高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算教学设计

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1、空间向量的有关概念
2、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点
（2）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点
3、空间向量的数量积及运算律
（1）数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
（2）空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
知识典例
题型一 空间向量基本关系
例1 向量互为相反向量，已知＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为实数0
C． 与方向相同D．＝3
【答案】D
【详解】
向量互为相反向量，
则模相等、方向相反.
.
故选：D.
巩固练习
1、下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理判断选项可解.
【详解】
项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.
项中因为基底不唯一，所以错.
故选.
2、在下列命题中：
①若、共线，则、所在的直线平行；
②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；
③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；
④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【详解】
①若、共线，则、所在的直线平行或重合；所以①错；
②因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以②错；
③若、、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、、三向量不一定共面；所以③错；
④若三向量、、共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以④错.
故选：A.
题型二 空间向量的表示
例 2 如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
解：因为，所以，
在平行六面体中，
，
故选：C
【点睛】
巩固练习
1、在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
解：在四面体中，点在上，且，为中点，
所以
，
即.
故选：B.
2、在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.
【答案】
解：在四面体中，、分别是、的中点，
则
.
故答案为：.
题型三 基底问题
例 3 （多选）设，，是空间一个基底，则( )
A．若⊥，⊥，则⊥
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组(x，y，z)，使
D．则＋，＋，＋一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，所以A选项错误.
对于B选项，根据基底的概念可知，，两两共面，但，，不可能共面.
对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.
对于D选项，由于，，是空间一个基底，所以，，不共面.假设＋，＋，＋共面，设，化简得，即，所以，，共面，这与已知矛盾，所以＋，＋，＋不共面，可以作为基底.所以D选项正确.
故选：BCD
巩固练习
1、有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；
③已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底．
其中正确的命题是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】C
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，
那么的关系是不共线；所以不正确．
反例：如果有一个向量为零向量，
共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．
②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，
那么点一定共面；这是正确的．
③已知向量是空间的一个基底，则向量不共面，
也是空间的一个基底；所以正确．
故选：C．
2、下列关于空间向量的命题中，正确的有______.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择.
【详解】
对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误；
对于③：若，，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，，，四点共面，故③正确；
对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使得，则，，也是空间的一组基底，故④正确.
故答案为：①③④
题型四 共面问题
例 4 已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有，则的值是( )
A．1B．0C．3D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因，则M、A、B、C四点共面，必有，解得，故选D．
考点：空间向量的共面问题．
巩固练习
1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为( )
A．，－B．－，－C．－，D．，
【答案】A
由于，
所以.
故选：A
【点睛】
2、设是平面内不共线的向量，已知若A，B，D三点共线，则____.
【答案】
【解析】
【分析】
由A、B、D三点共线、共线向量定理得关于的方程，即可得答案；
【详解】
，
又A、B、D三点共线，由共线向量定理得，
，
故答案为：.
题型四 数量积
例 4 已知a、b是异面直线，且a⊥b，分别为取自直线a、b上的单位向量，且，则实数k的值为___.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据向量垂直数量积为0，可得关于的方程，解方程即可得答案；
【详解】
由，得，
∴，∴，∴.
故答案为：6.
巩固练习
如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
运用向量的减法表示向量＝－，再由向量数量积的定义分别求·和·可得答案.
【详解】
∵＝－，∴·＝·－·
＝|cs〈〉－|cs〈〉
＝8×4×cs 135°－8×6×cs 120°＝24－16.
题型五 异面直线夹角
例 5 ⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱AB、▱BC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线与AC所成的角.
【答案】60°
【解析】
【分析】
根据几何体的特点，利用向量法求得，以及对应的模长，则问题得解.
【详解】
如图所示.
因为
故
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
故
故
又
故.
而，故可得，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC成60°角.
巩固练习
如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，，，
求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】．
【分析】根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
【详解】
因为，
因为，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
题型六 线段长度求解
例 6 已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．
【答案】
【解析】
，所以
，所以，故填：.
巩固练习
已知平行六面体，，，，，设，，；
（1）试用、、表示；
（2）求的长度；
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据空间向量的线性运算法则，由此能求出结果．
（2）由．，，由此能求出的长度．
【详解】
解：（1）
．
（2）．
，，
，，设，，；
，
的长度为．
题型七 共面证明
例 7 如图，已知、、、、、、、、为空间的个点，且，，，，，，.
求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）；
（3）.
证明：（1）∵，，∴A、B、C、D四点共面．
∵，，∴E、F、G、H四点共面．
（2），∴.
（3）.
巩固练习
如图，点M，N分别在对角线上，且．求证：向量共面．
【答案】证明见解析.
【分析】
由题意，在上取点，使，从而可证，，从而可证向量，，共面．
【详解】
证明：如图，在上取点，使，
又，
，又，
，
同理，，
故由、、共面可知，
向量，，共面．
巩固提升
1、下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【详解】
A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.
B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.
C.零向量：模长为0的向量.真命题.
D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.
故选：D.
2、对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则（ ）
A．四点，，，必共面B．四点，，，必共面
C．四点，，，必共面D．五点，，，，必共面
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得到，判定，，共面，进而可得出结果.
【详解】
因为，所以，
即，
根据共面向量基本定理，可得，，共面，
所以，，，，四点共面．
故选：B．
3、在下列命题中：
①若向量共线，则所在的直线平行；
②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；
③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；
④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】
此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A
4、设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.
选项D中，，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，
所以不能作为空间的一个基底.
选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.
故选：C.
5、如图，在空间四边形ABCD中，（ ）
A．B．1C．0D．不确定
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设,,,A1C1与B1D1的交点为E,则=_____.
【答案】-a+b+c
【详解】
如图,)
=)=
故答案为
7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____．
【答案】
【详解】
解：=(+)= +)= +=．
故答案为：.
8、若，，,,若不共面,当时,α+β+γ=____.
【答案】3
【解析】
【分析】
由已知,所以故有α+β+γ=3.
【详解】
由已知,
所以故有α+β+γ=3.
故答案为3
9、如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和
【答案】；
【解析】
【分析】
根据向量的加法、减法法则及已知条件，先求出，，，，再结合图形，运用向量加法，用空间向量基本定理表示出待求向量．
【详解】
因为M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，
所以，，，
所以===
===；
===
===
10、如图所示，在平行六面体中，，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且用基底表示以下向量.
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）..
连接
（1）是的中点
（2）是的中点
（3）是的中点
（4）点在上，且
【点睛】
本题考查空间向量基本定理，属于基础题
11、如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）.
解：（1），
又，
同理可得，
则．
（2）因为，
所以，
因为，
所以．
则异面直线与所成角的余弦值为．
12、已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
（1）求AC′的长；（如图所示）
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）＝＝，再利用向量模的运算即可求解.
（2）利用向量数量积的即可求出夹角的余弦值.
【详解】
（1）可得＝＝，
＝＝+2（）
＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85
故AC′的长等于＝
（2）由（1）可知＝，＝
故＝（）（）
＝
＝＝
又＝＝＝＝5
故与的夹角的余弦值＝＝名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量