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2019年浙教版数学九年级上学期期末专项复习卷(四)相似三角形
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这是一份2019年浙教版数学九年级上学期期末专项复习卷(四)相似三角形,共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(共10小题;共50分)
1. 若 3a=5b,则 ab 等于
A. 35B. 53C. 38D. 58
2. 如图所示,已知在 △ABC 中,点 P 是边 AB 上的一点.连接 CP,则以下条件中不能确定 △ACP 与 △ABC 相似的是
A. ∠ACP=∠BB. ∠APC=∠ACB
C. AC2=AP⋅ABD. ACCP=ABBC
3. 如图所示,在 △ABC 中,DE∥BC,点 D,E 分别在 AB,AC 上.若 AD:DB=2:3,则
A. DE:BC=2:3B. S△ADE:S四边形DECB=4:9
C. EC:AC=3:5D. AE:AC=3:5
4. 已知 △ABC 如图所示,则下列三角形中,与 △ABC 相似的是
A. B.
C. D.
5. 已知两个相似多边形的面积比是 9:16,其中较小多边形的周长为 36 cm,则较大多边形的周长为
A. 48 cmB. 54 cmC. 56 cmD. 64 cm
6. 如图所示,点 A,B,C,D 是边长相同的小正方形组成的网格的顶点,AB,CD 相交于点 P,则 AP:BP 的值是
A. 2:1B. 2:3C. 3:2D. 3:1
7. 如图所示,已知在 Rt△ABC 中,AB=5.BC=3,在线段 AB 上取一点 D,作 DE⊥AB 交 AC 于点 E,将 △ADE 沿 DE 折叠,设点 A 落在线段 BD 上的对应点为 A1,DA1 的中点为 F.若 △FEA1∽△FBE,则 AD 等于
A. 85B. 45C. 94D. 98
8. 如图所示,AC 是矩形 ABCD 的对角线,点 E 是边 BC 延长线上一点,AE 与 CD 相交于点 F,则图中的相似三角形有
A. 2 对B. 3 对C. 4 对D. 5 对
9. 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 CD 上一点,EC:DE=4:3,连接 AE,BE,BD,AE 与 BD 交于点 F,则 S△ABF:S△EBF:S△DEF 为
A. 7:4:3B. 49:21:16C. 49:16:9D. 49:21:9
10. 如图所示,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,底边 BC=a,∠A=36∘,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,∠BCD 的平分线交 BD 于点 E.设 k=5−12,则 DE 等于
A. k2aB. k3aC. ak2D. ak3
二、填空题(共6小题;共30分)
11. 若 x 是 3 和 4 的比例中项,则 x 的值为 .
12. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点,且 AC>BC.若 AB=4,则 BC= .
13. 如图所示,D 是 △ABC 中 AB 边上一点,请添加一个条件 使得 △ACD∽△ABC 成立.
14. 如图所示,D 是 △ABC 的边 BC 上一点.已知 AB=4,AD=2,∠DAC=∠B,若 △ABC 的面积为 m,则 △ACD 的面积为 .
15. 如图所示,矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的:AH 与 BE,BF,DF,DG,CG 分别交于点 P,Q,K,M,N.设 △BPQ,△DKM,△CNH 的面积依次为 S1,S2,S3.若 S1+S3=40,则 S2 的值为 .
16. 如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=10,AD=4,点 P 是边 AB 上一点.若 △APD 与 △BPC 相似,则 AP 的值为 .
三、解答题(共7小题;共91分)
17. 如图所示,∠A=∠F=110∘,∠B=36∘,∠D=34∘,求证:△ABC∼△FED.
18. 如图所示,在 △ABC 中,AD 是角平分线,点 E 是 AD 上的一点,且 CE=CD.求证:ABAC=ADAE.
19. 如图所示,有一块三角形纸板 ABC,它的边 BC=40 cm,高 AD=30 cm.从这块三角形中剪下一个长是宽的 2 倍的矩形 EFGH,使它的一边 EF 在 BC 上,顶点 G,H 分别 AC,AB 上,求这个矩形 EFGH 的周长.
20. 网格中每个小正方形的边长都是 1.
(1)在图甲中画一个格点三角形 DEF,使得 △DEF≌△ABC;
(2)在图乙中画一个格点三角形 MNL,使得 △MNL∽△ABC,且相似比为 2:1;
(3)在图丙中画一个格点三角形 OPQ,使得 △OPQ∽△ABC,且相似比为 2:1.
21. 如图所示,在四边形 ABCD 中,AC 平分 ∠DAB,∠ADC=∠ACB=90∘,点 E 为 AB 的中点.
(1)求证:AC2=AB⋅AD.
(2)求证:CE∥AD.
(3)若 AD=4,AB=5,求 ACCF 的值.
22. 抛物线 y=−x−32 的顶点为 A,与 y 轴交于点 B,直线 y=33x+m 过点 A,且与 y 轴交于点 C,与抛物线交于点 D,连接 BD.
(1)①求 m 的值.
②求点 D 的坐标.
③过点 C 作 CE⊥BD 于点 E,求 CE 的长.
(2)若有一动点 P 在抛物线上,有一动点 Q 在抛物线的对称轴上,当以点 P,Q,A 三点为顶点的三角形和 △BCD 相似时,求点 Q 的坐标.
23. 类比,转化,从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,以下是一个案例,请补充完整.
原题:如图甲所示,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的中点,点 F 是线段 AE 上一点,BF 的延长线交射线 CD 于点 G.若 AFEF=4,求 CDCG 的值.
(1)尝试探究.
在图甲中,过点 E 作 EH∥AB 交 BG 于点 H,则 AB 和 EH 的数量关系是 ,CG 和 EH 的数量关系是 ,CDCG 的值是 .
(2)类比延伸.
如图乙所示,在原题的条件下,若 AEEF=mm>0,则 CDCG 的值是 (用含 m 的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移.
如图丙所示,梯形 ABCD 中,DC∥AB,点 E 是 BC 延长线上一点,AE 和 BD 相交于点 F,若 ABCD=a,BCBE=ba>0,b>0,则 EFAF 的值是 (用含 a,b 的代数式表示).
答案
第一部分
1. B
2. D【解析】A,B 两项都是三个角相等;
C 选项 ACAB=APAC,还有 ∠A 公共角,可以确定;
D 选项 ACAB=CPBC,两边相似,∠A 不是夹角,不能确定.
3. C
4. C
5. A
【解析】相似多边形的面积比为 9:16,
则相似比为 3:4,
∴较大多边形的周长=36×43=48cm.
6. C【解析】如图所示,过点 P 作 PE⊥BO 于点 E,PF⊥AO 于点 F.
设 PE=x,则 DE=PE=x,PF=OE=1+x,AF=BE=2−x,
易证 △APF∽△PBE,
∴ AFPE=PFBE,即 2−xx=1+x2−x,解得 x=45.
∴ AP:BP=AF:PE=65:45=3:2.
7. A【解析】∵Rt△ABC 中,AC=AB2−BC2=4,
设 AD=2x,则 DA1=AD=2x.
∵DA1 的中点为 F,
∴DF=A1F=x.
∵∠ADE=∠C=90∘,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴ADAC=DEBC,即 2x4=DE3,
解得 DE=3x2.
∴EF=DF2+DE2=13x2,FB=AB−AF=5−3x.
∵△FEA1∽△FBE,
∴EFBF=FA1EF,即 EF2=FA1⋅FB.
∴13x22=x⋅5−3x,
解得 x=45,
∴AD=85.
8. C【解析】相似三角形有:△ABC∽△ADC,△ECF∽△EBA,△ECF∽△ADF,△ADF∽△EBA,共 4 对.
9. D【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,且 EC:DE=4:3,
∴ △DEF∽△BAF,DE:AB=3:7.
∴ S△DEF:S△ABF=DE2:AB2=9:49,
∵ △DEF 与 △EBF 同高,
∴ S△DEF:S△EBF=DF:BF=3:7.
∴ S△ABF:S△EBF:S△DEF=49:21:9.
10. A
【解析】在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=a,∠A=36∘,
∴ ∠ABC=∠ACB=72∘.
∵ BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABD=∠CBD=36∘.
同理,∠DCE=∠BCE=36∘.
∴ ∠DEC=36∘+36∘=72∘,∠BDC=72∘.
∴ △CED∽△BCD.
故 CD:DE=BD:CD.
设 ED=x,BD=BC=a,
∵ BC=BD,则 BE=CE=CD=a−x,
∴ BE2=BD⋅ED,即 a−x2=ax,
解得 x1=3−52a,x2=3+52a>BD(舍去).
∵ k2=5−122=3−52,
∴ ED=k2a.
第二部分
11. ±23
12. 6−25
【解析】BC=4×3−52=6−25.
13. ∠ADC=∠ACB(答案不唯一)
14. m4
【解析】在 △ABC 中,∠DAC=∠B,∠C=∠C,则 △ABC∽△DAC,则 S△ABCS△DAC=ABAD2=422=41,而 S△ABC=m,则 S△ACD=m4.
15. 16
【解析】由题意易证 △ABQ∽△ADM,△ABQ∽△ACH,
所以 ABAD=BQDM=12,QBCH=ABAC=13.
所以 △BPQ∽△DKM∽△CNH.
所以 S1S2=14,S1S3=19.
所以 S2=4S1,S3=9S1.
因为 S1+S3=40,
所以 S1=4,S2=16.
16. 2,5,8
【解析】设 AP 为 x,
因为 AB=10,所以 PB=10−x.
①当 AD 和 PB 是对应边时,ADPB=APBC.即 410−x=x4,整理得 x2−10x+16=0,解得 x=2 或 x=8.
②当 AD 和 BC 是对应边时,ADBC=APPB,即 44=x10−x,解得 x=5.
所以当 AP=2,5,8 时,△APD 与 △BPC 相似.
第三部分
17. ∵ ∠A=∠F=110∘,且 ∠B=36∘,
∴ ∠C=180∘−∠A−∠B=34∘,
∴ ∠D=∠C,
∴ △ABC∼△FED.
18. ∵ AD 是角平分线,
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ CE=CD,
∴ ∠CDE=∠CED,
∴ ∠ADB=∠AEC,
∴ △ABD∽△ACE,
∴ ABAC=ADAE.
19. ∵ 四边形 EFGH 为矩形,
∴EF∥HG,
∴△AHG∽△ABC.
∵AD⊥BC 于点 D,AD 交 HG 于点 M,
∴AD⊥HG 于点 M,
∴AMAD=HGBC.
设 HE=x,
则 HG=2x,AM=AD−DM=AD−HE=30−x,
可得 30−x30=2x40,解得 x=12,
∴ 矩形 EFGH 的周长为 2×12+24=72cm.
20. (1)
(2)
(3)
21. (1) ∵AC 平分 ∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB.
又 ∵∠ADC=∠ACB=90∘.
∴△DAC∽△CAB,则 ADAC=ACAB,AC2=AB⋅AD.
(2) 在 Rt△ABC 中,
∵E 为 AB 的中点,
∴CE=12AB=AE.
∴∠CAE=∠ACE,
∴∠DAC=∠ACE,CE∥AD.
(3) ∵∠DAC=∠ACE,∠DFA=∠EFC,
∴△AFD∽△CFE,则 ADCE=AFCF,
∴412×5=AC−CFCF,85=ACCF−1,ACCF=135.
22. (1) ①抛物线顶点 A 为 3,0,把它代入 y=33x+m,解得 m=−1.
②联立方程组 y=−x−32,y=33x−1.
解得 x1=233,y1=−13, x2=3,y2=0.
即点 D 的坐标为 233,−13.
③求点 B,当 x=0 时,y=−3,则点 B0,−3;
求点 C,当 x=0 时,y=−1,则点 C0,−1.
所以直线 BD 为 y−−3=−13−−3233−0x−0,
化简得 4x−3y−33=0,
则点 C0,−1 与直线 BD 的距离为 d=∣4×0−3×−1−33∣42+32=21957.
(2) 若点 Q 在 x 轴下方,当 ∠QAP=∠CDB,∠APQ=∠BCD 时,Q13,−13327,
当 ∠QAP=∠CBD,∠APQ=∠BCD 时,Q23,−769,
当 ∠QAP=∠CDB,∠AQP=∠BCD 时,Q33,−2827,
当 ∠QAP=∠CBD,∠AQP=∠BCD 时,Q43,−4.
若点 Q 在 x 轴上方,当 ∠QAP=∠BCD,∠AQP=∠CDB 时,Q53,49,
当 ∠QAP=∠BCD,∠AQP=∠CBD 时,Q63,1.
23. (1) AB=4EH;CG=2EH;2
(2) m2;作 EH∥AB 交 BG 于点 H,则 △EFH∽△AFB,
∴ ABEH=AFEF=m,AB=mEH.
∵ AB=CD,
∴ CD=mEH,EH∥AB∥CD,
∴ △BEH∽△BCG.
∴ CGEH=BCBE=2,
∴ CG=2EH,
∴ CDCG=mEH2EH=m2.
(3) 1ab
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