2023年上海市徐汇区中考数学二模试卷(含解析)

2023年上海市徐汇区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列互为倒数的是(     )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2.  下列运算结果错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点、对应的实数分别是、，下列结论一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若点、、在反比例函数的图象上，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校足球社团有名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(    )

A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差

6.  如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是(    )

A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  计算：______．

8.  已知，那么 ______ ．

9.  根据电影发行方的数据，电影满江红截至年月日，以元的票房高居春节档前列，数据用科学记数法表示为______ ．

10.  方程组的解是______ ．

11.  妈妈煮了个汤圆，分别是个花生味和个芝麻味，小明随意吃两个恰好都是花生味的概率是______ ．

12.  已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______ ．

13.  如图，已知在中，点是边上一点，且设，，那么向量 ______ 用的形式表示，其中、为实数

14.  为了了解学生在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图每组数据含最小值，不含最大值如果该校有名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于小时的学生人数约是______ 人

15.  某公司产品的销售收入元与销售量吨的函数关系记为，销售成本与销售量的函数关系记为，两个函数的图象如图所示当销售收入与销售成本相等时，销售量为______ 吨

16.  如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ______ ．

17.  如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、点在点右侧，与轴的交点分别为、如果，那么抛物线的表达式是______ ．

18.  如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为，点是上的动点，点是线段的中点，那么长的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，然后从，，，，中选一个合适的数代入求值．

20.  本小题分
求不等式组的整数解．

21.  本小题分
如图，、分别是边上的高和中线，已知，．
求的长；
求的值．

22.  本小题分
小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图、图所示，花洒安装在离地面高度厘米的处，花洒的长度为厘米．
已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点与墙面的距离结果保留根号
某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜元，因此比上个月多卖出个的同时销售额也上涨了元，求这个此款花洒的原价是多少元？
 

23.  本小题分
如图，已知是的外接圆，联结并延长交边于点，联结，且．
求证：；
当时，过点作边的平行线，交于点，联结交于点请画出相应的图形，并证明：．

24.  本小题分
如图，已知抛物线经过点，与轴交于点、．
求抛物线的顶点的坐标；
点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标；
点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式．

25.  本小题分
已知：如图，四边形中，，．
求证：四边形是等腰梯形；
边的垂直平分线交于点，交对角线于点，交射线于点．
当时，设长为，试用表示的长；
当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，
和互为倒数，符合题意；
B、，
和不互为倒数，不符合题意；
C、，
和不互为倒数，不符合题意；
D、，
和不互为倒数，不符合题意．
故选：．
根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是的两个数叫互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
选项的运算正确，不符合题意；
，
选项的运算正确，不符合题意；
，
选项的运算正确，不符合题意；
和不是同类项，不能合并，
选项的运算错误，符合题意．
故选：．
利用同底数幂的除法法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法法则和合并同类项的法则对每个选项进行逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和合并同类项，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据数轴可知，，
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；
：依题意，故结论正确，该选项符合题意；
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意．
故选：．
首先利用数轴上的信息确定、的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题．
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时也利用了不等式的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，
点、在第二象限，；在第四象限，，
．
故选：．
先判断出反比例函数的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，而岁人数有人，
故该组数据的众数为岁，
中位数为：岁．
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：．
由频数分布表可知年龄岁和年龄岁的两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：分别取、中点和，连接，
是梯形的中位线，
，
分别以、为直径的圆的圆心是和，
和的圆心距，
的半径，的半径，
，
这两圆的位置关系是外离．
故选：．
两圆的圆心距是，半径分别是、，两圆外离，由此即可判断．
本题考查圆与圆的位置关系，关键是掌握圆与圆位置关系的判定方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据算术平方根的定义，
得，．
故答案为：．
根据算术平方根的定义，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，解答出即可；
本题考查了算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据，可以求得的值，本题得以解决．
本题考查函数值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

10.【答案】， 

【解析】解：，
由得：，
或，
由和组成两个二元一次方程组：
，，
解得：，，
所以原方程组的解是，．
故答案为：，．
由得出，求出或，由和组成两个二元一次方程组，求出两方程组的解即可．
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设个花生味的汤圆分别记为，，个芝麻味的汤圆分别记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明随意吃两个恰好都是花生味的结果有：，，共种，
小明随意吃两个恰好都是花生味的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及小明随意吃两个恰好都是花生味的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
解得：，
故答案为：．
根据“关于的方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用三角形法则求出，再求出，即可．
本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：人，
估计该校平均每周做家务的时间少于小时的学生人数约是人．
故答案为：．
用总人数乘样本中平均每周做家务的时间少于小时的学生人数所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．本题用到的知识点是：频率频数总数，用样本估计整体让整体样本的百分比即可．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
函数是正比例函数，过点；函数是一次函数，过点，，
设，
则，得，
即；
设，
则，
解得，
即；
令，
则，
解得，
即当销售收入与销售成本相等时，销售量为吨，
故答案为：．
根据函数图象和图象中的数据，可以得到两个函数对应的函数解析式，然后令它们的函数值相等，求出相应的的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作直线交，分别为，，

点是的中点，
，
正方形是的内接正方形，
，
设的半径为，
则，
，
，
，
．
故答案为：．
作直线交，分别为，，点是的中点，根据垂径定理得，根据正方形是的内接正方形，所以，设的半径为，则，，，根据，所以．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质以及正多边形和圆，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质以及正多边形和圆的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：令，
解得，，
，，
当时，，
，
当时，，
，
，
在中，
，
，
，
解得，
抛物线：，
将，代入，
得
解得，
抛物线的表达式是：．
故答案为：．
先利用抛物线求出，，的坐标，再利用，以及勾股定理求出点的坐标，最后用待定系数法求出的表达式即可．
本题考查待定系数法求抛物线解析式，解答时涉及抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：、点，
，，，
连接，，取的中点，即的坐标，

连接，
又分别是、的中点，
，
是定点，，即点的运动轨迹是以点为中心，为半径的圆．
，

点坐标，
，
的取值范围是，即，
即．
故答案为：．
根据分别是、的中点，，是定点，，即点的运动轨迹是以点为中心，为半径的圆，由此解答即可．
本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
，，，
、、，
当时，原式，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得，
不等式组的解集为，
则不等式组整数解有、、、、、、． 

【解析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：是边上中线，，
．
是边上的高，，
是等腰直角三角形，，
，
设，则，．
，
，
解得，
的长为；
如图，作于．
由知，，
，
．
在中，，
可设，则．
，
，
解得，
，
． 

【解析】根据三角形中线的定义得出根据正切函数的定义设，则，由，列出方程，求出即可得到的长；
如图，作于利用勾股定理求出在中，利用正切函数定义以及勾股定理求出，然后根据正弦函数定义即可求出．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形的中线和高，掌握相关定义及定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作，作，，垂足分别为，，

，
，
，
厘米，
厘米，厘米，
厘米，
，
，
，
厘米，
厘米，
答：水流喷射到地面的位置点与墙面的距离为厘米；
设每个花洒的原价是元，则现在的价格是元，
根据题意得：，
解得或舍去，
经检验：是原方程的解，
答：这个此款花洒的原价是元． 

【解析】过点作，作，，垂足分别为，，分别求出厘米，厘米，即可得出答案；
设每个花洒的原价是元，则现在的价格是元，根据题意得：，解方程即可．
本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
 

23.【答案】证明：延长，交于点，交于点，如图，
，
，
，
∽，
．
，
，
，
，
，
，
；
解：依题意画出图形如图：
，
，
，
，，
．
，
，
，
∽，
．
，
，
． 

【解析】延长，交于点，交于点，利用相似三角形的判定定理与性质定理得到，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理得到，利用垂径定理和圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理解答即可得出结论；
依题意画出图形，利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到，利用相似三角形的判定与性质和等量代换解答，即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线经过点，点，
，
解得：，
，
抛物线的顶点的坐标为；
设，且，如图，连接，设抛物线的对称轴交轴于，
则，

点、关于直线对称，
，
，，，
由翻折得：，，
点在抛物线的对称轴上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
取中的点，连接，，设直线交轴于点，
，
为等边三角形，
，
，
，

点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，为等边三角形，
，，
，即，
≌，
，
在中，，，，
，
，
，
设直线的函数表达式为，把、代入，得：，
解得：，
直线的表达式为． 

【解析】运用待定系数法即可求得抛物线解析式为，再运用配方法化为顶点式即可得出抛物线的顶点的坐标为；
设，且，连接，设抛物线的对称轴交轴于，利用抛物线的对称性可得，由翻折的性质可得：，，推出是等边三角形，得出，，再运用解直角三角形即可求得答案；
取中的点，连接，，设直线交轴于点，可得为等边三角形，再证得≌，得出，利用解直角三角形求得，再运用待定系数法即可求得直线的表达式．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的应用，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，解本题的关键，熟练掌握代入法求二次函数解析式，添加辅助线构造全等三角形．
 

25.【答案】证明：延长、交于点，

，
，
，
，即，
，
，
，
即，
，
，
，
，
与不平行，
四边形是梯形，
，
梯形是等腰梯形；
解：连接，
则，
，

，
，
∽，
四边形是等腰梯形，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，，，
，即，
解得：，或不符合题意，舍去，
；
延长、交于点，过点作，交于，作于，设与的交点为，
若点在线段上，则点为的中点，为等腰梯形的中位线，
则，
，这与矛盾；
若点在线段的延长线上，如图，

，
又，
，
设，，则，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
整理得，
解得：，
，
，
． 

【解析】延长、交于点，证明，与不平行，且即可；
连接，证明∽，设，则，，，则，即可求得答案；
延长、交于点，过点作，交于，作于，设与的交点为，若点在线段上，则点为的中点，为等腰梯形的中位线，，这与矛盾；若点在线段的延长线上，由，则，设，，则，，由，可得，利用解直角三角形可得，求得，即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了等腰梯形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等，综合性强，难度大，属于中考压轴题．