中考数学复习6：一次函数与反比例函数

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中考数学复习6：一次函数与反比例函数
知识集结
知识元
平面直角坐标系
知识讲解
平面直角坐标系及各位置点的特征
1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，记作（a ，b）.
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响.
2.各象限内的点的特点：
第一象限内的点：x＞0，y＞0；
第二象限内的点：x＜0，y＞0；
第三象限内的点：x＜0，y＜0；
第四象限内的点：x＞0，y＜0.
3.坐标轴上的点的特点：
x轴上的点的纵坐标为0；
y轴上的点的横坐标为0.
4.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点：
平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同.
5.各象限的角平分线上的点的坐标特点：
第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；
第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数.
对称和平移对点的坐标的影响
1.与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数
关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
2.用坐标表示平移：

平面直角坐标系中的距离问题
点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；
任意两点的距离为；
若AB//x轴，则的距离为；
若AB//y轴，则的距离为；
点到原点之间的距离为
平面直角坐标系中的简单应用
1.利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据具体情况建立适当的平面直角坐标系，找出对应点的坐标.
2.在坐标系中平移图形，找出平移之后的坐标，形状，周长，或者面积问题.

例题精讲
平面直角坐标系
例1.
（2018∙金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（　）

A．（5，30）
B．（8，10）
C．（9，10）
D．（10，10）
【答案】C
【解析】
题干解析:
如图，
过点C作CD⊥y轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2-16=9，
OA=OD-AD=40-30=10，
∴P（9，10）；

例2.
（2019∙阜新）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（　）

A．（1200，）
B．（600，0）
C．（600，）
D．（1200，0）
【答案】B
【解析】
题干解析:
根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上。
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∴点C2的横坐标为4+5+3=12=2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数），
∴点C100的横坐标为100×6=600，
∴点C100的坐标为（600，0）．
例3.
（2019∙娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（　）

A．-2
B．-1
C．0
D．1
【答案】B
【解析】
题干解析:
点运动一个用时为÷π=2秒。
如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴CD=AC=×2=1，
∴DE=CE-CD=2-1=1，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为-1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2019÷4=504…3，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是-1．

例4.
（2019∙湘西州）阅读材料：设=（x1，y1），=（x2，y2），如果∥，则x1∙y2=x2∙y1，根据该材料填空，已知=（4，3），=（8，m），且∥，则m=___．
【答案】
6；
【解析】
题干解析:∵=（4，3），=（8，m），且∥，∴4m=3×8，∴m=6；
例5.
（2019∙连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为_________。

【答案】
（2，4，2）
【解析】
题干解析:根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
例6.
（2019∙百色）阅读理
已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x=，y=．
如图，已知点O为坐标原点，点A（-3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2=9．
设B（m，n），则m，n满足的等式是（　）

A．m2+n2=9
B．（）2+（）2=9
C．（2m+3）2+（2n）2=3
D．（2m+3）2+4n2=9
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵点A（-3，0），点P（a，b），点B（m，n）为弦PA的中点，
∴m=，n=。
∴a=2m+3，b=2n．
又a，b满足等式：a2+b2=9，
∴（2m+3）2+4n2=9．
例7.
（2019∙菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（　）

A．（1010，0）
B．（1010，1）
C．（1009，0）
D．（1009，1）
【答案】C
【解析】
题干解析:
A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2019÷4=504…3，
所以A2019的坐标为（504×2+1，0），
则A2019的坐标是（1009，0）。
例8.
（2019∙广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为_________________．

【答案】
（-22017，22017）
【解析】
题干解析:由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（-2，2），A4的坐标为（-8，0），A5的坐标为（-8，-8），A6的坐标为（16，-16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n-1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为2n-2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为2n-2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为-2n-1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为-2n-2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为-2n-2，∵2019÷6=336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2n-2=-22017，纵坐标为22017，
例9.
（2019∙潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为_______．（n为正整数）

【答案】
（n，）
【解析】
题干解析:连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1=1，OP1=2，∴A1P1===，同理：A2P2==，A3P3==，……，∴P1的坐标为（1，），P2的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）
函数基础知识
知识讲解
函数基本概念
1.常量和变量的定义
在一个变化过程中：发生变化的量叫做变量；不变的量叫做常量；
2.函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
如果当x=a时，对应的y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这种式子叫做函数解析式．
3.自变量x的取值范围
函数图象的识别及分析
初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，能初步学会依据函数的图象分析（或回答）该函数的某些性质（即“看图识性”）．

例题精讲
函数基础知识
例1.
（2018∙舟山）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）由图象可知，对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数；（2）①由函数图象可知，当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；②由图象可知，秋千摆动第一个来回需2.8s。
例2.
（2019∙北京）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：

在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定____的长度是自变量，____的长度和____的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为_______cm．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC=2PD，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，即AD的长度为2.3和4.0。
例3.
（2019∙丹东）在函数y=中，自变量x的取值范围是_________．
【答案】
x≤且x≠0
【解析】
题干解析:根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1-2x≥0，即x≤时，二次根式有意义．又因为0做除数无意义，所以x≠0．因此x的取值范围为x≤且x≠0．
例4.
（2019∙鸡西）在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
x≥2
【解析】
题干解析:在函数y=中，有x-2≥0，解得x≥2，故其自变量x的取值范围是x≥2．
例5.
（2019∙哈尔滨）在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
x≠；
【解析】
题干解析:函数y=中分母2x-3≠0，∴x≠；
例6.
（2019∙淄博）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
题干解析:
根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器。
例7.
（2019∙随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
故B选项正确；
例8.
（2019∙白银）如图①，在矩形ABCD中，AB
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】
题干解析:
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3。
∴AB∙BC=3，即AB∙BC=12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC=7．
则BC=7-AB，代入AB∙BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，
因为AB 所以AB=3，BC=4．
例9.
（2019∙潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
题干解析:
由题意当0≤x≤3时，y=3，
当3 例10.
（2019∙巴中）函数y=的自变量x的取值范围__________．
【答案】
x≥1，且x≠3
【解析】
题干解析:根据题意得：解得x≥1，且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1，且x≠3．
例11.
（2019•郴州）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1　＜　y2，x1　＜　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝2时，求自变量x的值；
③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；
④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:解：（1）如图所示：（2）①A（﹣5，y1），B（﹣，y2），A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，∴y1＜y2；C（x1，），D（x2，6），C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；故答案为＜，＜；②当y＝2时，x≤﹣1时，有2＝﹣，∴x＝﹣1；当y＝2时，x＞﹣1时，有2＝|x﹣1|，∴x＝3或x＝﹣1（舍去），故x＝﹣1或x＝3；③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在x＝﹣1的右侧，∴﹣1≤x≤3时，点P，Q关于x＝1对称，则有y3＝y4，∴x3+x4＝2；④由图象可知，0＜a＜2；
一次函数
知识讲解
正比例函数的概念，图象性质及解析式
1. 正比例函数的概念：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
【注意】正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) 中：① k不为零；② x指数为1；③b取零.
2.正比例函数图象及性质：

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
必过点：（0，0）、（1，k）
走向：k>0时，图象经过一、三象限；k<0时，图象经过二、四象限
增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3.正比例函数解析式：
待定系数法求正比例解析式可以简单总结为"一设二代三解"
一设:设函数解析式为y=kx(k是常数，k≠0)
二代:把已知经过的点代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程
三解:解方程求出系数k，将得到的k代入解析式即可
一次函数的概念，图象性质及解析式
1.一次函数的概念：
一般地，形如y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
2.一次函数的图象及性质：
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
必过点：（0，b）和（-，0）
走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
3.一次函数解析式：
待定系数法求一次函数解析式可以简单总结为"一设二代三解"
一设:设一次函数解析式为y=kx+b(k、b是常数，k0)
二代:把已知经过的点代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组
三解:解方程组求出系数k，b，将得到的k，b代入解析式即可.
4.一次函数的平移变化:
当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

在解决一次函数的图象和性质问题时，需要牢记一次函数的性质：
直线经过第一、二、三象限
直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限
直线经过第二、三、四象限
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

求一次函数解析式时，按待定系数法计算，即可准确得出正确结果.
待定系数法求一次函数解析式可以简单总结为"一设二代三解"：
一设:设一次函数解析式为y=kx+b(k、b是常数，k0)
二代:把已知经过的点代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组
三解:解方程组求出系数k，b，将得到的k，b代入解析式即可.

解决平移问题的步骤：（1）写出一次函数的一般式；（2）根据条件找出k；（3）把已知点代入一般形式，解出未知数.同时记清楚原则：两直线平行或者通过平移得到另一条直线时，这两条直线所表示的一次函数的k相等.
一次函数与实际问题
一次函数与实际问题结合时，需要注意把握坐标轴纵横坐标所表示含义，找准函数关系.

(1)一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
(2)用画函数图象的方法解不等式:kx+b>0(或<0)对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为(--，0).当k>0时，不等式kx+b>0的解为:x>--，不等式kx+b<0的解为x<--;当k<0，不等式kx+b>0的解为x<--，不等式kx+b<0的解为:x>--.
一次函数与几何图象结合类计算
1.一次函数图象与坐标轴组成简单的几何图形，如三角形，可以直接求出三角形顶点，按照三角形面积公式求解.
2.当一次函数图象与坐标轴围成复杂图形时，需要用“外补内割”的方法求解.即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；
往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高.

例题精讲
一次函数
例1.
（2018∙十堰）如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）<0的解集为________。

【答案】
-3 【解析】
题干解析:不等式x（kx+b）<0化为或，利用函数图象得为无解，的解集为-3 例2.
（2018∙湘西州）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0 【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）根据题意，y=400x+500（100-x）=-100x+50000；（2）∵100-x≤2x，∴x≥，∵y=-100x+50000中k=-100<0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100-x），即y=（a-100）x+50000，33≤x≤60①当00，y随x的增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
例3.
（2019∙乐山）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P（-1，a）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形PAOC的面积．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵点P（-1，a）在直线l2：y=2x+4上，∴2×（-1）+4=a，即a=2，则P的坐标为（-1，2），设直线l1的解析式为：y=kx+b（k≠0），那么，解得：。∴l1的解析式为：y=-x+1．（2）∵直线l1与y轴相交于点C，∴C的坐标为（0，1），又∵直线l2与x轴相交于点A，∴A点的坐标为（-2，0），则AB=3，而S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC，∴S四边形PAOC=．
例4.
（2019∙无锡）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD-DE-EF所示．
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求点E的坐标，并解释点E的实际意义．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）由题意可得：小丽速度==16（km/h）设小明速度为xkm/h由题意得：1×（16+x）=36∴x=20答：小明的速度为20km/h，小丽的速度为16km/h。（2）由图象可得：点E表示小明到了甲地，此时小丽没到，∴点E的横坐标==，点E的纵坐标==∴点E（，）
例5.
（2019∙台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系h=-x+6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）设y关于x的函数解析式是y=kx+b，，解得，，即y关于x的函数解析式是y=-x+6；（2）当h=0时，0=-x+6，得x=20，当y=0时，0=-x+6，得x=30，∵20<30，∴甲先到达地面。
例6.
（2019∙天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x>0）．
（Ⅰ）根据题意填表：

（Ⅱ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为_____kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的___批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的___批发店购买数量多．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（Ⅰ）甲批发店：6×30=180元，6×150=900元；乙批发店：7××30=210元，7×50+5（150-50）=850元。故依次填写：180900210850．（Ⅱ）y1=6x（x>0）当050时，y2=7×50+5（x-50）=5x+100（x>50）因此y1，y2与x的函数解析式为：y1=6x（x>0）；y2=7x（050）（Ⅲ）①当y1=y2时，有：6x=7x，解得x=0，不合题意，舍去；当y1=y2时，也有：6x=5x+100，解得x=100，故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克．②当x=120时，y1=6×120=720元，y2=5×120+100=700元，∵720>700∴乙批发店花费少．故乙批发店花费少．③当y=360时，即：6x=360和5x+100=360；解得x=60和x=52，∵60>52∴甲批发店购买数量多．故甲批发店购买的数量多．
例7.
（2019∙聊城）某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（　）

A．9：15
B．9：20
C．9：25
D．9：30
【答案】B
【解析】
题干解析:
设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6，
∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4，
∴y2=-4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20。
例8.
（2019∙烟台）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为_____。

【答案】
x≤1；
【解析】
题干解析:点P（m，3）代入y=x+2，∴m=1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；
例9.
（2019∙无锡）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为_____．

【答案】
x<2
【解析】
题干解析:∵图象过（-6，0），则0=-6k+b，则b=6k，故3kx-b=3kx-6k>0，∵k<0，∴x-2<0，解得：x<2．
例10.
（2019∙鄂尔多斯）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从A，B两地同时出发，相向而行．快车到达B地后，停留3秒卸货，然后原路返回A地，慢车到达A地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离y（米）与行驶时间x（秒）的函数图象，根据图象信息，计算a、b的值分别为（　）

A．39，26
B．39，26.4
C．38，26
D．38，26.4
【答案】B
【解析】
题干解析:
速度和为：24÷（30-18）=2米/秒，
由题意得：，解得：b=26.4，
因此慢车速度为：=0.8米/秒，快车速度为：2-0.8=1.2米/秒，
快车返回追至两车距离为24米的时间：（26.4-24）÷（1.2-0.8）=6秒，因此a=33+6=39秒。
例11.
（2019∙杭州）已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
题干解析:
A、由①可知：a>0，b>0。
∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；
B、由①可知：a<0，b>0．
∴直线②经过一、四、三象限，故B错误；
C、由①可知：a<0，b>0．
∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；
D、由①可知：a<0，b<0，
∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．
例12.
（2018∙湖北）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（　）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】
题干解析:
由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2-6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误。
例13.
（2018∙遵义）如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3>0的解集是（　）

A．x>2
B．x<2
C．x≥2
D．x≤2
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵直线y=kx+3经过点P（2，0）
∴2k+3=0，解得k=-1.5，
∴直线解析式为y=-1.5x+3，
解不等式-1.5x+3>0，得x<2，
即关于x的不等式kx+3>0的解集为x<2，
例14.
（2018∙泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（　）

A．线段PQ始终经过点（2，3）
B．线段PQ始终经过点（3，2）
C．线段PQ始终经过点（2，2）
D．线段PQ不可能始终经过某一定点
【答案】B
【解析】
题干解析:
当OP=t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9-2t，6）。
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
将P（t，0）、Q（9-2t，6）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直线PQ的解析式为y=x+．
两边乘3-t得到：（3-t）y=2x-2t，
∴（y-2）t=3y-2x，
当y-2=0时，x=3，
∴直线PQ始终经过（3，2），
例15.
（2018∙宿迁）在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（　）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【解析】
题干解析:
设过点（1，2）的直线l的函数解析式为y=kx+b，
2=k+b，得b=2-k，
∴y=kx+2-k，
当x=0时，y=2-k，当y=0时，x=，
令=4，
化简，得
||=8，
当k<0时，，
解得，k1=-2，
当k>0时，，
解得，k2=6-4，k3=6+4，
故满足条件的直线l的条数是3条，
例16.
（2018∙南充）直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（　）
A．y=2（x+2）
B．y=2（x-2）
C．y=2x-2
D．y=2x+2
【答案】C
【解析】
题干解析:
直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x-2。
反比例函数
知识讲解
反比例函数概念，图象性质及解析式
1.反比例函数的概念：
（1）（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
（2）（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
2.反比例函数的图象及性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
3.反比例函数的解析式及k的几何意义：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）.
正比例函数，反比例函数，一次函数综合类问题
1.简单问题：三类函数的概念区分，图象及性质的辨别，增减性变化，平移变化及在坐标系中共存情况的判别
2.中难度综合问题：涉及到交点问题，图形面积问题，不等式问题等.


例题精讲
反比例函数
例1.
（2018∙东莞市）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x>0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为________。

【答案】
（2，0）
【解析】
题干解析:如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．∵点A2在双曲线y=（x>0）上，∴（2+a）∙a=，解得a=-1，或a=--1（舍去），∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2，∴点B2的坐标为（2，0）；作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．∵点A3在双曲线y=（x>0）上，∴（2+b）∙b=，解得b=-+，或b=--（舍去），∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2，∴点B3的坐标为（2，0）；同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；以此类推…，∴点Bn的坐标为（2，0），∴点B6的坐标为（2，0）．
例2.
（2018∙福建）如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为___．

【答案】
6
【解析】
题干解析:方法一：设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y=x+m代入y=，得x+m=，整理，得x2+mx-3=0，则a+b=-m，ab=-3，∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=m2+12．∵S△ABC=AC∙BC=（-）（a-b）=∙∙（a-b）=（a-b）2=（m2+12）=m2+6，∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6．方法二：因为y=x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴∴∠ABC=∠BAC=45°∴△ABC为等腰直角三角形∴AC=BC=AB∴S△ABC=AC∙BC=AB2当AB最小时，m=0，直线为y=x联立方程，解得或∴A（，），B（-，-）AB=×2=2∴S△ABC最小=×4×6=6
例3.
（2018∙荆门）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k>0，x>0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为___．

【答案】
2
【解析】
题干解析:过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b）则C点的坐标为（a+3，b），∵E为AC的中点，∴EF=CM=b，AF=AM=OQ=a，E点的坐标为（3+a，b），把D、E的坐标代入y=得：k=ab=（3+a）b，解得：a=2，在Rt△DQO中，由勾股定理得：a2+b2=32，即22+b2=9，解得：b=（负数舍去），∴k=ab=2，
例4.
（2019∙衡阳）如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=（m为常数且m≠0）的图象都经过A（-1，2），B（2，-1），结合图象，则不等式kx+b>的解集是（　）

A．x<-1
B．-1 C．x<-1或0 D．-12
【答案】C
【解析】
题干解析:
由函数图象可知，当一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2=（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x<-1或0 ∴不等式kx+b>的解集是x<-1或0 例5.
设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，当x1y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵当x1y2，
∴反比例函数y=图象上，y随x的增大而减小，
∴图象在一、三象限，如图1，
∴k>0，
∴一次函数y=-2x+k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴，
∴一次函数y=-2x+k的图象经过一、二、四象限，如图2，



例6.
（2019∙南充）双曲线y=（k为常数，且k≠0）与直线y=-2x+b，交于A（-m，m-2），B（1，n）两点．
（1）求k与b的值；
（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵点A（-m，m-2），B（1，n）在直线y=-2x+b上，∴，解得：，∴B（1，-4），代入反比例函数解析式，∴-4=，∴k=-4。（2）∵直线AB的解析式为y=-2x-2，令x=0，解得y=-2，令y=0，解得x=-1，∴C（-1，0），D（0，-2），∵点E为CD的中点，∴E（），∴S△BOE=S△ODE+S△ODB===．
例7.
（2019∙泰安）已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB=5，∵S△OAB=，∴×5×AD=，∴AD=3，∵OB=AB，∴AB=5，在Rt△ADB中，BD==4，∴OD=OB+BD=9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y=中得，m=9×3=27，∴反比例函数的解析式为y=，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y=kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y=x-；（2）由（1）知，AB=5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB=PB时，∴PB=5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB=AP时，如图2，由（1）知，BD=4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP=BD=4，∴OP=5+4+4=13，∴P（13，0），③当PB=AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2=（9-a）2+9，BP2=（5-a）2，∴（9-a）2+9=（5-a）2∴a=，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）。
例8.
（2019∙绵阳）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE=4CD．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）将点A（4，1）代入y=，得，m2-3m=4，解得，m1=4，m2=-1，∴m的值为4或-1；反比例函数解析式为：y=；（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，∴∠CDB=∠CEA=90°，∴△CDB∽△CEA，∴，∵CE=4CD，∴AE=4BD，∵A（4，1），∴AE=4，∴BD=1，∴xB=1，∴yB==4，∴B（1，4），将A（4，1），B（1，4）代入y=kx+b，得，，解得，k=-1，b=5，∴yAB=-x+5，设直线AB与x轴交点为F，当x=0时，y=5；当y=0时x=5，∴C（0，5），F（5，0），则OC=OF=5，∴△OCF为等腰直角三角形，∴CF=OC=5，则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，即OM=CF=。
例9.
（2019∙长春）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB=90°，AC=2BC，则函数y=（k>0，x>0）的图象经过点B，则k的值为（　）

A．
B．9
C．
D．
【答案】D
【解析】
题干解析:
过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA=OC=3，
在Rt△AOC中，AC=，
又∵AC=2BC，
∴BC=，
又∵∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°=∠BCD=∠CBD，
∴CD=BD==，
∴OD=3+=
∴B（，）代入y=得：k=，

例10.
（2019∙青岛）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab>0，即a、b同号，
当a<0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=<0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a<0时，b<0，直线y=bx+a经过第二、三、四象限，故B错误，C正确。
例11.
（2019∙滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=（x>0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（　）

A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【解析】
题干解析:
设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则，点D的坐标为（），
∴，
解得，k=4，
例12.
（2019∙深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，C（0，-3），CD=3AD，点A在反比例函数y=图象上，且y轴平分∠ACB，求k=___．

【答案】

【解析】
题干解析:过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，-3），∴OC=3，可证△ADE∽△CDO，∴，∴AE=1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO=OD，∵∠ABC=90°，∴△ABE～△COD，∴设DE=n，则BO=OD=3n，BE=7n，∴，∴n=∴OE=4n=∴A（，1）∴k=．
例13.
（2019∙宁波）如图，过原点的直线与反比例函数y=（k>0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC=3DC，△ADE的面积为8，则k的值为___．

【答案】
6；
【解析】
题干解析:连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，∵过原点的直线与反比例函数y=（k>0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE=∠AEO，∴AD∥OE，∴S△ACE=S△AOC，∵AC=3DC，△ADE的面积为8，∴S△ACE=S△AOC=12，设点A（m，），∵AC=3DC，DH∥AF，∴3DH=AF，∴D（3m，），∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDC=S△ADG，∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=k+（DH+AF）×FH+S△HDC=k+×2m+=k++=12，∴2k=12，∴k=6；（另解）连结OE，由题意可知OE∥AC，∴S△OAD=S△EAD=8，易知△OAD的面积=梯形AFHD的面积，设A的纵坐标为3a，则D的纵坐标为a，∴（3a+a）（-）=16，解得k=6。
例14.
（2019∙德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y=（x>0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y=（x>0）的图象上，∠OA1A2=∠A1A2A3=∠A2A3A4=…=∠α=60°，且OA1=2，则An（n为正整数）的纵坐标为_____________．（用含n的式子表示）

【答案】
（-1）n+1（）；
【解析】
题干解析:过A1作A1D1⊥x轴于D1，∵OA1=2，∠OA1A2=∠α=60°，∴△OA1E是等边三角形，∴A1（1，），∴k=，∴y=和y=-，过A2作A2D2⊥x轴于D2，∵∠A2EF=∠A1A2A3=60°，∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，-），则A2D2=，Rt△EA2D2中，∠EA2D2=30°，∴ED2=，∵OD2=2+=x，解得：x1=1-（舍），x2=1+，∴EF====2（-1）=2-2，A2D2===，即A2的纵坐标为-；过A3作A3D3⊥x轴于D3，同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3=，Rt△FA3D3中，∠FA3D3=30°，∴FD3=，∵OD3=2+2-2+=x，解得：x1=（舍），x2=+；∴GF===2（-）=2-2，A3D3===（-），即A3的纵坐标为（-）；…∴An（n为正整数）的纵坐标为：（-1）n+1（）；
当堂练习
单选题
练习1.
设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，当x1y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵当x1y2，
∴反比例函数y=图象上，y随x的增大而减小，
∴图象在一、三象限，如图1，
∴k>0，
∴一次函数y=-2x+k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴，
∴一次函数y=-2x+k的图象经过一、二、四象限，如图2，



练习2.
（2019∙咸宁）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y=-（x<0），y=（x>0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
题干解析:
过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数y=-（x<0）上，点B在y=（x>0）上，
∴S△AOD=，S△BOE=2，
又∵∠AOB=90°
∴∠AOD=∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2=，
∴
设OA=m，则OB=2m，AB=，
在RtAOB中，sin∠ABO=

练习3.
（2019∙长春模拟）如图，点A、B在函数y=（x>0，k>0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连结AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（　）

A．4
B．4
C．
D．6
【答案】D
【解析】
题干解析:
设点M（a，0），N（0，b）
∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y=（x>0，k>0且k是常数）的图象上，
∴点A的坐标为（a，），
BN⊥y轴，同理可得：B（，b）
则点C（a，b）
s△CMN==ab=1
∴ab=2
∵AC=，BC=
==4
即，且ab=2
（k-2）2=16
解得：k=6，k=-2（舍去）
练习4.
（2018∙湖北）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（　）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】
题干解析:
由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2-6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误。
练习5.
（2018∙遵义）如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3>0的解集是（　）

A．x>2
B．x<2
C．x≥2
D．x≤2
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵直线y=kx+3经过点P（2，0）
∴2k+3=0，解得k=-1.5，
∴直线解析式为y=-1.5x+3，
解不等式-1.5x+3>0，得x<2，
即关于x的不等式kx+3>0的解集为x<2，
练习6.
（2018∙南充）直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（　）
A．y=2（x+2）
B．y=2（x-2）
C．y=2x-2
D．y=2x+2
【答案】C
【解析】
题干解析:
直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x-2。
填空题
练习1.
（2019∙湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1=（k>0，x>0），y2=（x<0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是___．

【答案】
2
【解析】
题干解析:令x=0，得y=x-1=-1，∴B（0，-1），∴OB=1，把y=x-1代入y2=（x<0）中得，x-1=（x<0），解得，x=1-，∴，∴，∵CE⊥x轴，∴，∵△COE的面积与△DOB的面积相等，∴，∴k=2，或k=0（舍去）．
练习2.
（2019∙衢州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y=（k≠0）图象经过点C，且S△BEF=1，则k的值为____。

【答案】

【解析】
题干解析:连接OC，BD，∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，∴OA=OE，∵点B恰好为OE的中点，∴OE=2OB，∴OA=2OB，设OB=BE=x，则OA=2x，∴AB=3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3x，∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF，∴==，∵S△BEF=1，∴S△BDF=3，S△CDF=9，∴S△BCD=12，∴S△CDO=S△BDC=12，∴k的值=2S△CDO=24。
练习3.
（2019∙鄂尔多斯）如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线有2n（n≥1且为整数）个交点，则k的值为____．

【答案】
-
【解析】
题干解析:∵A1（0，0），A2（8，0），A3（16，0），A4（24，0），…，∴An（8n-8，0）．∵直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1且为整数）个交点，∴点An+1（8n，0）在直线y=kx+2上，∴0=8nk+2，解得：k=-．
练习4.
（2019∙湘潭）将一次函数y=3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为________．
【答案】
y=3x+2
【解析】
题干解析:将正比例函数y=3x的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为y=3x+2，
练习5.
（2018∙辽阳）如图，直线y=x+4与坐标轴交于A，B两点，在射线AO上有一点P，当△APB是以AP为腰的等腰三角形时，点P的坐标是_________________．

【答案】
（-3，0），（4-8，0）
【解析】
题干解析:当y=0时，x=-8，即A（-8，0），当x=0时，y=4，即B（0，4），∴OA=8，OB=4在Rt△ABO中，AB==4若AP=AB=4，则OP=AP-AO=4-8∴点P（4-8，0）若AP'=BP'，在Rt△BP'O中，BP'2=BO2+P'O2=16+（AO-BP'）2。∴BP'=AP'=5∴OP'=3∴P'（-3，0）综上所述：点P（-3，0），（4-8，0）
练习6.
（2018∙阿坝州）一次函数y=kx-2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是_____．
【答案】
k<0
【解析】
题干解析:∵一次函数y=kx-2，y随x的增大而减小，所以一次函数的系数k<0，