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2020年中考数学专题复习：一次函数 教案
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2020年中考数学人教版专题复习：一次函数
考点梳理
一次函数和正比例函数的定义
1．正比例函数是特殊的一次函数．
2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．
典例精析
典例1 若y=（m﹣2）x+（m2﹣4）是正比例函数，则m的取值是
A．2 B．﹣2 C．±2 D．任意实数
【答案】B
【解析】由正比例函数的定义可得：m2–4=0，且m–2≠0，解得，m=–2；故选B.
典例2 下列函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣，④y=x2+2中，是一次函数的有
A．①② B．① C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】①y=﹣2x+1符合一次函数定义，故正确；
②y=ax﹣b中当a=0时，它不是一次函数，故错误；
③y=﹣属于反比例函数，故错误；
④y=x2+2属于二次函数，故错误；
综上所述，是一次函数的有1个．
故选B．
拓展
1．下列各点中，在函数y=–2x+5的图象上的是
A．（0，―5） B．（2，9） C．（–2，–9） D．（4，―3）
2．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=_______．
一次函数的图象及性质
1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．
2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
典例精析
典例3 一次函数y=–2x+b，b<0，则其大致图象正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为k=–2，b<0，所以图象在第二、三、四象限，故选B．
典例4下列四个选项中，不符合直线y=3x–2的性质的选项是
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（–2，0） D．与y轴交于（0，–2）
【答案】C
【解析】根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点．在y=3x–2中，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大；
∵b=–2<0，∴函数与y轴相交于负半轴，
∴可知函数过第一、三、四象限；
∵当x=–2时，y=–8，所以与x轴交于（–2，0）错误，
∵当y=–2时，x=0，所以与y轴交于（0，–2）正确，
故选C．
【名师点睛】牢记一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降．
拓展
3．已知正比例函数y=x的图象如图所示，则一次函数y=mx+n图象大致是
A． B．
C． D．
4．在一次函数y=（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值可以是
A．0 B．–1
C．–1.5 D．–2
用待定系数法确定一次函数的解析式
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
典例精析
典例5 已知一次函数y=kx+b，当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6.
（1）求k与b的值；
（2）当y与x相等时，求x的值.
【解析】（1）∵当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6，
∴，∴；
（2）∵，∴y=5x–1，
当y与x相等时，则x=5x–1，
∴x=.
【名师点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
典例6 一次函数y=kx+b．当x=﹣3时，y=0；当x=0时，y=﹣4，求k与b的值．
【解析】将x=–3，y=0；x=0，y=–4分别代入一次函数解析式得：
，解得，
即k=–，b=–4．
【名师点睛】本题考查的是一次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
拓展
5．一个正比例函数的图象经过点（–2，4），它的表达式为
A．y=–2x B．y=2x
C．y=–x D．y=x
6．一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点．
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上
7．已知y–1与x+2成正比例，且x=–1时，y=3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象经过点（m–1，m+1），求m的值.
一次函数与一元一次方程
1．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.
2．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．
典例精析
典例7 已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b+3=0的解是
x
…
–2
–1
0
1
…
y
…
5
3
1
–1
…
A．x=2 B．x=3
C．x=–2 D．x=–3
【答案】A
【解析】∵当x=0时，y=1，当x=1，y=–1，
∴，解得：，
∴y=–2x+1，
当y=–3时，–2x+1=–3，
解得：x=2，
故关于x的方程kx+b+3=0的解是x=2，
故选A．
典例8 如图为y=kx+b的图象，则kx+b=0的解为x=
A．2 B．–2
C．0 D．–1
【答案】D
【解析】从图象上可知，一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标为–1，所以关于x的方程kx+b=0的解为x=–1．故选D．
【名师点睛】关于x的一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案．
拓展
8．已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，–2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为
A．x=0 B．x=1
C．x=–2 D．x=3
9．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=–1的解为
A．x=0 B．x=1 C．x= D．x=–2
一次函数与一元一次不等式
一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集⇔y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集⇔y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．
典例精析
典例9 如图，一次函数y1=x＋b与一次函数y2=kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b>kx＋4的解集是
A．x>﹣2 B．x>0 C．x>1 D．x<1
【答案】C
【解析】当x>1时，x+b>kx+4，
即不等式x+b>kx+4的解集为x>1．
故选C．
典例10 如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】∵，∴①或②．
∵直线与分别交x轴于点，
观察图象可知①的解集为：，②的解集为：
∴不等式的解集为或.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，学会根据图形判断函数值的正负是关键.
拓展
10．如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数的图象经过点B（−2，−1）.
（1）求一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式组−1
11．如图，函数与的图像交于．
（1）求出m、n的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）求出△ABP的面积．
一次函数与二元一次方程（组）
1．二元一次方程kx-y+b=0（k≠0）的解与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上的点的坐标是一一对应的．
2．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解，体现了数形结合的思想方法．
典例精析
典例11 如图，函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P（1，2），那么关于x，y的方程组的解是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是．故选A．
【名师定睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
典例12 若方程组没有解，则一次函数y=2–x与y=–x的图象必定
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解析】∵方程组没有解，∴一次函数y=2–x与y=–x的图象没有交点，
∴一次函数y=2–x与y=–x的图象必定平行．故选B．
拓展
12．二元一次方程组的解为，则一次函数y=5–x与y=2x–1的交点坐标为
A．（2，3） B．（3，2） C．（–2，3） D．（2，–3）
一次函数的应用
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
典例精析
典例13 一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．
（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？
（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．
（a）说明图①中点A和点B的实际意义；
（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．
【解析】（1）设A站和B站相距x千米，行驶的时间是y小时，根据题意得：，
解之得：，
5.8÷0.1=58（千米/小时）；
答：A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．
（2）（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；
B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；
（b）反映乘客意见的是图③；
反映公交公司意见的是图②；
故答案为：③，②．
典例14 某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）．设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）．
（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
方案一：y1=_________；方案二：y2=__________．
（2）若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？
（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到__________个文具盒（直接回答即可）．
【答案】（1）10x+150；9x+180；（2）详解见解析；（3）40.
【解析】（1）由题意，可得y1=40×5+10（x–5）=10x+150，y2=（40×5+10x）×0.9=9x+180．
故答案为：10x+150，9x+180；
（2）当x=20时，y1=10×20+150=350，y2=9×20+180=360，
因为350<360，所以可看出方案一省钱；
（3）如果10x+150≤540，那么x≤39，如果9x+180≤540，那么x≤40，所以学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到40个文具盒．故答案为：40．
【名师点睛】（1）根据方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，即可得出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）将x=20分别代入（1）中关系式，通过计算比较两种方案中哪种更省钱即可；
（3）根据购买时，顾客只能选用其中的一种方案，所以分别求出y≤540时两种方案中x的最大整数值，比较即可得到答案．
拓展
14．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示．有如下结论：①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米．其中正确的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
15．某县组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种扶贫物资共100吨到某乡实施扶贫工作，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表中提供的信息，解答下列问题：
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨所需运费（元/吨）
120
160
100
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应如何安排车辆？并求出最少总运费．
同步测试
1．函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣，④y=x2+2中，是一次函数的有
A．①② B．① C．②③ D．①④
2．直线y=2x－4与y=－x+2的公共点坐标为
A．（－2，0） B．（0，－2） C．（2，0） D．（0，2）
3．已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为
A．y=x+2 B．y=﹣x+2
C．y=x+2或y=﹣x+2 D．y=–x+2或y=x–2
4．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>3时，x的取值范围是
A． B． C． D．
5．如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=–x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为
A．y=–x+2 B．y=x+2 C．y=x–2 D．y=–x–2
6．点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y=﹣3x+4图象上的两个点，且x1
7．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为
A． B．
C． D．
8．两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的
A． B．
C． D．
9．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<0时，y<3．其中正确的是
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
10．端午节，在大明湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法，其中正确的有
①乙队比甲队提前0.25min到达终点；
②0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m；
③当乙队划行110m时，此时落后甲队15m；
④自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到260m/min．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．观察图象，可以得出不等式组的解集是
A．x<4 B．x<–1
C．–1
①AF是∠BAO的平分线；②∠BAO=60°；③点F在线段AB的垂直平分线上；④S△AOF∶S△ABF=1∶2．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
13．若y=(m–2)x+(m2–4)是正比例函数，则m的取值为__________．
14．已知点A（），B（）是一次函数图象上的两点，当时，__________．（填“>”“=”或“<”）
15．关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第__________象限．
16．已知一次函数y=4x+3m与y=7x–9的图象经过y轴上同一点，则m=__________．
17．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）起点A与终点B之间相距多远？
（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；
（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？
18．如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）求△OAC的面积；
（3）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；
（4）在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．已知一次函数(k≠0)，回答下列问题：
（1）若一次函数的图象过原点，求k的值；
（2）无论k取何值，该函数的图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标．
20．为建设秀美家乡，某学校组织师生参加一年一度的植树绿化工作，准备租用7辆客车，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元，
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
60
40
租金/(元/辆)
360
300
（1）求出y（单位：元）与x（单位：辆）之间的函数关系式．
（2）若该校共有350名师生前往参加劳动，共有多少种租车方案？
（3）带队老师从学校预支租车费用2400元，试问预支的租车费用是否能有结余？若有结余，最多可结余多少元？
考点梳理
一次函数和正比例函数的定义
1．正比例函数是特殊的一次函数．
2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．
典例精析
典例1 若y=（m﹣2）x+（m2﹣4）是正比例函数，则m的取值是
A．2 B．﹣2 C．±2 D．任意实数
【答案】B
【解析】由正比例函数的定义可得：m2–4=0，且m–2≠0，解得，m=–2；故选B.
典例2 下列函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣，④y=x2+2中，是一次函数的有
A．①② B．① C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】①y=﹣2x+1符合一次函数定义，故正确；
②y=ax﹣b中当a=0时，它不是一次函数，故错误；
③y=﹣属于反比例函数，故错误；
④y=x2+2属于二次函数，故错误；
综上所述，是一次函数的有1个．
故选B．
拓展
1．下列各点中，在函数y=–2x+5的图象上的是
A．（0，―5） B．（2，9） C．（–2，–9） D．（4，―3）
2．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=_______．
一次函数的图象及性质
1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．
2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
典例精析
典例3 一次函数y=–2x+b，b<0，则其大致图象正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为k=–2，b<0，所以图象在第二、三、四象限，故选B．
典例4下列四个选项中，不符合直线y=3x–2的性质的选项是
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（–2，0） D．与y轴交于（0，–2）
【答案】C
【解析】根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点．在y=3x–2中，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大；
∵b=–2<0，∴函数与y轴相交于负半轴，
∴可知函数过第一、三、四象限；
∵当x=–2时，y=–8，所以与x轴交于（–2，0）错误，
∵当y=–2时，x=0，所以与y轴交于（0，–2）正确，
故选C．
【名师点睛】牢记一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降．
拓展
3．已知正比例函数y=x的图象如图所示，则一次函数y=mx+n图象大致是
A． B．
C． D．
4．在一次函数y=（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值可以是
A．0 B．–1
C．–1.5 D．–2
用待定系数法确定一次函数的解析式
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
典例精析
典例5 已知一次函数y=kx+b，当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6.
（1）求k与b的值；
（2）当y与x相等时，求x的值.
【解析】（1）∵当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6，
∴，∴；
（2）∵，∴y=5x–1，
当y与x相等时，则x=5x–1，
∴x=.
【名师点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
典例6 一次函数y=kx+b．当x=﹣3时，y=0；当x=0时，y=﹣4，求k与b的值．
【解析】将x=–3，y=0；x=0，y=–4分别代入一次函数解析式得：
，解得，
即k=–，b=–4．
【名师点睛】本题考查的是一次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
拓展
5．一个正比例函数的图象经过点（–2，4），它的表达式为
A．y=–2x B．y=2x
C．y=–x D．y=x
6．一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点．
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上
7．已知y–1与x+2成正比例，且x=–1时，y=3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象经过点（m–1，m+1），求m的值.
一次函数与一元一次方程
1．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.
2．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．
典例精析
典例7 已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b+3=0的解是
x
…
–2
–1
0
1
…
y
…
5
3
1
–1
…
A．x=2 B．x=3
C．x=–2 D．x=–3
【答案】A
【解析】∵当x=0时，y=1，当x=1，y=–1，
∴，解得：，
∴y=–2x+1，
当y=–3时，–2x+1=–3，
解得：x=2，
故关于x的方程kx+b+3=0的解是x=2，
故选A．
典例8 如图为y=kx+b的图象，则kx+b=0的解为x=
A．2 B．–2
C．0 D．–1
【答案】D
【解析】从图象上可知，一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标为–1，所以关于x的方程kx+b=0的解为x=–1．故选D．
【名师点睛】关于x的一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案．
拓展
8．已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，–2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为
A．x=0 B．x=1
C．x=–2 D．x=3
9．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=–1的解为
A．x=0 B．x=1 C．x= D．x=–2
一次函数与一元一次不等式
一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集⇔y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集⇔y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．
典例精析
典例9 如图，一次函数y1=x＋b与一次函数y2=kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b>kx＋4的解集是
A．x>﹣2 B．x>0 C．x>1 D．x<1
【答案】C
【解析】当x>1时，x+b>kx+4，
即不等式x+b>kx+4的解集为x>1．
故选C．
典例10 如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】∵，∴①或②．
∵直线与分别交x轴于点，
观察图象可知①的解集为：，②的解集为：
∴不等式的解集为或.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，学会根据图形判断函数值的正负是关键.
拓展
10．如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数的图象经过点B（−2，−1）.
（1）求一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式组−1
11．如图，函数与的图像交于．
（1）求出m、n的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）求出△ABP的面积．
一次函数与二元一次方程（组）
1．二元一次方程kx-y+b=0（k≠0）的解与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上的点的坐标是一一对应的．
2．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解，体现了数形结合的思想方法．
典例精析
典例11 如图，函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P（1，2），那么关于x，y的方程组的解是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是．故选A．
【名师定睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
典例12 若方程组没有解，则一次函数y=2–x与y=–x的图象必定
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解析】∵方程组没有解，∴一次函数y=2–x与y=–x的图象没有交点，
∴一次函数y=2–x与y=–x的图象必定平行．故选B．
拓展
12．二元一次方程组的解为，则一次函数y=5–x与y=2x–1的交点坐标为
A．（2，3） B．（3，2） C．（–2，3） D．（2，–3）
一次函数的应用
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
典例精析
典例13 一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．
（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？
（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．
（a）说明图①中点A和点B的实际意义；
（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．
【解析】（1）设A站和B站相距x千米，行驶的时间是y小时，根据题意得：，
解之得：，
5.8÷0.1=58（千米/小时）；
答：A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．
（2）（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；
B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；
（b）反映乘客意见的是图③；
反映公交公司意见的是图②；
故答案为：③，②．
典例14 某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）．设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）．
（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
方案一：y1=_________；方案二：y2=__________．
（2）若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？
（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到__________个文具盒（直接回答即可）．
【答案】（1）10x+150；9x+180；（2）详解见解析；（3）40.
【解析】（1）由题意，可得y1=40×5+10（x–5）=10x+150，y2=（40×5+10x）×0.9=9x+180．
故答案为：10x+150，9x+180；
（2）当x=20时，y1=10×20+150=350，y2=9×20+180=360，
因为350<360，所以可看出方案一省钱；
（3）如果10x+150≤540，那么x≤39，如果9x+180≤540，那么x≤40，所以学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到40个文具盒．故答案为：40．
【名师点睛】（1）根据方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，即可得出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）将x=20分别代入（1）中关系式，通过计算比较两种方案中哪种更省钱即可；
（3）根据购买时，顾客只能选用其中的一种方案，所以分别求出y≤540时两种方案中x的最大整数值，比较即可得到答案．
拓展
14．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示．有如下结论：①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米．其中正确的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
15．某县组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种扶贫物资共100吨到某乡实施扶贫工作，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表中提供的信息，解答下列问题：
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨所需运费（元/吨）
120
160
100
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应如何安排车辆？并求出最少总运费．
同步测试
1．函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣，④y=x2+2中，是一次函数的有
A．①② B．① C．②③ D．①④
2．直线y=2x－4与y=－x+2的公共点坐标为
A．（－2，0） B．（0，－2） C．（2，0） D．（0，2）
3．已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为
A．y=x+2 B．y=﹣x+2
C．y=x+2或y=﹣x+2 D．y=–x+2或y=x–2
4．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>3时，x的取值范围是
A． B． C． D．
5．如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=–x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为
A．y=–x+2 B．y=x+2 C．y=x–2 D．y=–x–2
6．点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y=﹣3x+4图象上的两个点，且x1
7．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为
A． B．
C． D．
8．两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的
A． B．
C． D．
9．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<0时，y<3．其中正确的是
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
10．端午节，在大明湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法，其中正确的有
①乙队比甲队提前0.25min到达终点；
②0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m；
③当乙队划行110m时，此时落后甲队15m；
④自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到260m/min．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．观察图象，可以得出不等式组的解集是
A．x<4 B．x<–1
C．–1
①AF是∠BAO的平分线；②∠BAO=60°；③点F在线段AB的垂直平分线上；④S△AOF∶S△ABF=1∶2．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
13．若y=(m–2)x+(m2–4)是正比例函数，则m的取值为__________．
14．已知点A（），B（）是一次函数图象上的两点，当时，__________．（填“>”“=”或“<”）
15．关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第__________象限．
16．已知一次函数y=4x+3m与y=7x–9的图象经过y轴上同一点，则m=__________．
17．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）起点A与终点B之间相距多远？
（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；
（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？
18．如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）求△OAC的面积；
（3）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；
（4）在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．已知一次函数(k≠0)，回答下列问题：
（1）若一次函数的图象过原点，求k的值；
（2）无论k取何值，该函数的图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标．
20．为建设秀美家乡，某学校组织师生参加一年一度的植树绿化工作，准备租用7辆客车，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元，
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
60
40
租金/(元/辆)
360
300
（1）求出y（单位：元）与x（单位：辆）之间的函数关系式．
（2）若该校共有350名师生前往参加劳动，共有多少种租车方案？
（3）带队老师从学校预支租车费用2400元，试问预支的租车费用是否能有结余？若有结余，最多可结余多少元？
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