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人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广教学设计
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这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广教学设计，共12页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习等内容，欢迎下载使用。
本节课是人教B版必修3第七章三角函数的第一小节，主要内容是角的概念的推广，把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等。在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来，理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键。
【教学重点】
任意角的概念、象限角与区间角的概念、掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角
【教学难点】
终边相同角的表示方法与确定
问题1：角的概念的推广
引入：初中是怎么定义角的？
（1）我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边。
（2）角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
（3）图中所示的大小为的角，即可以认为是OA旋转到OB所形成的，也可以认为是OB旋转到OA所形成的。
（4）以前学习的角，范围是
答：（1）只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过；
（2）甲、乙两人观察到的摩天轮旋转方向相反，如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一个人观察到的是顺时针旋转，由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分。
知识点1 角的概念的推广
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，
（1）这两条射线分别称为角的始边和终边；
（2）按照逆时针方向旋转而成的角称为正角，按照顺时针方向旋转而成的角称为负角，当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角，
（3）这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也称为转角．
注：（1）上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的。因此，角的概念经过以上的推广之后，就包括正角、负角、零角。也就是说，角的大小是任意的，由此，我们把角的概念推广到了任意角。
（2）作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量。如图（1），（2）所示的两个转角中，射线OA绕端点O旋转到OB时，旋转的绝对量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知： ；
利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义。
（1）例如，对于来说，如图（1）所示，射线OA逆时针旋转到OB所形成的角为，OB逆时针旋转到OC所形成的角为，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为：；
（2）如图（2）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为，OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为：。
知识点2：角的加减法运算
1.射线OA绕端点O旋转到OB位置所形成的角，记作，其中OA叫做的始边，OB叫做的终边；
2.引入了正负角的概念之后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化为，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和。
【对点快练】
1．下列说法正确的是( )
A．最大角是180° B．最大角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以任意大小
答案：D 由角的定义，角可以是任意大小的．
2．喜洋洋步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60° D．－60°
答案：D 利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又因为周角为360°，所以有eq \f(360°,12)×2＝60°，即分针走过的角度是－60°.
问题2：象限角
为了方便起见，通常讲角放在平面直角坐标系中来讨论：
知识点3 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
例如，图（1）中的角都是第一象限角；图（2）中的角是第二象限角，是第三象限角，是第四象限角，不是象限角，其终边在y轴的负半轴上。
【对点快练】
1．下列哪个角是第三象限角( )
A．15° B．105°
C．215° D．315°
答案：C ∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角．
2．以下说法，其中正确的有( )
①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角
③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 D
知识点4 终边相同的角
一般地，角α＋k·360°(k∈Z)与角α的终边相同．任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍，因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
【对点快练】
1．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )
A．－300° B．－60°
C．600° D．1 380°
答案：A 与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.
2．已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为____________．
答案：1 110° 3×360°＋30°＝1 110°.
例1.如图所示，已知角的终边为射线OA，分别作出角的终边。
解：由角的定义可知，把角的终边OA逆时针方向旋转可得角的终边OB，把角的终边OA顺时针方向旋转可得的终边OC，把角的终边OA逆时针方向旋转可得角的终边OD，如图所示。
【变式练习】
下列命题
①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中不正确的序号为____________．
答案：①②③④
①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确．
②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．
③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确
④0°角是小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
例2.分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式的元素写出来。
（1） （2）
解：（1）
解不等式，得，所以
可取-1，0或1，因此S中满足得元素是
，
，
。
（2）
解不等式，得，所以
可取0，1或2，因此S中满足得元素是
，
，
。
【变式练习】
已知角α＝2 010°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解 (1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.
∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.
又β＝210°是第三象限角，
∴α为第三象限角．
(2)与2 010°终边相同的角：k·360°＋2 010°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－6eq \f(7,12)≤k<－3eq \f(7,12)(k∈Z)．
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
例3.写出终边在第一象限内的角的集合
解：因为大于且小于的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与内某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为
【变式练习】
已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为
{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于(注：区间内部是实数，严格意义上，角度不能用区间表示．)30°～135°之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
例4.写出终边在x轴上的角的集合
解：在内，终边在x轴上的角有两个，即和，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为：
为简便起见，我们把集合和的表示方法改为
因为，所以
即集合S是终边在x轴上的角的集合。
例4的结果也可从直观上理解：零点的终边在x轴上，零角的终边旋转 终边仍然落在x轴上的角的集合为
【变式练习】
如图所示，则终边在图中所示直线的角的集合为____________．
答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z} 由题图易知，在0°～360°范围，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
例5. 已知α为第三象限角，则eq \f(α,2)是第几象限角？
解 因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°<α所以k·180°＋90°当k为偶数时，记k＝2n，
n·360°＋90°所以eq \f(α,2)终边在第二象限，
当k为奇数时，记k＝2n＋1，
n·360°＋270°所以eq \f(α,2)终边在第四象限．
综上知，eq \f(α,2)是第二象限角或第四象限角．
【变式练习】
已知α角是第三象限角，则2α是第几象限角？
解 因为α角是第三象限角，
所以k·360°＋180°<α因此，2k·360°＋360°<2α<2k·360°＋540°(k∈Z)，
即(2k＋1)360°<2α<(2k＋1)360°＋180°(k∈Z)，
故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．
小结：
1．理解任意角的概念要抓住四个要素：顶点、始边、终边和射线的旋转方向．
2．象限角的确定依赖于角的终边位置的确定，要注意对表达式中的k进行分类讨论，以确定角的终边的位置．
3．熟练掌握终边相同的角的公式及应用，明确象限角的概念与内涵是解题的依据．
考点
教学目标
核心素养
角的概念的推广
理解任意角的概念、象限角与区间角的概念．
数学抽象、数学运算
角的表示
掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角.
数学抽象、数学运算
本节课是人教B版必修3第七章三角函数的第一小节，主要内容是角的概念的推广，把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等。在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来，理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键。
【教学重点】
任意角的概念、象限角与区间角的概念、掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角
【教学难点】
终边相同角的表示方法与确定
问题1：角的概念的推广
引入：初中是怎么定义角的？
（1）我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边。
（2）角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
（3）图中所示的大小为的角，即可以认为是OA旋转到OB所形成的，也可以认为是OB旋转到OA所形成的。
（4）以前学习的角，范围是
答：（1）只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过；
（2）甲、乙两人观察到的摩天轮旋转方向相反，如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一个人观察到的是顺时针旋转，由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分。
知识点1 角的概念的推广
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，
（1）这两条射线分别称为角的始边和终边；
（2）按照逆时针方向旋转而成的角称为正角，按照顺时针方向旋转而成的角称为负角，当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角，
（3）这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也称为转角．
注：（1）上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的。因此，角的概念经过以上的推广之后，就包括正角、负角、零角。也就是说，角的大小是任意的，由此，我们把角的概念推广到了任意角。
（2）作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量。如图（1），（2）所示的两个转角中，射线OA绕端点O旋转到OB时，旋转的绝对量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知： ；
利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义。
（1）例如，对于来说，如图（1）所示，射线OA逆时针旋转到OB所形成的角为，OB逆时针旋转到OC所形成的角为，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为：；
（2）如图（2）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为，OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为：。
知识点2：角的加减法运算
1.射线OA绕端点O旋转到OB位置所形成的角，记作，其中OA叫做的始边，OB叫做的终边；
2.引入了正负角的概念之后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化为，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和。
【对点快练】
1．下列说法正确的是( )
A．最大角是180° B．最大角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以任意大小
答案：D 由角的定义，角可以是任意大小的．
2．喜洋洋步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60° D．－60°
答案：D 利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又因为周角为360°，所以有eq \f(360°,12)×2＝60°，即分针走过的角度是－60°.
问题2：象限角
为了方便起见，通常讲角放在平面直角坐标系中来讨论：
知识点3 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
例如，图（1）中的角都是第一象限角；图（2）中的角是第二象限角，是第三象限角，是第四象限角，不是象限角，其终边在y轴的负半轴上。
【对点快练】
1．下列哪个角是第三象限角( )
A．15° B．105°
C．215° D．315°
答案：C ∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角．
2．以下说法，其中正确的有( )
①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角
③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 D
知识点4 终边相同的角
一般地，角α＋k·360°(k∈Z)与角α的终边相同．任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍，因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
【对点快练】
1．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )
A．－300° B．－60°
C．600° D．1 380°
答案：A 与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.
2．已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为____________．
答案：1 110° 3×360°＋30°＝1 110°.
例1.如图所示，已知角的终边为射线OA，分别作出角的终边。
解：由角的定义可知，把角的终边OA逆时针方向旋转可得角的终边OB，把角的终边OA顺时针方向旋转可得的终边OC，把角的终边OA逆时针方向旋转可得角的终边OD，如图所示。
【变式练习】
下列命题
①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中不正确的序号为____________．
答案：①②③④
①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确．
②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．
③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确
④0°角是小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
例2.分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式的元素写出来。
（1） （2）
解：（1）
解不等式，得，所以
可取-1，0或1，因此S中满足得元素是
，
，
。
（2）
解不等式，得，所以
可取0，1或2，因此S中满足得元素是
，
，
。
【变式练习】
已知角α＝2 010°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解 (1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.
∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.
又β＝210°是第三象限角，
∴α为第三象限角．
(2)与2 010°终边相同的角：k·360°＋2 010°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－6eq \f(7,12)≤k<－3eq \f(7,12)(k∈Z)．
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
例3.写出终边在第一象限内的角的集合
解：因为大于且小于的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与内某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为
【变式练习】
已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为
{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于(注：区间内部是实数，严格意义上，角度不能用区间表示．)30°～135°之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
例4.写出终边在x轴上的角的集合
解：在内，终边在x轴上的角有两个，即和，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为：
为简便起见，我们把集合和的表示方法改为
因为，所以
即集合S是终边在x轴上的角的集合。
例4的结果也可从直观上理解：零点的终边在x轴上，零角的终边旋转 终边仍然落在x轴上的角的集合为
【变式练习】
如图所示，则终边在图中所示直线的角的集合为____________．
答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z} 由题图易知，在0°～360°范围，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
例5. 已知α为第三象限角，则eq \f(α,2)是第几象限角？
解 因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°<α
n·360°＋90°
当k为奇数时，记k＝2n＋1，
n·360°＋270°
综上知，eq \f(α,2)是第二象限角或第四象限角．
【变式练习】
已知α角是第三象限角，则2α是第几象限角？
解 因为α角是第三象限角，
所以k·360°＋180°<α
即(2k＋1)360°<2α<(2k＋1)360°＋180°(k∈Z)，
故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．
小结：
1．理解任意角的概念要抓住四个要素：顶点、始边、终边和射线的旋转方向．
2．象限角的确定依赖于角的终边位置的确定，要注意对表达式中的k进行分类讨论，以确定角的终边的位置．
3．熟练掌握终边相同的角的公式及应用，明确象限角的概念与内涵是解题的依据．
考点
教学目标
核心素养
角的概念的推广
理解任意角的概念、象限角与区间角的概念．
数学抽象、数学运算
角的表示
掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角.
数学抽象、数学运算
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