2022版高考数学大一轮复习作业本70《参数方程》(含答案详解)

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在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数，α∈[0，π)).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρcs2θ=4sin θ.
(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；
(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值.
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝m＋t))(t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=eq \f(3,3－2cs2θ)(0≤θ≤π).
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2eq \r(2)，求m的值.
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2csθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，
直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝2＋tsinα))(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t，))曲线C2的极坐标方程为：
ρ=2eq \r(2)cs (θ－eq \f(π,4))，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
在平面直角坐标系xOy中，C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1.))(t为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33=0.
(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值.
已知动点P，Q都在曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝2sin t))(t为参数)上，对应参数分别为t=α与t=2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))，曲线C的极坐标方程为ρ=5，直线l过点P且与曲线C相交于A，B两点.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若|AB|=8，求直线l的直角坐标方程.
在极坐标系中，已知三点O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 \r(2)，\f(π,4))).
(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；
(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
圆C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋acs θ，,y＝－1＋asin θ.))(θ是参数).
若圆C1与圆C2外切，求实数a的值.
\s 0 参考答案
解：(1)将曲线C的极坐标方程ρcs2θ=4sin θ化为直角坐标方程，得x2=4y.
∵M(x，y)为曲线C上任意一点，
∴x＋y=x＋eq \f(1,4)x2=eq \f(1,4)(x＋2)2－1，
∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞).
(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝1＋tsin α))代入x2=4y，
得t2cs2 α－4tsin α－4=0.
∴Δ=16sin2α＋16cs2α=16>0，
设方程t2cs2α－4tsin α－4=0的两个根为t1，t2，
则t1＋t2=eq \f(4sin α,cs2α)，t1t2=eq \f(－4,cs2α)，
∴|AB|=|t1－t2|=eq \r(t1＋t22－4t1t2)=eq \f(4,cs2α)≥4，当且仅当α=0时，取等号.
故当α=0时，|AB|取得最小值4.
解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m=0.
由曲线C2的极坐标方程得
3ρ2－2ρ2cs2θ=3，θ∈[0，π]，
∴曲线C2的直角坐标方程为eq \f(x2,3)＋y2=1(0≤y≤1).
(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为
(eq \r(3)cs α，sin α)，α∈[0，π]，
则点P到曲线C1的距离d=eq \f(|\r(3)cs α－sin α＋m|,\r(2))=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋m)),\r(2)).
∵α∈[0，π]，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)))，2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))∈[－2，eq \r(3)]，
由点P到曲线C1的最小距离为2eq \r(2)得，
若m＋eq \r(3)<0，则m＋eq \r(3)=－4，即m=－4－eq \r(3).
若m－2>0，则m－2=4，即m=6.
若m－2<0，m＋eq \r(3)>0，
当|m＋eq \r(3)|≥|m－2|，即m≥eq \f(2－\r(3),2)时，
－m＋2=4，即m=－2，不合题意，舍去；
当|m＋eq \r(3)|<|m－2|，即mm＋eq \r(3)=4，即m=4－eq \r(3)，不合题意，舍去.
综上，m=－4－eq \r(3)或m=6.
解：(1)曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)=1.
当csα≠0时，l的直角坐标方程为
y=tanα·x＋2－tanα，
当csα=0时，l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程(1＋3cs2α)t2＋4(2csα＋sinα)t－8=0. ①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，
设为t1，t2，则t1＋t2=0.
又由①得t1＋t2=－eq \f(42csα＋sinα,1＋3cs2α)，
故2csα＋sinα=0，于是直线l的斜率k=tanα=－2.
解：(1)ρ=2eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))=2(cs θ＋sin θ)，
即ρ2=2(ρcs θ＋ρsin θ)，
可得x2＋y2－2x－2y=0，
故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2=2.
(2)C1的普通方程为x＋eq \r(3)y＋2=0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，
以eq \r(2)为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d=eq \f(|1＋\r(3)＋2|,\r(12＋\r(3)2))=eq \f(3＋\r(3),2)，
所以动点M到曲线C1的距离的最大值为eq \f(3＋\r(3)＋2 \r(2),2).
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1，))可得其普通方程为y=k(x－1)，
它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线.
由ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33=0可得其直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33=0，
整理得(x＋5)2＋(y－3)2=1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆.
(2)因为圆心(－5,3)到直线y=k(x－1)的距离d=eq \f(|－6k－3|,\r(1＋k2))=eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))，
故|PQ|的最小值为eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1，
故eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1=2，得3k2＋4k=0，解得k=0或k=－eq \f(4,3).
解：(1)依题意有P(2cs α，2sin α)，Q(2cs 2α，2sin 2α)，
因此M(cs α＋cs 2α，sin α＋sin 2α).
M的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α＋cs 2α，,y＝sin α＋sin 2α，))(α为参数，0＜α＜2π).
(2)点M到坐标原点的距离d=eq \r(x2＋y2)=eq \r(2＋2cs α)(0＜α＜2π).
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点.
解：(1)由ρ=5知ρ2=25，所以x2＋y2=25，
即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2=25.
(2)设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3＋tcs α，,y＝－\f(3,2)＋tsin α，))(t为参数)①
将参数方程①代入圆的方程x2＋y2=25，
得4t2－12(2cs α＋sin α)t－55=0，
∴Δ=16[9(2cs α＋sin α)2＋55]>0，
上述方程有两个相异的实数根，设为t1，t2，
∴|AB|=|t1－t2|=eq \r(92cs α＋sin α2＋55)=8，
化简有3cs2 α＋4sin αcs α=0，
解得cs α=0或tan α=－eq \f(3,4)，
从而可得直线l的直角坐标方程为x＋3=0或3x＋4y＋15=0.
解：(1)O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))
对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，
则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y=0，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))
代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ=2eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).
(2)圆C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋acs θ，,y＝－1＋asin θ，))(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2=a2，
圆心为(－1，－1)，半径为|a|，
而圆C1的圆心为(1,1)，半径为eq \r(2)，
所以当圆C1与圆C2外切时，
有eq \r(2)＋|a|=eq \r(－1－12＋－1－12)，解得a=±eq \r(2).