2020-2021学年广东省深圳市福田区深圳实验学校初中部八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市福田区深圳实验学校初中部八上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列实数中，是无理数的为
A. 0B. 227C. 3.14D. 2

2. 平面直角坐标系内，点 A−2,1 位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击 10 次，两人 10 次射击成绩的平均数均是 8.9 环，方差分别是 S2=0.43，S2=0.51，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定性的描述正确的是
A. 甲比乙稳定B. 乙比甲稳定
C. 甲和乙一样稳定D. 甲、乙稳定性没法比较

4. 下列运算正确的是
A. 2+3=5B. 43−3=4C. 2×3=23D. 42÷2=4

5. 如图，将直尺与含 30∘ 角的三角尺摆放在一起，若 ∠1=20∘，则 ∠2 的度数是
A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘

6. 不等式组 3x−1>2,8−4x≤0 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.

7. 对于函数 y=−3x+1，下列结论正确的是
A. 它的图象必经过点 1,3B. y 的值随 x 的增大而增大
C. 当 x>0 时，y<0D. 它的图象不经过第三象限

8. 下列命题中真命题是
A. 4=±2
B. 点 A2,1 与点 B−2,−1 关于原点对称
C. 64 的立方根是 ±4
D. 若 a
9. 在如图的网格中，每个小正方形的边长为 1，A，B，C 三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是
A. AB=25B. ∠BAC=90∘
C. S△ABC=10D. 点 A 到直线 BC 的距离是 2

10. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐 3 人，则 2 辆车无人乘坐；若每车乘坐 2 人，则 9 人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有 x 辆车，y 人，则可列方程组为
A. 3x−2=y,2x+9=yB. 3x+2=y,2x+9=y
C. 3x=y,2x+9=yD. 3x+2=y,2x−9=y

11. 如图是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为 48，小正方形面积为 6，若用 x，y 表示直角三角形的两直角边长 x>y，则 x+y2 的值为
A. 60B. 79C. 84D. 90

12. A，B两地相距 12 千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线 OPQ 和线段 EF 分别表示甲、乙两人与A地的距离 y甲，y乙 与他们所行时间 x（h）之间的函数关系，且 OP 与 EF 相交于点 M．下列说法：① y乙=−2x+12；②线段 OP 对应的 y甲 与 x 的函数关系式为：y甲=18x；③两人相遇地点与A地的距离是 9 km；④经过 38 小时或 58 小时时，甲、乙两人相距 3 km．其中正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 9 的平方根是 ．

14. 如果一组数据 2，4，x，3，5 的众数是 4，那么该组数据的平均是 ．

15. 一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则关于 x 的方程 kx+b=0 的解 x= ．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点 A12,0，点 B0,4，点 P 是直线 y=−x−1 上一点，且 ∠ABP=45∘，则点 P 的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解答下列各题．
（1）12+3−27+∣3−1∣+π−3.140．
（2）解方程组：2x−y=7, ⋯⋯①3x+2y=0. ⋯⋯②

18. 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校 1200 名学生进行经典诗词背诵活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词背诵数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词背诵数量”，绘制成统计表：
一周诗词背诵数量3首4首5首6首7首8首人数101015★2520
请根据调查的信息分析：
（1）求本次调查抽取的学生人数，并补全上面的条形统计图．
（2）活动启动之初学生“一周诗词背诵数量”的中位数为 首．
（3）估计大赛后一个月该校学生一周诗词背诵 6 首（含 6 首）以上的人数比活动启动之初一周诗词背诵 6 首（含 6 首）以上的人数多了多少人?

19. 如图，BG∥EF，△ABC 的顶点 C 在 EF 上，AD=BD，∠A=23∘，∠BCE=44∘，求 ∠ACB 的度数．

20. 如图，在 △ABC 中，AD=15，AC=12，DC=9，点 B 是 CD 延长线上一点，连接 AB，若 AB=20．
（1）求线段 BC 的长．
（2）求 △ABD 的面积．

21. 如图，已知直线 CD 过点 C−2,0 和点 D0,1，且与直线 AB：y=−x+4 交于点 A．
（1）求直线 CD 的解析式．
（2）求交点 A 的坐标．
（3）在 y 轴上是否存在一点 P，使得 S△PBC=S△ABC?若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 2020 年 4 月 23 日是第 25 个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”“阅读梦飞翔”主题活动，为此特为毎个班级订购了一批新的图书，七年级订购《曾国藩家书》 2 套和“凡尔纳三部曲”1 套，总费用为 135 元；八年级订购《曾国藩家书》 1 套和“凡尔纳三部曲”1 套，总费用为 105 元．
（1）求《曾国藩家书》和“凡尔纳三部曲”每套各是多少元?
（2）学校准备再购买《曾国藩家书》和“凡尔纳三部曲”共 20 套，总费用不超过 960 元，购买《曾国藩家书》的数量不超过“凡尔纳三部曲”的 3 倍，问学校有几种购买方案?哪种购买方案的费用最低?最低费用为多少元?

23. 如图 1，直线 y=kx+bk≠0 经过第一象限内的定点 P3,4．
（1）若 b=7，则 k= ．
（2）如图 2，直线 y=kx+b 与 y 轴交于点 C．已知点 A6,t，过点 A 作 AB∥y 轴交第一象限内的直线 y=kx+b 于点 B，连接 OB，若 BP 平分 ∠OBA．
①证明 △OBC 是等腰三角形．
②求 k 的值．
（3）如图 3，点 M 是 x 轴正半轴上的一个动点，连接 PM，把线段 PM 绕点 M 顺时针旋转 90∘ 至线段 NM（∠PMN=90∘ 且 PM=MN），例如 OP，ON，PN，当 △OPN 周长最小时，求点 N 的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】A选项：0 是整数，是有理数．
B选项：227 是分数，是有理数．
C选项：3.14 是有限小数，是有理数．
D选项：2 是无理数，符合要求．
2. B【解析】∵ 点 A 的横坐标 −2 是负数，纵坐标 1 是正数，
∴ 点 A 在第二象限．
3. A【解析】因为 S2=0.43所以关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是甲．
4. D【解析】A选项：2 与 3 不能合并，
所以A选项错误，
B选项：原式=33，
所以B选项错误．
C选项：原式=2×3=6，
所以C选项错误．
D选项：原式=4，
所以D选项正确．
故选D．
5. A
【解析】∵∠BEF 是 △AEF 的外角，∠1=20∘，∠F=30∘，
∴∠BEF=∠1+∠F=50∘，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEF=50∘．
6. A【解析】3x−1>2, ⋯⋯①8−4x≤0, ⋯⋯②
由①得，x>1，
由②得，x≥2，
故此不等式组得解集为：x≥2．
在数轴上表示为．
7. D【解析】A选项：当 x=1 时，y=−3+1=−2，所以函数图形不经过 1,−2，所以本选项结论错误，不符合题意．
B选项：因为 k=−3<0，所以 y 的值随着 x 的增大而减小，所以本选项结论错误，不符合题意．
C选项：当 x>0 时，−3x<0，−3x+1<1，所以本选项结论错误，不符合题意．
D选项：因为 k<0，b>0，所以函数图象不经过第三象限，所以本选项结论正确，符合题意．
8. B【解析】A选项：4=2≠±2，故A选项是假命题；
B选项：因为关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，
所以点 A2,1 与点 B−2,−1 关于原点对称，故B选项是真命题；
C选项：64 的立方根是 4，故C选项是假命题；
D选项：若 a9. C【解析】AB=22+42=20=25，故选项A正确，不符合题意；
∵AC=22+12=5，BC=32+42=5，
∴AB2+AC2=BC2=25，
∴△ACB 是直角三角形，
∴∠CAB=90∘，故选项B正确，不符合题意；
S△ABC=12AC⋅AB=12×5×25=5，故选项C错误，符合题意；
点 A 到直线 BC 的距离 =AC⋅ABBC=25×55=2，故选项D正确，不符合题意．
10. A
【解析】根据题意可得：3x−2=y,2x+9=y,
故选：A．
11. D【解析】将图标上字母如下：
∵△ABC 为直角三角形，
∴ 根据勾股定理：x2+y2=AB2=48，
由图可知，x−y=CE=6，
由 2xy+6=48 可得 2xy=42 ，
∵x2+2xy+y2=48+42，
整理得，x+y2=90．
12. C【解析】设 y乙 与 x 的函数关系式是 y乙=kx+b，
∵ 点 0,12，2,0 在函数 y乙=kx+b 的图象上，
∴b=12,2k+b=0,
解得 k=−6,b=12,
即 y乙 与 x 的函数关系式是 y乙=−6x+12，故①错误；
当 x=0.5 时，y乙=−6×0.5+12=9，
即两人相遇地点与A地的距离是 9 km，故③正确；
设线段 OP 对应的 y甲 与 x 的函数关系式是 y甲=ax，
∵ 点 0.5,9 在函数 y甲=ax 的图象上，
∴9=0.5a，
解得 a=18，
即线段 OP 对应的 y 与 x 的函数关系式是 y甲=18x，故②正确；
令 ∣18x−−6x+12∣=3，
解得，x1=38，x2=58，
即经过 38 小时或 58 小时，甲、乙两人相距 3 km，故④正确；
∴ 正确的是②③④这 3 个，
故选C．
第二部分
13. ±3
【解析】∵±3 的平方是 9，
∴9 的平方根是 ±3．
14. 185
【解析】∵ 一组数据 2，4，x，3，5 的众数是 4，
∴4 出现的次数最多，
∴x=4，
∴ 这组数据的平均数是
15×2+4+4+3+5=15×18=185.
15. −2
【解析】∵ 从图象可知：一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标是 −2,0，
∴ 关于 x 的方程 kx+b=0 的解为 x=−2．
16. 5,−6
【解析】如图所示，将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90∘ 得到线段 BC，
则点 C 的坐标为 −4,−8，
由旋转可知，△ABC 为等腰直角三角形，
设线段 AC 和直线 BP 交于点 M，则 M 为线段 AC 的中点，
∴ 点 M 的坐标为 4,−4，又 B 为 0,4，
设直线 BP 为 y=kx+b，将点 B 和点 M 代入可得 4k+b=−4,b=4,
解得 k=−2，b=4，可得直线 BP 为 y=−2x+4，
由于点 P 为直线 BP 和直线 y=−x−1 的交点，
则由 y=−2x+4,y=−x−1 解得 x=5,y=−6,
∴ 点 P 的坐标为 5,−6．
第三部分
17. （1） 12+3−27+∣3−1∣+π−3.140=23+−3+3−1+1=33−3.
（2）
2x−y=7, ⋯⋯①3x+2y=0. ⋯⋯②
由①得：
y=2x−7.⋯⋯③
把③代入②得：
3x+22x−7=03x+4x−14=07x=14x=2,
把 x=2 代入①得：
2×2−y=74−y=7y=4−7y=−3,∴
解得：x=2,y=−3.
18. （1） 根据题意，背诵 5 首诗词的学生人数占扇形统计图的圆心角为 60∘，
即占调查抽样学生人数的 60∘360∘=16，
由条形图可知背诵 5 首诗词的学生人数为 20 人，
20÷16=120 人，故本次调查抽取得学生人数为 120 人，
背诵 4 首诗词的学生人数为：120×135∘360∘=45 人，
补全条形统计图如图：
（2） 4.5
【解析】活动启动之初，由条形统计图可知，
一周诗词背诵数量统计中，一周背诵 3 首诗词的学生有 15 人，
一周背诵 4 诗词的学生有 45 人，一周背诵 5 首诗词的学生有 20 人，
一周背诵 6 首诗词的学生有 16 人，一周背诵 7 首诗词的学生有 13 人，
一周背诵 8 首诗词的学生有 11 人，调查抽样人数为 120 人，
中位数为背诵诗词数量排在第 60，61 位的平均数，15+45=60，
所以第 60 位背诵诗词 4 首，第 61 位背诵诗词 5 首，
故中位数位 4+5÷2=4.5 首．
（3） 由（1）可知调查抽样学生人数为 120 人，大赛结束一个月后，
再次抽查学生人数也为 120 人，
由统计表可知，
背诵 6 首诗词的人数为：120−10−10−15−25−20=40 人，
所以大赛结束一个月后背诵 6 首及 6 首以上的人数为：40+25+20=85 人，
占抽样总数的比例为：85÷120=1724，全校有 1200 名学生，
估计大赛结束后一个月该校学生一周背诵 6 首（含 6 首）以上的人数为：
1200×1724=850 人，
启动活动之初，由条形统计图可知，
背诵 6 首（含 6 首）以上诗词的人数为：16+13+11=40 人，
占抽样总数的比例为：40÷120=13，全校有 1200 名学生，
估计活动启动之初该校学生一周背诵 6 首（含 6 首）以上诗词的人数为：
1200×13=400 人，
850−400=450 人，
故估计大赛后一个月该校学生一周诗词背诵 6 首（含 6 首）以上的人数比活动启动之初一周诗词背诵 6 首（含 6 首）以上的人数为 450 人．
19. ∵AD=BD，∠A=23∘，
∴∠ABD=∠A=23∘，
∵BG∥EF，∠BCE=44∘，
∴∠DBC=∠BCE=44∘，
∴∠ABC=44∘+23∘=67∘，
∴∠ACB=180∘−67∘−23∘=90∘．
20. （1） 在 △ADC 中，AD=15，AC=12，DC=9，
AC2+DC2=122+92=152=AD2，
即 AC2+DC2=AD2，
∴△ADC 是直角三角形，∠C=90∘，
在 Rt△ABC 中，BC=AB2−AC2=202−122=16．
（2） BD=BC−DC=16−9=7，
∴△ABD 的面积 =12×7×12=42．
21. （1） 设直线 CD 解析式 y=kx+b，
把 C−2,0，D0,1 代入 y=kx+b 中，
得 −2k+b=0,b=1,
解得 k=12,b=1,
∴ 直线 CD 解析式 y=12x+1．
（2） 联立 y=12x+1,y=−x+4,
解得：x=2,y=2.
∴A2,2．
（3） 存在，P0,2或0,−2．
【解析】∵S△PBC=S△ABC，
∴yP=yA=2，
∴yP=±2，
∴P0,2或0,−2．
22. （1） 设《曾国藩家书》每套 x 元，“凡尔纳三部曲”每套 y 元，根据题意，得：
12x+6y=810,9x+7y=795.
解得
x=30,y=75.
答：《曾国藩家书》每套 30 元，“凡尔纳三部曲”每套 75 元．
（2） 设学校决定购买《曾国藩家书》 a 套，则购买“凡尔纳三部曲”20−a 套，由题意，得：
30a+7520−a≤960,a≤320−a,
解得
12≤a≤15,∵a
取整数，即 a=12，13，14，15，
∴ 该学校共有四种购买方案：
设总费用为 w，则 w=30a+7520−a=−45a+1500，
∵−45<0，即 w 随 x 增大而减小，
∴ 当 a=15 时，总费用最少，最少费用为 w=825．
23. （1） −1
【解析】当 b=7 时，y=kx+7，
∴4=3k+7，k=−1．
（2） ① ∵AB∥y 轴，
∴∠ABP=∠BCO=∠CBO，
∴OC=OB，
∴△OBC 是等腰三角形．
② ∵AB∥y 轴，
设 A6,t，直线 BC 为 y=kx+b，B6,6k+b，
∵OC=OB，
∴b2=36+6k+b2,4=3k+b,
∴k=−34．
（3） 如图，设点 Mm,0，点 Nx,y，而点 P3,4，
过点 M 作 y 轴的平行线交过点 N 与 x 轴的平行线于点 H，
交过点 P 与 x 轴的平行线于点 G，
∵∠PMN=90∘，
∴∠GMP+∠GPM=90∘，而 ∠GMP+∠NMH=90∘，
∴∠NMH=∠GPM，
而 PM=MN，∠MGP=∠NHM=90∘，
在 △MGP 和 △NHM 中，
∠MGP=∠NHM,∠GPM=∠HMN,PM=MN,
∴△MGP≌△NHMAAS，
∴GP=MH，HN=GM，
即 3−m=−y，x−m=4，解得：x=m+4，y=m−3，
则 y=x−7, ⋯⋯①
即点 N 在直线 y=x−7 上，
如图，设直线 y=x−7 于 y 轴交于点 K，
过点 O 作直线 y=x−7 的对称点 Oʹ，
当点 P，N，Oʹ 三点共线时，PN+ON=PN+ONʹ=POʹ 最小，即 △OPN 周长最小，
由直线 y=x−7 的表达式知，该直线与 x 轴的夹角为 45∘，
则 △OOʹK 为等腰直角三角形，则 KOʹ=KO=7，故点 Oʹ7,−7，
设直线 POʹ 的表达式为：y=kx+b，
则 4=3k+b,−7=7k+b, 解得 k=−114,b=494,
故直线 POʹ 的表达式为：y=−114x+494, ⋯⋯②
联立①②并解得：x=7715,y=−2815,
故点 N 的坐标为 7715,−2815．