减去除数的辐角作为商的辐角．

2.设复数z对应的向量为，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ(θ>0)，得到向量，表示的复数就是积z(cos θ＋isin θ)．若把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ(θ>0)，得到向量，表示的复数就是商 .