高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算学案，共12页。

前面已经学习过了复数的两种表示：一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量eq \(OZ,\s\up7(→))来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数．
思考：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？
知识点1 复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值
一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量eq \(OZ,\s\up7(→))的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝eq \r(a2＋b2)，
根据任意角余弦、正弦的定义可知
cs θ＝eq \f(a,r)，sin θ＝eq \f(b,r)．
因此a＝rcs θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcs θ)＋(rsin θ)i＝r(cs θ＋isin θ)，
上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．
显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数的辐角是唯一的．( )
(2)z＝cs θ－isin θ是复数的三角形式．( )
(3)z＝－2(cs θ＋isin θ)是复数的三角形式．( )
(4)复数z＝cs π＋isin π的模是1，辐角的主值是π．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．复数z＝1＋i的三角形式为z＝ ．
eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin \f(π,4))) [r＝eq \r(,2)，cs θ＝eq \f(1,\r(,2))＝eq \f(\r(,2),2)，
又因为1＋i对应的点位于第一象限，
所以arg(1＋i)＝eq \f(π,4)．
所以z＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin \f(π,4)))．]
知识点2 复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)×r2(cs θ2＋isin θ2)
＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1(cs θ1＋isin θ1),r2(cs θ2＋isin θ2))
＝eq \f(r1,r2) [cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
(3)[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn[cs(nθ)＋isin(nθ)]．
3．计算：(1)6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝ ；
(2)6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))÷4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝ ．
(1)24i (2)eq \f(3\r(,3),4)＋eq \f(3,4)i [(1)6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
＝24eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,6)))))
＝24i．
(2)6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))÷4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
＝eq \f(6,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,6)))))
＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
＝eq \f(3\r(,3),4)＋eq \f(3,4)i．]
类型1 复数的代数形式与三角形式的互化
角度1 代数形式化为三角形式
【例1】 (教材P44例1改编)把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)eq \r(,3)＋i；
(2)eq \r(,2)－eq \r(,2)i．
[解] (1)r＝eq \r(,3＋1)＝2，因为eq \r(,3)＋i对应的点在第一象限，
所以cs θ＝eq \f(\r(,3),2)，
即θ＝eq \f(π,6)，
所以eq \r(,3)＋i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))．
(2)r＝eq \r(,2＋2)＝2，cs θ＝eq \f(\r(,2),2)，
又因为eq \r(,2)－eq \r(,2)i对应的点位于第四象限，
所以θ＝eq \f(7π,4)．
所以eq \r(,2)－eq \r(,2)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4)))．
复数的代数形式化为三角形式分为哪四个步骤？
(1)先求复数的模．
(2)确定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度2 三角形式化为代数形式
【例2】 分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))；
(2)eq \f(\r(,3),2)(cs 60°＋isin 60°)；
(3)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)－isin\f(π,3)))．
[解] (1)复数4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))的模r＝4，辐角主值为θ＝eq \f(π,6)．
4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝4cseq \f(π,6)＋4isineq \f(π,6)
＝4×eq \f(\r(,3),2)＋4×eq \f(1,2)i＝2eq \r(,3)＋2i．
(2)eq \f(\r(,3),2)(cs 60°＋isin 60°)的模r＝eq \f(\r(,3),2)，辐角主值为θ＝60°．
eq \f(\r(,3),2)(cs 60°＋isin 60°)＝eq \f(\r(,3),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(,3),2)×eq \f(\r(,3),2)i
＝eq \f(\r(,3),4)＋eq \f(3,4)i．
(3)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)－isin\f(π,3)))
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))．
所以复数的模r＝2，辐角主值为eq \f(5,3)π．
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))＝2cseq \f(5,3)π＋2isineq \f(5,3)π
＝2×eq \f(1,2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)))i．
＝1－eq \r(,3)i．
由三角形式转化为代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可.
eq \O([跟进训练])
1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)－isin\f(π,4)))；
(2)－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))；
(3)eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3π,4)＋ics\f(3π,4)))；
(4)cseq \f(7π,5)＋isineq \f(7π,5)．
[解] 根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)不是，(4)是复数的三角形式．
(1)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))．
(2)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4π,3)＋isin\f(4π,3)))．
(3)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(3π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(3π,4)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))．
类型2 复数三角形式的乘、除运算
【例3】 计算：
(1)8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))；
(2)eq \r(,3)(cs 225°＋isin 225°)÷[eq \r(,2)(cs 150°＋isin 150°)]；
(3)4÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))．
[解] (1)8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))
＝32eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(13,6)π＋isin\f(13,6)π))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)＋\f(1,2)i))
＝16eq \r(,3)＋16i．
(2)eq \r(,3)(cs 225°＋isin 225°)÷[eq \r(,2)(cs 150°＋isin 150°)]
＝eq \f(\r(,3),\r(,2))[cs(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝eq \f(\r(,6),2)(cs 75°＋isin 75°)＝eq \f(\r(,6),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,6)－\r(,2),4)＋\f(\r(,6)＋\r(,2),4)i))
＝eq \f(6－2\r(,3),8)＋eq \f(6＋2\r(,3),8)i
＝eq \f(3－\r(,3),4)＋eq \f(3＋\r(,3),4)i．
(3)4÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
＝4(cs 0＋isin 0)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))
＝2eq \r(,2)－2eq \r(,2)i．
1．乘法法则：模相乘，辐角相加．
2．除法法则：模相除，辐角相减．
3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
eq \O([跟进训练])
2．计算：
(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq \s\up12(2)；
(2)eq \r(,2)(cs 75°＋isin 75°)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2)i))；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))．
[解] (1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq \s\up12(2)
＝(eq \r(,2))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))
＝－1＋eq \r(,3)i．
(2)eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i＝eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)－\f(\r(,2),2)i))
＝eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))，
所以eq \r(,2)(cs 75°＋isin 75°)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2)i))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,12)π＋isin\f(5,12)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))))
＝eq \r(,2)×eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))))
＝cseq \f(26,12)π＋isineq \f(26,12)π
＝cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6)
＝eq \f(\r(,3),2)＋eq \f(1,2)i．
(3)因为－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(,3),2)i＝cseq \f(2,3)π＋isineq \f(2,3)π，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－\f(π,3)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝eq \f(1,4)＋eq \f(\r(,3),4)i．
类型3 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例4】 在复平面内，把复数3－eq \r(,3)i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq \f(π,3)，求所得向量对应的复数．
[解] 因为3－eq \r(,3)i＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)－\f(1,2)i))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))，
所以2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(13,6)π＋isin\f(13,6)π))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
＝3＋eq \r(,3)i，
2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π))
＝－2eq \r(,3)i．
故把复数3－eq \r(,3)i对应的向量按逆时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为3＋eq \r(,3)i，按顺时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为－2eq \r(,3)i．
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))，然后把向量eq \(OZ1,\s\up7(→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把eq \(OZ1,\s\up7(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq \(OZ,\s\up7(→))，eq \(OZ,\s\up7(→))表示的复数就是积z1z2.
eq \O([跟进训练])
3．在复平面内，把与复数eq \f(3\r(,3),4)＋eq \f(3,4)i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转eq \f(π,3)，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)
[解] eq \f(3\r(,3),4)＋eq \f(3,4)i＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，
由题意得
eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))
＝eq \f(3,2)×2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))))
＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2)))
＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i．
1．复数1－eq \r(,3)i的辐角主值是( )
A．eq \f(5,3)π B．eq \f(2,3)π
C．eq \f(5,6)π D．eq \f(π,3)
A [因为1－eq \r(,3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(,3),2)i))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))，
所以1－eq \r(,3)i的辐角主值为eq \f(5,3)π．]
2．将复数i对应的向量eq \(ON,\s\up7(→))绕原点按逆时针方向旋转eq \f(π,3)，得到向量eq \(OM,\s\up7(→))，则eq \(OM,\s\up7(→))对应的复数是( )
A．eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i B．－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i
C．－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i D．eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i
B [i＝cs eq \f(π,2)＋isin eq \f(π,2)，将eq \(ON,\s\up7(→))绕原点按逆时针方向旋转eq \f(π,3)得到eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)＋isin \f(π,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝cs eq \f(5π,6)＋isin eq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i．]
3．已知复数z1＝cs 23°＋isin 23°和复数z2＝cs 37°＋isin 37°，则z1z2为( )
A．eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i B．eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i
C．eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i D．eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i
C [z1z2＝(cs 23°＋isin 23°)(cs 37°＋isin 37°)＝cs 60°＋isin 60°＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i．]
4．2(cs 15°＋isin 15°)×5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝ ．
5eq \r(2)＋5eq \r(2)i [2(cs 15°＋isin 15°)×5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝2(cs 15°＋isin 15°)×5(cs 30°＋isin 30°)＝10[cs(15°＋30°)＋isin(15°＋30°)]＝10(cs 45°＋isin 45°)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))＝5eq \r(2)＋5eq \r(2)i．]
5．8i÷2(cs 45°＋isin 45°)＝ ．
2eq \r(2)＋2eq \r(2)i [8i÷2(cs 45°＋isin 45°)＝8(cs 90°＋isin 90°)÷2(cs 45°＋isin 45°)＝4[cs(90°－45°)＋isin(90°－45°)]＝4(cs 45°＋isin 45°)＝2eq \r(2)＋2eq \r(2)i．
故答案为2eq \r(2)＋2eq \r(2)i．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．每一个复数都有唯一的模与辐角主值吗？
[提示] 不一定，复数0的辐角主值有无数个，每一个不等于零的复数才有唯一的模与辐角主值．
2．使用复数的三角形式进行运算的条件是什么？辐角要求一定是主值吗？
[提示] 使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值．
3．两个复数的积仍然是一个复数吗？任意多个复数的积呢？
[提示] 两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．
4．复数除法运算的几何意义是什么？
[提示] 两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))，然后把向量eq \(OZ1,\s\up7(→))绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把eq \(OZ1,\s\up7(→))绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的eq \f(1,r2)(r2>1，应缩短；01．通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．
2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
1．借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养．2．通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养．