2019年上海市徐汇区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2019年上海市徐汇区中考二模数学试卷（期中），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 在下列各式中，运算结果为 x2 的是
A. x4−x2B. x4⋅x−2C. x6÷x3D. x−12

2. 下列函数中，图象在第一象限满足 y 的值随 x 的值增大而减少的是
A. y=2xB. y=1xC. y=2x−3D. y=−x2

3. 关于 x 的方程 x2−mx−1=0 根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定

4. 今年 3 月 12 日，学校开展植树活动，植树小组 16 名同学的树苗种植情况如表：
植树数棵35678人数25162
那么这 16 名同学植树棵树的众数和中位数分别是
A. 5 和 6B. 5 和 6.5C. 7 和 6D. 7 和 6.5

5. 下列说法，不正确的是
A. AB−AC=CB
B. 如果 ∣AB∣=∣CD∣，那么 AB=CD
C. a+b=b+a
D. 若非零向量 a=k⋅bk≠0，则 a∥b

6. 在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=AD，添加下列条件不能推得四边形 ABCD 为菱形的是
A. AB=CDB. AD∥BCC. BC=CDD. AB=BC

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 112 的倒数是 ．

8. 2018 年 1 月，“墨子号”量子卫星实现了距离达 7600000 米的洲际量子密钥分发，数字 7600000 用科学记数法表示为 ．

9. 在实数范围内分解因式 x3−4x 的结果为 ．

10. 不等式组 x−2≥3,5−x>−2 的解集是 ．

11. 方程 4−3x=x 的解是 ．

12. 如图，AB∥CD，若 ∠E=34∘，∠D=20∘，则 ∠B 的度数为 ．

13. 在不透明的盒子中装有 5 个黑色棋子和 15 个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ．

14. 如果函数 y=kx+b 的图象平行于直线 y=3x−1 且在 y 轴上的截距为 2，那么函数 y=kx+b 的解析式是 ．

15. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AD 是 BC 边上的中线，如果 AD=2BC，那么 cs∠CAD 的值是 ．

16. 某校九年级学生共 300 人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取 50 名学生进行 1 分钟的跳绳测试，结果统计的频率分布如图所示，其中从左至右前四个小长方形的高依次为 0.004，0.008，0.034，0.03，如果跳绳次数不少于 135 次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为 ．

17. 如图，把半径为 2 的 ⊙O 沿弦 AB 折叠，AB 经过圆心 O，则阴影部分的面积为 （结果保留 π）．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AB=6，csB=23，先将 △ACB 绕着顶点 C 顺时针旋转 90∘，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到 △AʹCBʹ（点 Aʹ，C，Bʹ 的对应点分别是点 A，C，B），连接 AʹA，BʹB，如果 △AAʹB 和 △AAʹBʹ 相似，那么 AʹC 的长是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：8+3−1−1+2−3−−32．

20. 解方程组：x2−xy−2y2=0,x2+2xy+y2=1.

21. 如图，已知 ⊙O 的弦 AB 长为 8，延长 AB 至 C，且 BC=12AB，tanC=12．求：
（1）⊙O 的半径；
（2）点 C 到直线 AO 的距离．

22. 某市植物园于 2019 年 3 月 −5 月举办花展，按照往年的规律推算，自 4 月下旬起游客量每天将增加 1000 人，游客量预计将在 5 月 1 日达到最高峰，并持续到 5 月 4 日，随后游客量每天有所减少，已知 4 月 24 日为第一天起，每天的游客量 y（人）与时间 x（天）的函数图象如图所示，结合图象提供的信息，解答下列问题：
（1）已知该植物园门票 15 元/张，若每位游客在园内每天平均消费 35 元，试求 5 月 1 日 −5 月 4 日，所有游客消费总额约为多少元?
（2）当 x≥11 时，求 y 关于 x 的函数解析式．

23. 如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=AC，E 是边 BC 上的点，且 ∠AED=∠CAD，DE 交 AC 于点 F．
（1）求证：△ABE∽△DAF；
（2）当 AC⋅FC=AE⋅EC 时，求证：AD=BE．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−14x2+bx+c 与直线 y=12x−3 分别交 x 轴、 y 轴上的 B，C 两点，设该抛物线与 x 轴的另一个交点为点 A，顶点为点 D，连接 CD 交 x 轴于点 E．
（1）求该抛物线的表达式及点 D 的坐标；
（2）求 ∠DCB 的正切值；
（3）如果点 F 在 y 轴上，且 ∠FBC=∠DBA+∠DCB，求点 F 的坐标．

25. 如图，△ABC 中，AC=BC=10，csC=35，点 P 是 AC 边上一动点（不与点 A，C 重合），以 PA 长为半径的 ⊙P 与边 AB 的另一个交点为 D，过点 D 作 DE⊥CB 于点 E．
（1）当 ⊙P 与边 BC 相切时，求 ⊙P 的半径．
（2）连接 BP 交 DE 于点 F，设 AP 的长为 x，PF 的长为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并直接写出 x 的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当以 PE 长为直径的 ⊙Q 与 ⊙P 相交于 AC 边上的点 G 时，求相交所得的公共弦的长．
答案
第一部分
1. B【解析】x4 与 x2 不是同类项，不能合并，A选项错误；
x4⋅x−2=x2，B选项正确；
x6÷x3=x3，C选项错误；
x−12=x−2，D选项错误．
2. B【解析】A．y=2x 图象在第一象限满足 y 的值随 x 的值增大而增大，故此选项错误；
B．y=1x 图象在第一象限满足 y 的值随 x 的值增大而减小，故此选项正确；
C．y=2x−3 图象在第一象限满足 y 的值随 x 的值增大而增大，故此选项错误；
D．y=−x2 图象在第四象限满足 y 的值随 x 的值增大而减小，故此选项错误．
3. A【解析】Δ=−m2−4×1×−1=m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4>0，即 Δ>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
4. D【解析】∵ 植树数为 3 的有 1 人，植树数为 5 的有 5 人，植树数为 6 的有 1 人，植树数为 7 的有 6 人，植树数为 8 的有 2 人，
∴ 出现次数最多的数据是 7，
∴ 众数为 7；
∵ 一共有 16 名同学，
∴ 因此其中位数应是第 8 和第 9 名数据的平均数，
∴ 中位数为 6+7÷2=6.5，故中位数为：6.5．
5. B
【解析】A、正确．∵AB=AC+CB，∴AB−AC=CB．不符合题意．
B、错误．模相等的向量不一定相等，符合题意．
C、正确．向量的解法返回加法交换律．不符合题意．
D、正确．根据平行向量的判定得出结论．不符合题意．
6. D【解析】A选项：若 AB=CD，
∵AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
当 AB=AD 可判定四边形 ABCD 是菱形；
B选项：当 AD∥BC 时，又 AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
当 AB=AD 可判定四边形 ABCD 是菱形；
C选项：当 BC=CD 时，△ABC≌△ACDSAS，
∴∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠C+∠ABC=180∘．
∴∠A+∠ABC=180∘．
∴AD∥BC．
又 AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
当 AB=AD 可判定四边形 ABCD 是菱形；
D选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形．
第二部分
7. 23
【解析】112 的倒数是 1112=23．
8. 7.6×106
【解析】7600000=7.6×106．
9. xx+2x−2
【解析】x3−4x=xx2−4=xx+2x−2．
10. 5≤x<7
【解析】不等式组 x−2≥3, ⋯⋯①5−x>−2. ⋯⋯②
解 ① 式得 x≥5，
解 ② 式得 x<7．
故该不等式的解集为：5≤x<7．
11. x=1
【解析】原方程变形为 4−3x=x2，
整理得 x2+3x−4=0，
∴x+4x−1=0，
∴x+4=0 或 x−1=0，
∴x1=−4（舍去），x2=1．
12. 54∘
【解析】如图，
∵∠E=34∘，∠D=20∘，
∴∠BCD=∠D+∠E=20∘+34∘=54∘，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=54∘．
13. 14
【解析】任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率 =55+15=14．
14. y=3x+2
【解析】∵ 函数 y=kx+b 的图象平行于直线 y=3x−1 且在 y 轴上的截距为 2，
∴k=3，b=2，
∴ 函数 y=kx+b 的解析式为 y=3x+2．
15. 154
【解析】设 CD=a，
∵AD 是 BC 边上的中线，
∴BC=2CD=2a，
∴AD=2BC=4a，
由勾股定理得，AC=AD2−CD2=15a，
∴cs∠CAD=ACAD=15a4a=154．
16. 72 人
【解析】∵ 从左至右前四个小长方形的高依次为 0.004，0.008，0.034，0.03，
∴ 从左至右前四个小组的频率为：0.04，0.08，0.34，0.3；
∴ 跳绳次数不少于 135 次的频率为 1−0.04−0.08−0.34−0.3=0.24，
∴ 全年级达到跳绳优秀的人数为 300×0.24=72 人．
17. 4π3−3
【解析】过 O 作 OD⊥AB 于 D，交劣弧 AB 于 E，如图：
∵ 把半径为 2 的 ⊙O 沿弦 AB 折叠，AB 经过圆心 O，
∴OD=DE=1，OA=2，
∵ 在 Rt△ODA 中，sinA=ODOA=12，
∴∠A=30∘，
∴∠AOE=60∘，
同理 ∠BOE=60∘，
∴∠AOB=60∘+60∘=120∘，
在 Rt△ODA 中，由勾股定理得：AD=OA2−OD2=22−12=3，
∵OD⊥AB，OD 过 O，
∴AB=2AD=23，
∴ 阴影部分的面积 S=S扇形AOB−S△AOB=120π×22360−12×23×1=4π3−3．
18. 35−5
【解析】由题意当点 Aʹ 在线段 BC 上且 AAʹ 平分 ∠BAC 时，△AAʹB 和 △AAʹBʹ 相似，作 AʹH⊥AB 于 H．
在 Rt△ABC 中，
∵csB=BCAB=23，AB=6，
∴BC=4，AC=62−42=25，
∵∠AʹAH=∠AʹAC，∠AHAʹ=∠ACAʹ=90∘，AAʹ=AAʹ，
∴△AAʹH≌△AAʹCAAS，
∴AʹC=AʹH，AC=AH=25，
设 AʹC=AʹH=x，
在 Rt△AʹBH 中，4−x2=x2+6−252，
∴x=35−5，
∴AʹC=35−5．
第三部分
19. 原式=22+13−1+3−2−3=22+3+12+3−2−3=323+2−52.
20.
x2−xy−2y2=0, ⋯⋯①x2+2xy+y2=1. ⋯⋯②
由 ① 得
x+yx−2y=0.
所以
x+y=0或x−2y=0.
由 ② 得
x+y2=1.
所以
x+y=1或x+y=−1.
所以原方程组化为 x+y=0,x+y=1 或 x+y=0,x+y=−1 或 x−2y=0,x+y=1 或 x−2y=0,x+y=−1,
所以原方程组的解为 x1=23,y1=13, x2=−23,y2=−13.
21. （1） 过 O 作 OD⊥AB 于 D，则 ∠ODC=90∘，
∵OD 过 O，
∴AD=BD，
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
∵BC=12AB，
∴BC=4，
∴DC=4+4=8，
∵tanC=12=ODCD，
∴OD=4，
在 Rt△ODA 中，由勾股定理得：OA=OD2+AD2=42+42=42，
即 ⊙O 的半径是 42．
（2） 过 C 作 CE⊥AO 于 E，
则 S△AOC=12×AC×OD=12×AO×CE，
即 12×12×4=12×42×CE，
解得：CE=62，即点 C 到直线 AO 的距离是 62．
22. （1） 根据题意，得 5 月 1 日到 5 月 4 日每天的游客量均为：33000+7×1000=40000（人），
∴ 所有游客消费总额为：15+35×40000×4=8000000（元），
答：5 月 1 日到 5 月 4 日所有游客消费总额为 8000000 元．
（2） 设函数解析式为 y=kx+b，
把 11,40000 和 18,34400 都代入，得 40000=11x+b,34400=18x+b,
解得 k=−800,b=48800,
∴ 函数的解析式为：y=−800x+48800．
23. （1） ∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DAF=∠B，
∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，∠AED=∠CAD=∠ACB，
∴∠DEC=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADF，
∴∠BAE=∠ADF，
∴△ABE∽△DAF．
（2） ∵AC⋅FC=AE⋅EC，AC=AB，
∴AB⋅FC=AE⋅EC，
∴ABEC=AEFC，
∵∠B=∠FCE，∠BAE=∠FEC，
∴△BAE∽△CEF，
∴ABEC=AEEF，
∴AEFC=AEEF，
∴FC=EF，
∴∠FEC=∠FCE，
∵∠FCE=∠B，
∴∠B=∠FEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BE，
∴ 四边形 ADEB 是平行四边形，
∴AD=BE．
24. （1） y=12x−3，令 y=0，则 x=6，令 x=0，则 y=−3，
则点 B，C 的坐标分别为 6,0，0,−3，则 c=−3，
将点 B 坐标代入抛物线 y=−14x2+bx−3 得：0=−14×36−6b−3，解得：b=2，
故抛物线的表达式为：y=−14x2+2x−3，令 y=0，则 x=6或−2，
即点 A2,0，则点 D4,1．
（2） 过点 E 作 EH⊥BC 交于点 H，
C，D 的坐标分别为：0,−3，4,1，
直线 CD 的表达式为：y=x−3，则点 E3,0，
tan∠OBC=OCOB=36=12，则 sin∠OBC=15，
则 EH=EB⋅sin∠OBC=35，
CE=32，则 CH=95，
则 tan∠DCB=EHCH=13．
（3） 点 A，B，C，D，E 的坐标分别为 2,0，6,0，0,−3，4,1，3,0，则 BC=35，
∵OE=OC，
∴∠AEC=45∘，tan∠DBE=16−4=12，
故：∠DBE=∠OBC，
则 ∠FBC=∠DBA+∠DCB=∠AEC=45∘，
①当点 F 在 y 轴负半轴时，过点 F 作 FG⊥BG 交 BC 的延长线与点 G，
则 ∠GFC=∠OBC=α，
设：GF=2m，则 CG=CGtanα=m，
∵∠CBF=45∘，
∴BG=GF，即：35+m=2m，解得：m=35，
CF=GF2+CG2=5m=15，
故点 F0,−18；
② 当点 F 在 y 轴正半轴时，同理可得：点 F0,2；
故：点 F 坐标为 0,2 或 0,−18．
25. （1） 设 ⊙P 与边 BC 相切的切点为 H，圆的半径为 R，连接 HP，
则 HP⊥BC，csC=35，则 sinC=45，
sinC=HPCP=R10−R=45，解得：R=409．
（2） 在 △ABC 中，AC=BC=10，csC=35，
设 AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，
过点 B 作 BH⊥AC，
则 BH=ACsinC=8，
同理可得：CH=6，HA=4，AB=45，则：tan∠CAB=2，
BP=82+x−42=x2−8x+80，
DA=255x，则 BD=45−255x，
如图所示，PA=PD，
∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，tanβ=2，
则 csβ=15，sinβ=25，
EB=BDcsβ=45−255x×15=4−25x，
∴PD∥BE，
∴EBPD=BFPF，即：4−25xx=x2−8x+80−yy，
整理得：y=5x3x+20x2−8x+800 （3） 以 EP 为直径作圆 Q 如图所示，两个圆交于点 G，则 PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为 D，GD 为相交所得的公共弦，
∵ 点 Q 时弧 GD 的中点，
∴DG⊥EP，
∵AG 是圆 P 的直径，
∴∠GDA=90∘，
∴EP∥BD，
由（2）知，PD∥BC，
∴ 四边形 PDBE 为平行四边形，
∴DP=BE，即：x=4−25x，
解得：x=207，
GD=2GPsin∠GPE=2xsinβ=1657，
即：相交所得的公共弦的长为 1657．