2020-2021学年广东省深圳市福田区深圳市高级中学九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市福田区深圳市高级中学九上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是( )
A. B.
C. D.

2. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 1 个白球，现从中任取 2 个球，则取到的是一个红球，一个白球的概率为
A. 14B. 12C. 23D. 34

3. 二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：
x⋯−2−10245⋯y⋯−7−211−7−14⋯
下列说法正确的是
A. 抛物线的开口向上
B. 当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大
C. 二次函数的最大值是 2
D. 抛物线与 x 轴只有一个交点

4. 关于 x 的方程 m−1x2−4x+1=0 有两个实数根，则 m 的取值范围
A. m≤5B. m<5
C. m≤5 且 m≠1D. m<5 且 m≠1

5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，CD 边上的点，连接 BE，AF，它们相交于点 G，延长 BE 交 CD 的延长线于点 H，下列结论错误的是
A. AEED=BEEHB. EHEB=DHCDC. EGBG=AEBCD. AGFG=BGGH

6. 小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆 PA 的高度与拉绳 PB 的长度相等，小明先将 PB 拉到 PBʹ 的位置，测得 ∠PBʹC=α （ BʹC 为水平线），测角仪 BʹD 的高度为 1 米，则旗杆 PA 的高度为

A. 11+sinα 米B. 11+csα 米C. 11−sinα 米D. 11−csα 米

7. 下列说法不能判断是正方形的是
A. 对角线互相垂直的矩形
B. 对角线相等的菱形
C. 对角线互相垂直平分的四边形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形

8. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+c 和反比例函数 y=bx 在同一平面直角坐标系中的图象大致是
A. B.
C. D.

9. 如图，矩形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，连接 BD 交 AF 于 H，AD=52，且 tan∠EFC=24，那么 AH 的长为
A. 1063B. 52C. 10D. 5

10. 如图，在矩形 ABCD 中，把矩形 ABCD 绕点 C 旋转，得到矩形 FECG．且点 E 落在 AD 上，连接 BE，BG，BC 交 CE 于点 H，连接 FH，若 FH 平分 ∠EFG．则下列结论：① AE+CH=EH；② ∠DEC=2∠ABE；③ BH=HG；④ CH=2AE．其中正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 如果 x2=y3=z4，且 x+y+z=5，那么 x+y−z= ．

12. 如图，晚上小红由路灯 A 走向路灯 B，当她走到点 P 时，发现她的影子顶部正好接触到路灯 B 的底部，此时她距离路灯 A 20 m，距离路灯 B 5 m．如果小红的身高为 1.2 m，那么路灯 A 的高度是 ．

13. 如图，在边长为 1 的 3×5 正方形网格中，点 A，B，C，D 都在格点上，则 tan∠1 是 ．

14. 如图，在矩形 ABCD 中，BC=6，AB=2，Rt△BEF 的顶点 E 在边 CD 或延长线上运动，且 ∠BEF=90∘，EF=13BE，DF=10，则 BE= ．

15. 如图，已知直线 y=−2x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与双曲线 y=kxx>0 交于 C，D 两点，且 ∠AOC=∠ADO，则 k 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 计算：−12−2+π−30+1−2+tan45∘．

17. 我校组织了主题为“抗击新冠疫情”的绘画作品征集活动，现将收到的作品按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次收到的作品的总件数是 ．
（2）把图 2 条形统计图补充完整．
（3）如果被评为A级的作品中有 4 件被评为了最佳作品，其中有 1 件是来自初三年级的．现在学校打算从这四件最佳作品中随机选择两件进行推送，请用列表或画树状图的方法求出推送的两件最佳作品中有 1 件是来自初三年级的概率．

18. 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路过 A，B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点 C，经测量，C 位于 A 的北偏东 60∘ 的方向上，C 位于 B 的北偏东 30∘ 的方向上，且 AB=10 km．
（1）求景点 B 与 C 的距离．
（2）为了方便游客到景点 C 游玩，景区管委会准备由景点 C 向公路 l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）

19. 如图，直线 AD 与 x 轴交于点 C，与双曲线 y=8x 交于点 A，AB⊥x 轴于点 B4,0，点 D 的坐标为 0,−2．
（1）求直线 AD 的解析式．
（2）若 x 轴上存在点 M（不与点 C 重合），使得 △AOC 和 △AOM 相似，求点 M 的坐标．

20. 某超市销售一种饮料，每瓶进价为 9 元，经市场调查表明，当售价在 10 元到 15 元之间（含 10 元，15 元）浮动时，日均销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式．
（2）如果规定该种饮料日均的销售量不低于 400 瓶，当销售单价为多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润 = 每瓶售价 − 每瓶进价）最大，最大日均毛利润是多少?
（3）老板决定从该种饮料所得的日均毛利润中提取 50 元，作为销售员小王当天的额外奖励，且又保证提取后日均毛利润不低于 1050 元，试确定该种饮料销售单价的范围．

21. 如图 1，Rt△ABC 中，点 D，E 分别为直角边 AC，BC 上的点，若满足 AD2+BE2=DE2，则称 DE 为 Rt△ABC 的“完美分割线”．显然，当 DE 为 △ABC 的中位线时，DE 是 △ABC 的一条完美分割线．
（1）如图 1，AB=10，csA=45，AD=3，若 DE 为完美分割线，则 BE 的长是 ．
（2）如图 2，对 AC 边上的点 D，在 Rt△ABC 中的斜边 AB 上取点 P，使得 DP=DA，过点 P 画 PE⊥PD 交 BC 于点 E，连接 DE，求证：DE 是直角 △ABC 的完美分割线．
（3）如图 3，在 Rt△ABC 中，AC=10，BC=5，DE 是其完美分割线，点 P 是斜边 AB 的中点，连接 PD，PE，求 cs∠PDE 的值．

22. 在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为 2,4，抛物线 y=−2x2+bx+c 经过 A，C 两点，与 x 轴的另一个交点为点 D．
（1）如图 1，求抛物线的函数表达式．
（2）如图 2，连接 AC，AD，将 △ABC 沿 AC 折叠后与 AD，y 轴分别交于点 E，G，求 OG 的长度．
（3）如图 3，将抛物线在 AC 上方的图象沿 AC 折叠后与 y 轴交于点 F，求点 F 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2．
【解析】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，如图所示：．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
2. C【解析】画树状图为：
共有 6 种等可能的结果数，其中取到的是一个红球，一个白球的结果数为 4，
所以取到的是一个红球，一个白球的概率 =46=23．
故选C．
3. C【解析】A选项：设抛物线表达式为 y=ax2+bx+c，
代入 −1,−2，0,1，2,1，得
−2=a−b+c,1=c,1=4a+2b+c 得 a=−1,b=2,c=1,
∴y=−x2+2x+1，
∵a=−1<0，开口向下，故A错；
B选项：对称轴 x=b−2a=1，
当 x>1 时，y 随 x 增大而减小，
故B错；
C选项：当 x=1 时，y=2，
∴ 函数最大值为 2，故C对；
D选项：Δ=b2−4ac=4−4×−1×1=8>0，
与 x 轴有两个交点，故D错．
4. C【解析】方程有两个实数根，
则 Δ=−42−4m−1≥0，
16−4m+4≥0，
4m≤20，
m≤5，
又 ∵m−1≠0，
∴m≤5 且 m≠1．
5. C
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，EHEB=DHCD，
∴AEED=BEEH，AGFG=BGGH，
∴ 选项A，B，D正确，C错误．
6. C【解析】设旗杆 PA 的高度为 x 米，则 PBʹ=x 米，
在 Rt△PBʹC 中，sinα=PCPBʹ，则 x−1=x⋅sinα，
解得，x=11−sinα．
7. C【解析】A选项：对角线互相垂直的矩形可得是正方形，故选项不符合题意；
B选项：对角线相等的菱形可得是正方形，故选项不符合题意；
C选项：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项符合题意；
D选项：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意．
8. D【解析】∵ 二次函数 y=ax2+b+c 的图象开口向下，
∴a<0，
∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点，
∴c=0，
∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴在 y 轴左侧，
∴a，b 同号，
∴b<0，
∴ 一次函数 y=ax+c，图象经过第二，四象限，
反比例函数 y=bx 图象分布在第二、四象限．
9. D【解析】因为 E 为 CD 的中点，
所以 CE=DE，
在矩形 ABCD 中，AD∥BC，
所以 ∠DAE=∠CFE，
在 △ADE 和 △CFE 中，
∠DAE=∠CFE,∠AED=∠FEC,CE=DE,
所以 △ADE≌△CFEAAS，
所以 CF=AD=52，
所以 BF=BC+CF=AD+CF=52+52=102，
因为 tan∠EFC=24，
所以 AB=102×24=5，
在 Rt△ABF 中，AF=AB2+BF2=52+1022=15，
因为 AD∥BC，
所以 △ADH∽△FBH，
所以 AHFH=ADBF=52102=12，
所以 AH=11+2AF=13×15=5．
10. C
【解析】如图，作 BM⊥BC 于 M．
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠MEB，
∵∠A=∠BME=90∘，BE=BE，
∴△BEA≌△BEMAAS，
∴AE=EM，AB=BM．
∵∠BMH=∠GCH=90∘，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，
∴△BMH≌△GCHAAS，
∴MH=CH，BH=HG，
∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③正确，
∵∠AEB+∠ABE=90∘，
∴2∠AEB+2∠ABE=180∘，
∵∠DEC+∠AEC=180∘，∠AEC=2∠AEB，
∴∠DEC+2∠AEB=180∘，
∴∠DEC=2∠ABE，故②正确，
∵FH 平分 ∠EFG，
∴∠EFH=45∘，
∵∠FEH=90∘，
∴AB=EF=EH，
∵EH>HM=CH，
∴CH第二部分
11. 59
【解析】令 x2=y3=z4=k，
则 x+y+z=2k+3k+4k=9k=5，
∴x+y−z=k=59．
12. 6 m
【解析】如图，
根据题意，得 CP=1.2 m，AP=20 m，BP=5 m，
则 AB=AP+BP=20+5=25m，
由中心成影性质可知 △BAD∼△BPC，
∴PCAD=PBAB，
∴1.2AD=525，
∴AD=6 m，
∴ 路灯 A 的高度是 6 m．
13. 1
【解析】如图，取格点 E，连接 DE，BE，
则 DE∥AC，
∴∠1=∠BDE，
∵BE2=DE2=12+22=5，BD2=12+32=10，
∴BE2+DE2=BD2，
∴△BDE 是直角三角形，∠BDE=∠DBE=45∘，
则 tan∠1=tan∠BDE=1．
故答案为：1．
14. 35
【解析】①当 E 在 CD 上时，过 F 作 FP⊥CD 交 CD 延长线于 P，
∵ ∠CBE+∠BEC=90∘，∠BEC+∠FEP=90∘，
∴ ∠CBE=∠FEP，
又 ∵ ∠BCE=∠FPE=90∘，
∴ △BCE∽△EPF，
∴ BCEP=CEPF=BEEF=3，
∴ EP=13BC=2，
设 CE=x，则 PF=13x，
∴ DE=CD−CE=2−x，
∴ PD=EP−DE=x，
在 Rt△PDF 中，PD2+PF2=DF2，
∴ x2+19x2=10，
解得 x=3，
∴ CE=3，
又 ∵ CD=2 ∴ 不成立．
②当 E 在 CD 延长线上时，过点 F 作 FQ⊥CD，
交 CD 延长线于 Q，
∵ ∠CBE+∠BEC=90∘，∠BEC+∠FEQ=90∘，
∴ ∠CBE=∠FEQ，
又 ∵ ∠BCE=∠EQF=90∘，
∴ △BCE∽△EQF，
∴ BCEQ=BEEF=CEQF=3，
∴ EQ=2，
设 CE=x，则 QF=13x，
∴ DE=CE−CD=x−2，
∴ DQ=DE+EQ=x，
在 Rt△FDQ 中，DQ2+FQ2=DF2，
∴ x2+13x2=10，
解得 x=3，
∴ CE=3，
∴ BE=BC2+CE2=36+9=35．
综上，BE=35．
15. 85
【解析】由已知得 OA=2，OB=4，
根据勾股定理得出，AB=25，
如图，过点 C 作 CE⊥x 轴于 E，作 CG⊥y 轴 G，过点 D 作 DH⊥x 轴于 H，作 DF⊥y 轴于 F，连接 GH，GD，CH，
∵ 点 C，D 是反比例图象上的点，
∴S矩形FDHO=S矩形GCEO，
∴12S矩形FDHO=12S矩形GOEC，
∴S△DGH=S△GHC，
∴ 点 C，D 到 GH 的距离相等，
∴CD∥GH，
∴ 四边形 BDHG 和四边形 GHAC 都是平行四边形．
∴BD=GH，GH=CA．
即 BD=AC；
设 AC=BD=m，
∵∠AOC=∠ADO，∠CAO=∠DAO，
∴△AOC∽△ADO，
∴AOAC=ADAO，
∴AO2=AC⋅AD，
∴22=m25−m，
∴m=5±1（舍去 5+1），
过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，
∴△ACE∽△ABO，
∴AEAO=CEOB=ACAB，
∴AE2=CE2=5−125，
∴AE=5−15，CE=25−15，
∴OE=OA−AE=2−5−15=5+15，
∴CE⋅OE=5+15×25−15=85．
第三部分
16. −12−2+π−30+1−2+tan45∘=4+1+2−1+1=2+5.
17. （1） 60
【解析】由图 1，图 2 可知：B级有 21 件，占比为 35%，
∴ 总件数为 21÷35%=60．
（2） C的件数为：60−9−21−9=21（件）．
条形图如下图．
（3） 设这 4 件作品分别为A，B，C，D，
其中初三年级的作品为A，则树状图为：
则含有A的共有 6 种，
一共有 12 种可能，
∴P=612=12，
即有一件来自初三年级的概率为 12．
18. （1） 由题意得 ∠CAB=30∘，∠ABC=90∘+30∘=120∘，
∴∠C=180∘−∠CAB−∠ABC=30∘，
∴∠CAB=∠C=30∘，
∴BC=AB=10 km，
即景点 B，C 相距的路程为 10 km．
（2） 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
∵BC=10 km，C 位于 B 的北偏东 30∘ 的方向上，
∴∠CBE=60∘，
在 Rt△CBE 中，CE=32BC=53 km．
19. （1） 把 x=4 代入 y=8x 得到 y=2，
∴A4,2，
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，
则有 4k+b=2,b=−2, 解得 k=1,b=−2,
∴ 直线 AD 的解析式为 y=x−2．
（2） 对于直线 y=x−2，令 y=0，得到 x=2，
∴C2,0，
∴OC=2，
∵A4,2，
∴OA=42+22=25，
在 △AOC 中，∠ACO 是钝角，
若 M 在 x 轴的负半轴上时，∠AOM>∠ACO，
因此两三角形不可能相似，
∴ 点 M 只能在 x 轴的正半轴上，
设 OM=m，
∵M 与 C 不重合，
∴△AOC∽△AOM 不合题意舍弃，
∴ 当 AOMO=OCOA，即 25m=225 时，△AOC∽△MOA，
解得 m=10，
∴ 点 M 的坐标为 10,0．
20. （1） 设 y=kx+b，
把 10,560 和 15,160 代入得：
10k+b=560,15k+b=160,
解得：
k=−80,b=1360,
则 y=−80x+136010≤x≤15．
（2） 设毛利润为 w 元，则
w=−80x+1360x−9=−80x2+2080x−12240=−80x−132+1280,
∵ 规定该种饮料日均的销售量不低于 400 瓶，
∴−80x+1360≥400，
解得：x≤12，
∵10≤x≤15，
∴10≤x≤12，
∵−80<0，
∴ 当 10≤x≤12 时，w 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=12 时，w 取得最大值，最大值为 1200，
答：应将售价定为每瓶 12 元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为 1200 元．
（3） 由题意得：
−80x−132+1280=1050+50.
解得：
x1=14.5,x2=11.5.∴11.5≤x≤14.5
，
答：确定该种饮料销售单价的范围是：11.5≤x≤14.5．
21. （1） 133
【解析】∵∠C=90∘，AB=10，csA=ACAB=45，
∴AC=AB⋅csA=10×45=8，
∴BC=AB2−AC2=102−82=6，
∴ 设 BE=x，则 CE=6−x，
∵AD=3，AC=8，
∴DC=8−3=5，
∴ 在 Rt△DCE 中，DE2=DC2+CE2=52+6−x2，
∵DE 为 △ABC 的“完美分割线”，
∴DE2=AD2+BE2=32+x2，
∴32+x2=52+6−x2，
∴x=133，
∴BE=133．
（2） ∵DA=DP，
∴∠DAP=∠DPA，
∵PE⊥PD，∠DPA+∠EPB=90∘，
又 ∠A+∠B=90∘，
∴∠EPB=∠B，
∴EP=EB，
∴AD2+BE2=DP2+EP2=DE2，
∴DE 是直角 △ABC 的完美分割线．
（3） 延长 DP 至点 F，使得 PF=DP，连接 BF，PF，EF，
∵AP=BP，∠APD=∠BPF，
∴△APD≌△BPF，
∴AD=BF，∠A=∠FBP，
∴∠EBF=∠CBA+∠FBP=∠CBA+∠A=90∘，
∵DE 是完美分割线，
∴DE2=AD2+BE2=BF2+BE2=EF2，
即 ED=EF，
又 PD=PF，
∴∠EPD=90∘．
法一：
∴ 点 C，D，P，E 出现在以 DE 为直径的圆上，
连接 CP，则 ∠EDP=∠PCE=∠PBC，
∴cs∠PDE=csB=55．
【解析】法二：过点 P 作 PM⊥AC，PN⊥BC，
则 ∠MPD=∠NPE=90∘−∠MPE，
∴△MPD∽△NPE，
∴PDPE=PMPN=12，
∴cs∠PDE=55．
22. （1） 如图 1，
∵ 四边形 OABC 是矩形，B2,4，
∴A0,4，C2,0，
∵ 抛物线 y=−2x2+bx+c 经过 A，C 两点，
∴c=4,−8+2b+c=0,
∴b=2,c=4,
∴ 抛物线得函数表达式为：y=−2x2+2x+4．
（2） 如图 2，
由题意得：△ABC≌△ABʹC，
∴∠BCA=∠BʹCA，
∵AO∥BC，
∴∠BCA=∠OAC，
∴∠BʹCA=∠OAC，
∴AG=CG，
设 OG=x，则 AG=CG=4−x，
在 Rt△OGC 中，22+x2=4−x2，
得 x=32，
∴OG=32．
（3） 如图 3，
在 AC 上方的抛物线图象取点 F 的对称点 Fʹ，
过点 Fʹ 作 y 轴的平行线交直线 AC 于点 G，
由题意得：∠FAC=∠FʹAC，FʹA=FA，
∵AO∥FʹG，
∴∠FAC=∠AGFʹ，
∵∠FAC=∠FʹAC，∠FAC=∠AGFʹ，
∴∠FʹAC=∠AGFʹ，
∴FʹA=FʹG．
易得直线 AC 的解析式为 y=−2x+4，
设点 Fn,−2n2+2n+4，则 Gn,−2n+4，
∴FʹG=−2n2+4n，FʹA2=n2+−2n2+2n2，
∵FʹA=FʹG，
∴FʹA2=FʹG2，
即：n2+−2n2+2n2=−2n2+4n2，
解得：n1=0（舍去），n2=118，
∴FG=5532，
∴FʹA=FʹG=FA=5532，
∴F0,7332．