高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算导学案

10.3复数的三角形式及运算（2）

【学习重点】

复数三角形式的除法法则及几何意义

【学习难点】

商的模与的模之间，商的辐角与的辐角之间关系的应用

复习回顾：

1.复数的三角形式

2.复数三角形式的乘法法则

练习：

1．复数＋i化成三角形式，正确的是(　　)

A．cos＋isin　　 B．cos＋isin

C．cos＋isin D．cos＋isin

2．思考辨析

(1)两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于各复数的幅角的积．(　　)

(2)一个复数与i相乘，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转.(　　)

(3)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2[cos2θ＋isin2θ]．(　　)

3．设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为(　　)

A．3i B．3

C．－3i D．3

问题1：复数三角形式的除法

如果非零复数的三角形式为：，则              

即：              

注：的三角形式：               等于的模，               是的辐角.

问题2：复数三角形式除法的几何意义

设对应的向量分别为，将绕原点O旋转，再将的模变为原来的       倍，如果所得向量为则对应的复数为.

当时，按        方向旋转角，当时，按       方向旋转角

任意一个复数除以i，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿       方向旋转，如图所示.

例1. (1) 计算：4(cos 80°＋isin 80°)÷[2(cos 320°＋isin 320°)]；

(2)已知复数z＝r(cos θ＋isin θ)，r≠0，求的三角形式．

变式训练：计算：

(1)3÷；

(2)2i÷.

例2.求 的值.

变式训练：

1.计算的值.

2. ＝　     　　　.

3.若复数z的模为2，辐角主值为，则＝ （　　）

A.1+i     B 1-i     C -i      D.+i

4. 计算下列各式：

（1）（cos 36°+isin 36°）-5；（2）.

问题3：复数三角形式的乘法和除法几何意义的应用

例3.如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明：

变式训练：

1.设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α和β，则α+β等于 （　 ）

A.135°     B.315°    C.675°      D.585°

2.设复数z1＝2sin θ+icos θ在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量， 对应复数z2＝r（cos φ+isin φ），则tan φ＝              （　 ）

A.        B.       C.      D.