中考数学复习10：四边形

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中考数学复习10：四边形
知识集结
知识元
四边形
知识讲解
平行四边形的认识及平行四边形的性质
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.平行四边形用符号“1”表示；

几何语言：
（1）∵AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥CB
2.平行四边形的面积公式：S=a×h (a表示平行四边形的底，h表示这个底所对应的高)
3.平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；平行四边形不一定是轴对称图形.
4.平行四边形的性质：
(1)平行四边形的对边平行且相等；
(2)平行四边形的对角相等；
(3)平行四边形的对角线互相平分.
5.平行线之的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
平行四边形的判定
1.平行四边形的判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.三角形的中位线：
(1)连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；
(2)三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
矩形
1.定义：有一个角是90°的平行四边形叫矩形.
2.性质：
（1）矩形的四个角都是直角.
（2）矩形的对边平行且相等.
（3）矩形的对角线互相平分且相等.
3.判定：
（1）有一个角是90°的平行四边形叫矩形.
（2）有三个角是直角的四边形是矩形.
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
（4）对角线互相平分的平行四边形是平行四边形.
4.直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
2.性质：
（1）菱形具有平行四边形所具有的所有性质.
（2）菱形的四条边都相等.
（3）菱形的对对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.
3.菱形的面积公式：S=ah=mn(a、h分别为菱形的底、底对应的高；m、n为菱形的对角线)
4.菱形的判定：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
正方形
1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2.性质：
（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
（2）正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3）正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
（4）两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
3.判定：
（1）先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
（2）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；
（3）还可以先判定四边形是平行四边形，再用（1）或（2）进行判定．
四边形中的有关计算
四边形中档解答题所考查知识点相对稳定，主要考查学生对所学四边形、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力.
例题精讲
四边形
例1.
（2019∙柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:证明：连接AC，如图所示：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形。
例2.
（2019∙哈尔滨）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）如图1，求证：AE=CF；
（2）如图2，当∠ADB=30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE=∠CDF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF；（2）△ABE的面积=△CDF的面积=△BCE的面积=△ADF的面积=矩形ABCD面积的．理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB=30°，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=60°，∵AE⊥BD，∴∠BAE=30°，∴BE=AB，AE=AD，∴△ABE的面积=BE×AE=×AB×AD=AB×AD=矩形ABCD的面积，∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，如图所示：∵∠CBD=30°，∴EG=BE=×AB=AB，∴△BCE的面积=BC×EG=BC×AB=BC×AB=矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积=矩形ABCD的面积。
例3.
（2019∙贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∵BC=AD，∴CE=AF，∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形。
例4.
（2019∙新疆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形OCFD是矩形．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，∵E是CD中点，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四边形OCFD是矩形。
例5.
（2019∙北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD=4，tanG=，求AO的长．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：连接BD，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，OB=OD，∵BE=DF，∴AB：BE=AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G=∠ADO，∴tanG=tan∠ADO==，∴OA=OD，∵BD=4，∴OD=2，∴OA=1。
例6.
（2019∙鄂尔多斯）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（　）

A．15°
B．35°
C．45°
D．55°
【答案】C
【解析】
题干解析:
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
在等边△ABE中，AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°，
所以，∠AED=（180°-150°）=15°，
所以∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°。
例7.
（2019∙娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（　）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
【答案】C
【解析】
题干解析:
如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF=AC，
同理，GH∥AC且GH=AC，
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形。

例8.
（2019∙雅安）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（　）

A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，
∴在△ADC中，EH为△ADC的中位线，所以EH∥CD且EH=CD；同理FG∥CD且FG=CD，同理可得EF=AB，
则EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AB=CD，所以EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形。
例9.
（2019∙绵阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（　）

A．（2，）
B．（，2）
C．（，3）
D．（3，）
【答案】D
【解析】
题干解析:
过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°，
∴=30°，∠FAE=60°，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴=2，
∴，EF===，
∴OF=AO-AF=4-1=3，
∴。
例10.
（2019∙濉溪县二模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（　）

A．AE=CF
B．DE=BF
C．∠ADE=∠CBF
D．∠AED=∠CFB
【答案】B
【解析】
题干解析:
A、由AE=CF，可以推出DF=EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
B、由DE=BF，不能推出四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形；
C、由∠ADE=∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF=EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
D、由∠AED=∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF=EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
例11.
（2019∙沈阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD=BC=2，则四边形EGFH的周长是____．

【答案】
4
【解析】
题干解析:证明：∵E、G是AB和AC的中点，∴EG=BC=×=，同理HF=BC=，EH=GF=AD==．∴四边形EGFH的周长是：4×=4．
例12.
（2019∙安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为___．

【答案】

【解析】
题干解析:∵∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，∴BC==5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN=AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积=AB×AC=BC×AD，∴AD==，∴MN的最小值为；
例13.
（2019∙广西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH=___．

【答案】

【解析】
题干解析:∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，∴BD=8，∵S菱形ABCD=AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=AC=3，∴BC==5，∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH=；
例14.
（2019∙张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD=___．

【答案】
2
【解析】
题干解析:连接AF，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BPE=∠APF=90°，∵∠ADF=90°，∴∠ADF+∠APF=180°，∴A、P、F、D四点共圆，∴∠AFD=∠APD，∴tan∠APD=tan∠AFD==2，
当堂练习
单选题
练习1.
（2019∙绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　）

A．先变大后变小
B．先变小后变大
C．一直变大
D．保持不变
【答案】D
【解析】
题干解析:
连接DE，
∵，
，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等。
练习2.
（2019∙临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM=DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　）

A．OM=AC
B．MB=MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB=∠CND
【答案】A
【解析】
题干解析:
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM=AC，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形。
练习3.
（2019∙濉溪县二模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（　）

A．AE=CF
B．DE=BF
C．∠ADE=∠CBF
D．∠AED=∠CFB
【答案】B
【解析】
题干解析:
A、由AE=CF，可以推出DF=EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
B、由DE=BF，不能推出四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形；
C、由∠ADE=∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF=EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
D、由∠AED=∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF=EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
填空题
练习1.
（2019∙铜仁市模拟）已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为____cm2．
【答案】
24
【解析】
题干解析:∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，∴这个菱形的面积=×6×8=24（cm2）．
解答题
练习1.
（2019∙泰安）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF=90°，FG⊥AD，垂足为点G．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）AG=FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠B=90°=∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD=90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG=MF，AM=FG，∵∠CEF=90°，∴∠FEM+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°∴∠FEM=∠BCE，且∠M=∠B=90°，EF=EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE=MF，ME=BC∴ME=AB=BC∴BE=MA=MF∴AG=FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH=FH，∴GH=HN，NC=FG∴AG=FG=NC又∵AD=CD，∴GD=DN，且GH=HN∴DH⊥GH
练习2.
（2019∙扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10。
（1）求证：∠BEC=90°；
（2）求cos∠DAE．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB=，AD=BC，DC∥AB，∴∠DEA=∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA∴AD=DE=10，∴BC=10，AB=CD=DE+CE=16，∵CE2+BE2=62+82=100=BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°；（2）∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC=90°，∴AE===8，∴cos∠DAE=cos∠EAB===。
练习3.
（2019∙遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE=BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∵点F是CD的中点，∴DF=CF，在△ADF与△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD=EC，∵CE=BC，∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。