中考数学复习7：二次函数

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中考数学复习7：二次函数
知识集结
知识元
二次函数
知识讲解
二次函数的识别
1.二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数的结构特征：
(1)等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2；
(2)是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二次函数的图象与性质
1.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
2.二次函数的基本形式及性质
(1)二次函数基本形式：的性质：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．









(2)的性质：（上加下减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．








(3)的性质：（左加右减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．








(4)的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．








3.二次函数的性质
(1)当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，有最小值．
(2)当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
当时，有最大值．
二次函数图象的变换
1.二次函数图象的平移
方法一：
(1)将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

(2)平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
(1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
(2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
2.二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
(1)关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
(2)关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
(3)关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
(4)关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
(5)关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是.
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：（，，为常数，）；
(2)顶点式：（，，为常数，）；
(3)两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.待定系数法求二次函数解析式：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
(3)已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
二次函数系数与图象之间的关系
1.二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
(1)当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
(2)当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2.一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
(1)在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
(2)在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
3.常数项
(1)当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
(2)当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
(3)当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数的实际应用
1.列二次函数解应用题  
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式，对于应用题要注意以下步骤 
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)；
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；  
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式这就是二次函数； 
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题； 
(5)检验所得解是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
(6)写出答案.
要点诠释：常见的问题，求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.    
2.建立二次函数模型求解实际问题的一般步骤： 
(1)恰当地建立直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数关系式；
(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
(5)利用关系式求解问题.
注意：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题.利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
二次函数与方程和不等式
1.一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：
①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
②当时，图象与轴只有一个交点；
③当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3.二次函数常用解题方法总结：
(1)求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
(2)求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
(3)根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
(4)二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
4.二次函数与不等式之间的关系：
判别式



二次函数

的图象



一元二次方程

的根
有两相异实根


有两相等实根

没有实根
不
等式的解集


或

任意实数



无
无
同理开口向下的利用上面的规律可以得出.
二次函数与一次函数的综合
1.二次函数与一次函数值的比较： 
(1)二次函数等于一次函数：二次函数与一次函数交点；
(2)二次函数大于一次函数：二次函数图象在一次函数上方；
(3)二次函数小于一次函数：二次函数图象在一次函数下方.
2.二次函数与一次函数(直线)交点个数问题：
联立方程组，整理成一元二次方程一般式：
(1)△＞0时，二次函数与一次函数有两个交点；
(2)△=0时，二次函数与一次函数有一个交点；
(3)△＜0时，二次函数与一次函数无交点；
3.二次函数与线段交点个数问题：
先确定抛物线的解析式，画出图形:
(1)当抛物线最小值大于线段所在直线的纵坐标时，与线段无公共点；当抛物线最大值小于线段所在直线的纵坐标时，与线段无公共点；
(2)当抛物线顶点在线段BC上，此时抛物线与线段有一个公共点；
(3)当线段的一个端点在抛物线上时，此时可作为临界情况.
二次函数与几何综合
1.面积问题
（1）三角形面积：抛物线与坐标轴围成的三角形面积：求出抛物线与x轴、y轴交点坐标，表示出三角形的底和高求面积；
（2）四边形的面积：求四个点围成的四边形的面积：根据点的坐标得到线段的长度，通过分割法，把四边形分成几个三角形的面积之和，分别求出各个面积相加即可.
2.几何最值问题
（1）线段之和最短：通过轴对称，找出对称点连结，求出该线段的长度即是最小值，主要利用两点之间线段最短的性质.
（2）周长最短问题：通过轴对称，找出对称点连结，三角形周长最短问题就转化成线段之和最短问题，求出该线段的长度，再得到周长最小值.
（3）面积的最大值问题:根据面积的分割，利用水平宽度×铅直高度，求出面积的表达式是二次函数的形式，再利用配方法求出顶点坐标，顶点的纵坐标就是面积的最大值.
例题精讲
二次函数
例1.
（2019∙永州）如图，已知抛物线经过两点A（-3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x=-1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵抛物线对称轴是直线x=-1且经过点A（-3，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）设抛物线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）即：y=a（x-1）（x+3）把B（0，3）代入得：3=-3a∴a=-1∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3。（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（-3，0），B（0，3），∴，∴直线AB为y=x+3，作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，设P（x，-x2-2x+3），则M（x，x+3），∴PM=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，∴S=（-x2-3x）×3=-（x+）2+．当x=-时，S最大=，y=-（-）2-2×（-）+3=，∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（-，）
例2.
（2019∙鸡西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B（-1，0），与y轴交于点C．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线NN上且S△PAC=S△DBC，直接写出点P的坐标．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）将点A（3，0）、点B（-1，0）代入y=x2+bx+c，可得b=-2，c=-3，∴y=x2-2x-3；（2）∵C（0，-3），∴S△DBC=6×1=3，∴S△PAC=3，设P（x，3），直线CP与x轴交点为Q，则S△PAC=6×AQ，∴AQ=1，∴Q（2，0）或Q（4，0），∴直线CQ为y=x-3或y=x-3，当y=3时，x=4或x=8，∴P（4，3）或P（8，3）；
例3.
（2019∙北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上。
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，-），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）A（0，-）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，-）；（2）A与B关于对称轴x=1对称，∴抛物线对称轴x=1；（3）∵对称轴x=1，∴b=-2a，∴y=ax2-2ax-，①a>0时，当x=2时，y=-<2，当y=-时，x=0或x=2，∴函数与AB无交点；②a<0时，当y=2时，ax2-2ax-=2，x=或x=当≤2时，a≤-；∴当a≤-时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
例4.
（2019∙天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y=ax2+2x-1（a≠0）和直线l：y=kx+b，点A（-3，-3），B（1，-1）均在直线l上。
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a=-1，二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）点A（-3，-3），B（1，-1）代入y=kx+b，∴，∴，∴y=x-；联立y=ax2+2x-1与y=x-，则有2ax2+3x+1=0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△=9-8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y=-x2+2x-1，∵a<0，∴抛物线开口向下，对称轴x=1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值-4，∴当y=-4时，有-x2+2x-1=-4，∴x=-1或x=3，①在x=1左侧，y随x的增大而增大，∴x=m+2=-1时，y有最大值-4，∴m=-3；②在对称轴x=1右侧，y随x最大而减小，∴x=m=3时，y有最大值-4；综上所述：m=-3或m=3；（3）①a<0时，x=1时，y≤-1，即a≤-2；②a>0时，x=-3时，y≥-3，即a≥，直线AB的解析式为y=x-，抛物线与直线联立：ax2+2x-1=x-，∴ax2+x+=0，△=-2a>0，∴a<，∴a的取值范围为≤a<或a≤-2；
例5.
（2019∙毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：

若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y=kx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y=-x+40（2）依题意，设利润为w元，得w=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400整理得w=-（x-25）2+225∵-1<0∴当x=25时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元。
例6.
（2019∙攀枝花）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．

（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）设该一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴y=-x+60（15≤x≤40），∴当x=28时，y=32，答：芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；（2）由题易知m=y（x-10）=（-x+60）（x-10）=-x2+70x-600，当m=400时，则-x2+70x-600=400，解得，x1=20，x2=50，∵15≤x≤40，∴x=20，答：这天芒果的售价为20元。
例7.
（2019∙湖州）已知抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点。
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y=2x2-4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点，∴△=b2-4ac=16-8c>0，∴c<2；（2）抛物线y=2x2-4x+c的对称轴为直线x=1，∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x≥1时，y随x的增大而增大，∴m 例8.
（2019∙泸州）已知二次函数y=（x-a-1）（x-a+1）-3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x<-1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　）
A．a<2
B．a>-1
C．-1 D．-1≤a<2
【答案】D
【解析】
题干解析:
y=（x-a-1）（x-a+1）-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△=（-2a）2-4（a2-3a+6）<0，解得a<2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=a，抛物线开口向上，
而当x<-1时，y随x的增大而减小，
∴a≥-1，
∴实数a的取值范围是-1≤a<2。
例9.
（2019∙南充）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a>0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（-2n，y2）在该抛物线上，当n<时，则y1 A．①正确，②正确
B．①正确，②错误
C．①错误，②正确
D．①错误，②错误
【答案】A
【解析】
题干解析:
①∵顶点坐标为（，m），n<，
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x=的对称点为（1-n，y1），
∴点（1-n，y1）与（-2n，y2）在该抛物线上，
∵（1-n）-（-2n）=n-<0，
∴1-n<-2n，
∵a>0，
∴当x>时，y随x的增大而增大，
∴y1 ②把（，m）代入y=ax2+bx+c中，得m=a+b+c，
∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0中，△=b2-4ac+4am-4a=b2-4ac+4a（a+b+c）-4a=（a+b）2-4a<0，
∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；
例10.
（2019∙临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h=30m时，t=1.5s。
其中正确的是（　）

A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
【答案】D
【解析】
题干解析:
①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：h=a（t-3）2+40，
把O（0，0）代入得0=a（0-3）2+40，解得a=-，
∴函数解析式为h=-（t-3）2+40，
把h=30代入解析式得，30=-（t-3）2+40，
解得：t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s，故④错误；
例11.
（2019∙潍坊）抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数）在-1 A．2≤t<11
B．t≥2
C．6 D．2≤t<6
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，
∴b=-2，
∴y=x2-2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3-t=0的实数根可以看做y=x2-2x+3与函数y=t的有交点，
∵方程在-1 当x=-1时，y=6；
当x=4时，y=11；
函数y=x2-2x+3在x=1时有最小值2；
∴2≤t<11；
例12.
（2019∙温州）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　）
A．有最大值-1，有最小值-2
B．有最大值0，有最小值-1
C．有最大值7，有最小值-1
D．有最大值7，有最小值-2
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵y=x2-4x+2=（x-2）2-2，
∴在-1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，有最小值-2，
当x=-1时，有最大值为y=9-2=7。
例13.
（2019∙衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（　）
A．（1，3）
B．（1，-3）
C．（-1，3）
D．（-1，-3）
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵y=（x-1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），



例14.
（2019∙广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y=-x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为____米．
【答案】
10
【解析】
题干解析:当y=0时，y=-x2+x+=0，解得，x=-2（舍去），x=10．
例15.
（2019∙白银）将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为____________。
【答案】
y=（x-2）2+1
【解析】
题干解析:y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．
例16.
（2019∙宜宾）将抛物线y=2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为_____________．
【答案】
y=2（x+1）2-2
【解析】
题干解析:将抛物线y=2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为：y=2（x+1）2-2．
当堂练习
单选题
练习1.
（2018∙随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c>0；
②a-b+c<0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a<-1．
其中正确的有（　）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，
∴当x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，所以②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c<-3+c，
而b=-2a，
∴9a-6a<-3，解得a<-1，所以④正确。
练习2.
（2018∙连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=-t2+24t+1．则下列说法中正确的是（　）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【答案】D
【解析】
题干解析:
A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t=10时h=141m，此选项错误；
D、由h=-t2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
练习3.
（2018∙达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2。
下列结论：①abc<0；②9a+3b+c>0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1 其中正确结论有（　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】
题干解析:
①由开口可知：a<0，
∴对称轴x=>0，
∴b>0，
由抛物线与y轴的交点可知：c>0，
∴abc<0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y>0，
∴9a+3b+c>0，故②正确；
③由于<2，
且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），
∵，
∴y1 ④∵=2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2 ∴2<-5a<3，
∴- 填空题
练习1.
（2018∙哈尔滨）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为________．
【答案】
（-2，4）
【解析】
题干解析:∵y=2（x+2）2+4，∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4），
练习2.
（2018∙淮安）将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是________．
【答案】
y=x2+2
【解析】
题干解析:二次函数y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
解答题
练习1.
（2018∙巴彦淖尔）工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得（12-2x）（8-2x）=32，即x2-10x+16=0，解得x=2或x=8（舍去），答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为32dm2；（2）设总费用为y元，则y=2（12-2x）（8-2x）+0.5×[2x（12-2x）+2x（8-2x）]=4x2-60x+192=4（x-7.5）2-33，又∵12-2x≤5（8-2x），∴x≤3.5，∵a=4>0，∴当x<7.5时，y随x的增大而减小，∴当x=3.5时，y取得最小值，最小值为31，答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元。
练习2.
（2018∙牡丹江）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为___．
（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-，顶点坐标为（-，）

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0）∴解得∴所求函数的解析式为：y=-x2+2x+3y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4∴顶点D（1，4）（2）∵B（3，0），D（1，4）∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（-2，2）连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小且最小值为：=∴答案：
练习3.
（2018∙毕节市）某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件。
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），由题意得：，解得：k=-2，b=160，所以y与x之间的函数关系式是y=-2x+160（40≤x≤80）；（2）由题意得，w与x的函数关系式为：w=（x-40）（-2x+160）=-2x2+240x-6400=-2（x-60）2+800，当x=60元时，利润w最大是800元，所以当销售单价x为60元时，日销售利润w最大，最大日销售利润是800元。