2019年浙江绍兴上虞区九年级上学期浙教版数学期末考试试卷

这是一份2019年浙江绍兴上虞区九年级上学期浙教版数学期末考试试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列事件中，属于不确定事件的是
A. 在一个装着白球和红球的袋中摸出黄球
B. 射击运动员射击一次，命中 10 环
C. 一匹马奔跑的速度是 70 m/s
D. 在一张纸上任意画两条平行直线，这两条直线不相交

2. 已知 ab=23，则 a−ba+b 等于
A. −15B. −5C. 15D. 5

3. 如图所示，已知 ∠ACB=∠CDB=90∘，AB∥CD，AB=9，BC=6，则 CD 等于
A. 5B. 245C. 3.6D. 4

4. 已知正六边形 ABCDEF 内接于半径为 1 cm 的 ⊙O，则 ⊙O 中该正六边形的一条对角线 AC（非直径）所对的圆弧长为
A. 23π cmB. 43π cm
C. 23π cm 或 43π cmD. 13π cm 或 23π cm

5. 如图所示，A，B，C 是 ⊙O 上三点，∠ACB=25∘，则 ∠BAO 的度数是
A. 55∘B. 60∘C. 65∘D. 70∘

6. 如图所示，点 P 在 △ABC 的边 AC 上，要判断 △ABP∽△ACB，需添加一个条件．下列条件中，不正确的是
A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABC
C. ABBP=ACCBD. APAB=ABAC

7. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转，若这三种可能性的大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，另一辆右转的概率是
A. 47B. 29C. 49D. 19

8. 如图所示，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为 2，∠B=135∘，则 AC 的长为
A. 2πB. πC. π2D. π3

9. 若抛物线 y=x2+bx 的对称轴是经过点 2,0 且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x2+bx=5 的解为
A. x1=0，x2=4B. x1=1，x2=5C. x1=1，x2=−5D. x1=−1，x2=5

10. 抛物线 y=ax2a≠0 与直线 x=1，x=2，y=1，y=2 围成的正方形有公共点，则 a 的取值范围是
A. 14≤a≤2B. 12≤a≤2C. 12≤a≤1D. 14≤a≤1

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 二次函数 y=2x−12+3 的图象顶点的纵坐标是 ．

12. 如图所示，AB 是半圆 O 的直径，∠BAC=40∘，则 ∠D= ．

13. 二次函数 y=x2−4x+3 的图象与 x 轴有两个交点，这两个交点间的距离是 ．

14. 从长度分别为 1，3，5，7 的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为 ．

15. 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8 cm，水的最大深度是 2 cm，则杯中有水部分（图中阴影部分）的面积是 cm2．

16. 如图所示，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，E，F 为线段 AB 上两动点，且 ∠ECF=45∘，过点 E，F 分别作 BC，AC 的垂线，相交于点 M，垂足分别为 H，G．给出下列结论：① AB=2；②当点 E 与点 B 重合时，MH=12；③ AF+BE=EF；④ MG⋅MH=12．其中正确的结论有 （只需填正确结论的序号）．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 有A，B，C三种款式的帽子，E，F两种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾，恰好选中她所喜欢的A款帽子和F款围巾的概率是多少?请你通过列表或画树状图的方法求解．

18. 将抛物线 y1=x2+4x+1 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度得到抛物线 y2．
（1）求抛物线 y2 的函数表达式．
（2）设抛物线 y2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，求 △ABC 的面积．

19. 在 △ABC 中，已知边 BC=12，该边上的高线 AD=8，同样大小的两个正方形 FMNG 与 EFGH 按如图所示的方式叠放，其中顶点 M，N 在 BC 边上，点 E，H 分别在 AB，AC 边上．求正方形的边长．

20. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E．
（1）求证：BE=CE．
（2）若 BD=2，BE=3，求 AC 的长．

21. （1）如图甲所示，AB，CD 是 ⊙O 中的两条弦，它们相交于点 P，求证 PA⋅PB=PC⋅PD．
（2）如图乙所示，点 P 在 ⊙O 内，⊙O 半径为 5，OP=3，过点 P 任意画一条弦交 ⊙O 于 A，B 两点，根据（1）中的结论计算 PA⋅PB 的值．

22. 定义感知：我们把顶点关于 y 轴对称，且交于 y 轴上同一点的两条抛物线叫作“孪生抛物线”．如图所示的抛物线 y1=x2+2x+2 与 y2=x2−2x+2 是一对“孪生抛物线”．
（1）初步运用：
（1）判断下列论断是否正确，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”．
①“孪生抛物线”的两对称轴一定关于 y 轴对称．
②“孪生抛物线”的开口方向不一定相同．
（2）填空：抛物线 y=2x2−4x−1 的“孪生抛物线”的函数表达式为 ．
（2）延伸拓展：在平面直角坐标系中，记“孪生抛物线”的两顶点分别为点 M，Mʹ，且 MMʹ=4，“孪生抛物线”与 y 轴的交点 A0,1 到线段 MMʹ 的距离为 2 个单位长度，试求该“孪生抛物线”的函数表达式．

23. 数学课上，王老师出示问题：如图甲所示，将边长为 5 的正方形纸片 ABCD 折叠，使顶点 A 落在边 CD 上的点 P 处（点 P 与点 C，D 不重合），折痕为 EF，折叠后 AB 边落在 PQ 的位置，PQ 与 BC 交于点 G．
（1）观察操作结果，在图甲中找到一个与 △DEP 相似的三角形，并证明你的结论．
（2）当点 P 在边 CD 的什么位置时，△DEP 与 △CPG 的面积比是 9:25?请写出求解过程．
（3）将正方形换成正三角形，如图乙所示，将边长为 5 的正三角形纸片 ABC 折叠，使顶点 A 落在边 BC 上的点 P 处（点 P 与点 B，C 不重合），折痕为 EF．当点 P 在边 BC 的什么位置时，△BEP 与 △CPF 面积的比是 9:25?请写出求解过程．

24. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是 D2,6，与 y 轴交于点 A0,2．点 Bn,0 是 x 轴上的一点，连接 DB，AB．将 AB 绕点 B 顺时针旋转 90∘，得到扇形 BAC．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）当 △AOB 为等腰三角形时，求 BD 的长．
（3）当 BD 平分 ∠ABC 时，求 n 的值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD．
∵∠ACB=∠D=90∘．
∴△ABC∽△BCD，
∴ABBC=BCCD．
∵AB=9，BC=6，
∴CD=4．
4. C【解析】由题意易得 AC 所对优弧的圆心角为 240∘，所对劣弧的圆心角为 120∘，
∴AC 所对的圆弧长为 2π×1×120∘360∘=23π cm 或 2π×1×240∘360∘=43π cm．
5. C
【解析】连接 OB．
∵∠ACB=25∘，
∴∠AOB=50∘．
∵OA=OB，
∴∠BAO=65∘．
6. C
7. B
8. B【解析】连接 AO，CO．
∵∠B=135∘，
∴∠D=45∘．
∴∠AOC=90∘．
根据弧长公式得 l=nπr180=90×π×2180=π．
9. D【解析】由题意知抛物线 y=x2+bx 的对称轴是直线 x=2，
∴ b=−4．
∴ 方程 x2+bx=5 可化为 x2−4x−5=0，解得 x1=−1，x2=5．
10. A
【解析】如图所示，
易知 A1,2，B2,1，再根据抛物线的性质可知 a 越大，抛物线开口越小．把点 A 代入 y=ax2，得 a=2；把点 B 代入 y=ax2，得 a=14．
∴ a 的取值范围是 14≤a≤2．
第二部分
11. 3
12. 130∘
13. 2
14. 14
15. 163π−43
【解析】如图所示，作 OD⊥AB 于点 C，交小圆于点 D，
则 CD=2，AC=BC．
∵ OA=OD=4，CD=2，
∴ OC=2．
∴ 在 Rt△AOC 中，∠OAC=30∘，
∴ ∠AOB=120∘，AC=23．
∴ AB=43．
∴杯底有水部分的面积=S扇形AOB−S△AOB=π×42×120∘360∘−12×43×2=163π−43cm2.
16. ①②④
【解析】由题意知 △ABC 是等腰直角三角形．
∵∠ACB=90∘，AB=BC=1，
∴AB=2．
故①正确．
当点 E 与点 B 重合时，点 H 与点 B 重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90∘．
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90∘=∠C=∠MBC．
∴MG∥BC，四边形 MGCB 是矩形．
∴MH=MB=CG．
∵∠FCE=45∘=∠ABC，∠A=∠ACF=45∘，
∴CE=AF=BF．
∴FG 是 △ACB 的中位线．
∴GC=12AC=MH=12．
故②正确．
如图所示，
∵AC=BC，∠ACB=90∘，
∴∠A=∠5=45∘．
将 △ACF 顺时针旋转 90∘ 至 △BCD，
则 CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45∘，BD=AF．
∵∠2=45∘，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45∘．
∴∠DCE=∠2．
∴△ECF≌△ECD．
∴EF=DE．
∵∠5=45∘，
∴∠BDE=90∘．
∴DE2=BD2+BE2，
即 EF2=AF2+BE2．
故③错误．
如图所示，
∵∠7=∠1+∠A=∠1+45∘=∠1+∠2=∠ACE，
又 ∵∠A=∠5=45∘，
∴△ACE∽△BFC．
∴AEBC=ACBF．
∴AE⋅BF=AC⋅BC=1．
由题意知四边形 CHMG 是矩形，
∴MG∥BC，MH∥AC，MH=CG，MG=CH．
∴CHBC=AEAB，CGAC=BFAB，
即 MG1=AE2，MH1=BF2．
∴MG=22AE，MH=22BF．
∴MG⋅MH=22AE⋅22BF=12AC⋅BC=12.
故④正确．
第三部分
17. 树状图如下：
共有 6 种情况．其中满足题意的有 1 种．故 P=16．
18. （1） ∵y1=x2+4x+1=x+22−3，
把 y1 抛物线先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，
∴y2=x+2−32−3−1=x−12−4=x2−2x−3．
（2） 令 x2−2x−3=0，解得 x1=−1，x2=3，
∴A−1,0，B3,0．
∴AB=4．
∵C0,−3，
∴OC=3．
∴S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3=6．
19. 设 EH 与 AD 的交点为 P，正方形的边长为 x．由题意知 △AEH∽△ABC，
∴ EHBC=APAD．
∵ PD=2x，AD=8，BC=12，
∴ AP=8−2x．
∴ x12=8−2x8，
解得 x=3，即正方形的边长为 3．
20. （1） 连接 AE，
∵ 点 E 在圆上，AC 为直径，
∴ ∠AEC=90∘，即 AE⊥BC．
∵ AB=AC，
∴ △ABC 是等腰三角形．
∴ BE=CE．
（2） 连接 CD，可得 ∠ADC=∠BDC=90∘=∠BEA．
又 ∵ ∠B=∠B，
∴ △BDC∽△BEA．
∴ BDBE=BCBA．
因为 BD=2，BE=CE=3，
∴ BC=6．
∴ AC=AB=9．
21. （1） 连接 AD，BC，可得 ∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP．
∴△PAD∽△PCB．
∴PAPC=PDPB．即 PA⋅PB=PC⋅PD．
（2） 延长 OP，交 ⊙O 于点 C；延长 PO，交 ⊙O 于点 D．
∵OC=OD=5，OP=3．
∴PC=2，PD=8．
∴PA⋅PB=PC⋅PD=16．
22. （1） （1）① √；② ×；
（2）y=2x2+4x−1
（2） 由题意可设点 M 的坐标为 −2,k，点 Mʹ 的坐标为 2,k．
∴ 设其中一条抛物线的函数表达式为 y=ax+22+k，另一条抛物线的函数表达式为 y=ax−22+k．
∵ 抛物线与 y 轴的交点是 0,1，
∴ 4a+k=1．
∵ 点 A0,1 到线段 MMʹ 的距离是 2，
∴ k=−1 或 k=3．
当 k=−1 时，a=12，此时抛物线的函数表达式为 y=12x−22−1（或 y=12x2−2x+1）与 y=12x+22−1（或 y=12x2+2x+1）；
当 k=3 时，a=−12，此时抛物线的函数表达式为 y=−12x−22+3（或 y=−12x2+2x+1）与 y=−12x+22+3（或 y=−12x2−2x+1）．
23. （1） △CPG 或 △QFG．以 △CPG 为例证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形．
∴ ∠A=∠C=∠D=90∘．根据翻折的性质可得 ∠A=∠EPQ=90∘．
∴ ∠DEP+∠DPE=∠DPE+∠CPG=90∘．
∴ ∠DEP=∠CPG．
∴ △CPG∽△DEP．
（2） 设 DP 为 x，则 PC=5−x，
∵ S△DEPS△CPG=925，
∴ DEPC=DPGC=35．
∴ DE=355−x．
∴ EP=AE=5−355−x=35x+2．
在 Rt△EDP 中，DE2+DP2=EP2，即 x2+9255−x2=35x+22．
解得 x=1 或 x=5（舍去）．
∴ 当 DP=1 时，△DEP 与 △CPG 的面积的比是 9:25．
（3） 易知 △BEP∽△CPF，
∵ S△DEPS△CPE=925，
∴ BEPC=BPFC=PEPC=35．设 BP=y，
∴ PC=5−y，CF=53y．
又 ∵ ∠C=60∘．根据三角形边角关系易求出 y=58．
∴ 当 BP=58 时，△BEP 与 △CPF 的面积比是 9:25．
24. （1） 由题意可设抛物线的函数表达式为 y=ax−22+6．将 A0,2 代入，解得 a=−1，
∴ 抛物线的函数表达式为 y=−x−22+6=−x2+4x+2．
（2） ∵∠AOB=90∘，
∴ 若 △AOB 是等腰三角形，则只有 AO=OB 一种情况，此时 △AOB 是等腰直角三角形．
∵AO=2，
∴OB=2，即 n=±2，B2,0 或 B−2,0．当 B2,0 时，
∵D2,6，
∴BD=6．
当 B−2,0 时，BD=42+62=213．
综上所述，BD 的值为 6 或 213．
（3） 作 CE⊥x 轴，垂足为 E．
∵∠ABC=90∘，
∴△AOB≌△BEC．
∴CE=OB=n，BE=AO=2．
∴Cn+2,n．
∴BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=45∘，由旋转的性质可得 △ABD≌△CBD，
∴AD=CD．
∵AD=22+42=25，
∴CD=n2+n−62=25，解得 n=2 或 n=4，经检验，均符合题意，故 n 的值为 2 或 4．