2022版高考数学大一轮复习课时作业72《参数方程》(含答案详解)

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圆M的参数方程为x2＋y2－4Rxcs α－4Rysin α＋3R2=0(R＞0)．
(1)求该圆的圆心坐标以及半径；
(2)当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹．
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ=4cs θ－6sin θ，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋tcs θ，,y＝tsin θ))(t为参数)．
(1)写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；
(2)若直线l与圆C交于不同的两点P，Q，且|PQ|=4，求直线l的斜率．
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4=0，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝t))(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ＜2π.
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs θ，,y＝－\r(3)＋2sin θ))(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=eq \r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
已知P为半圆C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝sinθ))(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为eq \f(π,3).
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程.
在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2csθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，
直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝2＋tsinα))(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\r(2)t，,y＝\r(2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=eq \f(4,1＋sin2θ)，
且直线l经过曲线C的左焦点F.
(1)求直线l的普通方程；
(2)设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值.
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同.已知圆C1的极坐标方程为ρ=4(csθ＋sinθ)，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足|OQ|=eq \f(1,2)|OP|，点Q的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程.
(2)已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcsφ，,y＝tsinφ))(t为参数，0≤φ<π)，l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值.
\s 0 答案详解
解：(1)依题意，得圆M的方程为
(x－2Rcs α)2＋(y－2Rsin α)2=R2，
故圆心坐标为M(2Rcs α，2Rsin α)，半径为R.
(2)当α变化时，圆心M的轨迹方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2Rcs α，,y＝2Rsin α))(其中α为参数)，
两式平方相加，得x2＋y2=4R2.
所以，圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R的圆．
解：
(1)由ρ=4cs θ－6sin θ，得ρ2=4ρcs θ－6ρsin θ，
将ρ2=x2＋y2，ρcs θ=x，ρsin θ=y代入，可得x2＋y2－4x＋6y=0，
即(x－2)2＋(y＋3)2=13，所以圆心的坐标为(2，－3)，半径为eq \r(13).
(2)由直线l的参数方程知直线l过定点(4,0)，且由题意知，直线l的斜率一定存在．
设直线l的方程为y=k(x－4)．
因为|PQ|=4，所以eq \f(|2k＋3－4k|,\r(k2＋1))=3，解得k=0或k=－eq \f(12,5).
所以直线l的斜率为0或－eq \f(12,5).
解：
(1)依题意，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入x2＋y2＋2x－4=0，可得ρ2＋2ρcs θ－4=0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝t，))得y2=x，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入上式化简得ρsin2 θ=cs θ，
故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcs θ－4=0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2 θ=cs θ.
(2)将y2=x代入x2＋y2＋2x－4=0，得x2＋3x－4=0，解得x=1或x=－4(舍去)，
当x=1时，y=±1，即C1与C2交点的直角坐标为A(1,1)，B(1，－1)．
∵ρA=eq \r(2)，ρB=eq \r(2)，tan θA=1，tan θB=－1，ρ≥0,0≤θ＜2π，
∴θA=eq \f(π,4)，θB=eq \f(7π,4)，
故曲线C1与C2交点的极坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(7π,4))).
解：
(1)M，N的直角坐标分别为(2,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))，于是点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
所以直线OP的直角坐标方程为y=eq \f(\r(3),3)x，即x－eq \r(3)y=0.
(2)直线l的方程为x＋eq \r(3)y－2=0，
圆C的方程为(x－2)2＋(y＋eq \r(3))2=4，
圆心C(2，－eq \r(3))到l的距离d=eq \f(3,2)＜2，
所以直线l与圆C相交．
解：
(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2=1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs t，,y＝sin t))(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cs t，sin t)．
由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t=eq \r(3)，t=eq \f(π,3).
故D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs \f(π,3)，sin \f(π,3)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).
解：(1)由已知，点M的极角为eq \f(π,3)，
且点M的极径等于eq \f(π,3)，
故点M的极坐标为（-eq \f(π,3)，eq \f(π,3)）.
(2)由(1)知点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0).
故直线AM的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t为参数).
解：(1)直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcsα，,y＝1＋tsinα))(t为参数).
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2=2y.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4csα)t＋3=0，
由Δ=(4csα)2－4×3>0，得cs2α>eq \f(3,4)，
由根与系数的关系，得t1＋t2=－4csα，t1·t2=3，
由参数的几何意义知，|AP|=|t1|，
|AQ|=|t2|，|PQ|=|t1－t2|，
由题意知，(t1－t2)2=t1·t2，则(t1＋t2)2=5t1·t2，
得(－4csα)2=5×3，
解得cs2α=eq \f(15,16)，满足cs2α>eq \f(3,4)，
所以sin2α=eq \f(1,16)，tan2α=eq \f(1,15)，
所以直线l的斜率k=tanα=±eq \f(\r(15),15).
解：(1)曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)=1.
当csα≠0时，l的直角坐标方程为
y=tanα·x＋2－tanα，
当csα=0时，l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程(1＋3cs2α)t2＋4(2csα＋sinα)t－8=0. ①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，
设为t1，t2，则t1＋t2=0.
又由①得t1＋t2=－eq \f(42csα＋sinα,1＋3cs2α)，
故2csα＋sinα=0，于是直线l的斜率k=tanα=－2.
解：(1)曲线C的极坐标方程为
ρ2=eq \f(4,1＋sin2θ)，即ρ2＋ρ2sin2θ=4，
将ρ2=x2＋y2，ρsinθ=y代入上式并化简得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)=1，
所以曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)=1，
于是c2=a2－b2=2，F(－eq \r(2)，0).
直线l的普通方程为x－y=m，将F(－eq \r(2)，0)代入直线方程得m=－eq \r(2)，
所以直线l的普通方程为x－y＋eq \r(2)=0.
(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2csθ，eq \r(2)sinθ)(0<θ所以椭圆C的内接矩形的周长为：
L=2(4csθ＋2eq \r(2)sinθ)=4eq \r(6)sin(θ＋φ)(其中tanφ=eq \r(2))，
所以椭圆C的内接矩形的周长的最大值为4eq \r(6).
解：(1)设点P，Q的极坐标分别为(ρ0，θ)，(ρ，θ)，
则ρ=eq \f(1,2)ρ0=eq \f(1,2)·4(csθ＋sinθ)=2(csθ＋sinθ)，
点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ=2(csθ＋sinθ)，
两边同乘以ρ，得ρ2=2(ρcsθ＋ρsinθ)，
C2的直角坐标方程为x2＋y2=2x＋2y，
即(x－1)2＋(y－1)2=2.
(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，
得(tcsφ＋1)2＋(tsinφ－1)2=2，
即t2＋2(csφ－sinφ)t=0，t1=0，t2=2sinφ－2csφ，
由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，
得sinφ－csφ=0，
因为0≤φ<π，所以φ=eq \f(π,4).