初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性课时训练

这是一份初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性课时训练，共29页。试卷主要包含了4角的轴对称性等内容，欢迎下载使用。

苏科版数学新八年级暑假预习培优训练
2.4角的轴对称性（二）
一、选择题

1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在




A. 的三条中线的交点处。
B. 的三条中垂线的交点处。
C. 的三条角平分线的交点处。
D. 的三条高所在直线的交点处。
2．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是

是的平分线；；点D在AB的中垂线上；．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．如图，在中BC的垂直平分线EF交的平分线BD于E，若，，那么的大小是






A. B. C. D.
4．如图，已知，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了的平分线他这样做的依据是





A. 在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上都不对

5．如图，已知的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，，，垂足分别为M、N，，，则CM的长度为





A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6．在中，和的平分线交于点I，边AB和AC的垂直平分线交于点O，若，则
A. B.
C. D. 以上答案都不对
二、填空题
1．如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为50和25，则的面积为______





2． 如图，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则的最小值是________







3．如图，中，的平分线和的平分线交于一点，与的平分线交于，继续作与的平分线可得，如此下去可得，，，当时，的度数为          ．

4．如图，中，BC的垂直平分线DP与的角平分线相交于点D，垂足为点P，若，则的度数为_______

5．如图，的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，，，，，则BE的长为          ．





6．如图，OC是的平分线，P是OC上的一点，于D，于E，F是OC上的另一点，连接DF、BF，则图中相等的线段有__________．

三、解答题
1．如图，在中，AF平分，AC的垂直平分线DE交BC于点E，，，求的度数． 
2．如图，在中，射线AM平分．

尺规作图不写作法，保留作图痕迹：作BC的垂直平分线HG，与BC相交于点H，与AM相交于点G；
在条件下，连接BG、CG，和有何数量关系？并证明你的结论．
3．阅读理解：
我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，
“宽臂”的宽度，这个条件很重要哦勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线所以．
下面以三等分为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：
第一步：画直线DE使，且这两条平行线的距离等于PQ；
第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在的BA边上；
第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．
请完成第三步操作，图中的三等分线是射线______、______．
在的条件下补全三等分的主要证明过程：
______，，
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
____________．
，，，
____________．
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
__________________．
在的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中的外部画出无需写画法，保留画图痕迹即可．

4．如图，在中，边BC的垂直平分线交的平分线于点D，过点D作于点F．

若，求的度数；
若，则  _____直接写出结果
直接写出OB，OC，OF之间的数量关系．



5．如图，的外角的平分线交BC边的垂直平分线于P点，于D，于E． 
求证：；
若，，求AD的长．
6．下面是苏科版八年级上册数学教材第54页的部分内容：
     在的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和如图所示与PD相等吗
   
                       图1                                            图2
       我们可以运用图形运动的方法，利用角的轴对称性，证明．
       把图1中的沿OP翻折如图，因为，所以OA与OB重合因为，，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知PC与PD重合，所以．
       于是，我们得到如下定理：
       角平分线上的点到角两边的距离相等．
定理证明请根据证明文字命题的步骤，结合下图，用另一种证法写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程

定理应用如上图，在中，与的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB、AC于点E、F，，，点O到BC的距离为4cm，则的面积为          
拓展应用如上图，的外角和的平分线BP、CP相交于点P，于E且，若的周长为14cm，．，求的面积．























苏科版数学新八年级暑假预习培优训练教师卷
2.4角的轴对称性（二）
一、选择题
1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
A. 的三条中线的交点处。
B. 的三条中垂线的交点处。
C. 的三条角平分线的交点处。
D. 的三条高所在直线的交点处。
答案：C
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内心，到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点．
【解答】
解：由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，
可知是三条角平分线的交点，由此即可确定凉亭位置为三条角平分线的交点．
故选C．
  


2．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是

是的平分线；；点D在AB的中垂线上；．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：D
【解析】
【分析】
本题主要考查了角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出度数是解题关键根据角平分线的作法可得正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得正确．
【解答】
解：是的平分线，说法正确．
，．
．
平分．
．
．
因此正确．
，．
．
点D在AB的中垂线上．
故说法正确．
      ．
．
．
故说法正确．
故选D．  


3．如图，在中BC的垂直平分线EF交的平分线BD于E，若，，那么的大小是
A.
B.
C.
D.
答案：C
【解析】解：是BC的垂直平分线，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
．
，
故选：C．
由EF是BC的垂直平分线，得到，根据等腰三角形的性质得到，由BD是的平分线，得到，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．



4．如图，已知，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了的平分线他这样做的依据是
A. 在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上都不对

答案：A
【解析】
【分析】
本题主要考查角平分线的性质，根据角平分线性质得出BP平分，根据平行线的性质推出，即可得出答案．
【解答】
解：如图，
 
，，
平分，
，
，，
，，
，
即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选A．
  


5．如图，已知的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，，，垂足分别为M、N，，，则CM的长度为
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
答案：C
【解析】
【分析】
本题主要考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定，三角形全等的性质．
连接BP，CP，由AP是的平分线，求得，由PQ是CB的垂直平分线，求得，由HL证得≌，故C，从而证得，据此，便可得到本题答案．
【解答】
解：连接BP，CP，

是的平分线，，，
，，，
≌，
，
是CB的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
≌，
，
，
，，
，
．
故选．  


6．在中，和的平分线交于点I，边AB和AC的垂直平分线交于点O，若，则
A. B.
C. D. 以上答案都不对
答案：B
【解析】分析
根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理即可推出．
本题考查的是角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
详解
解：
如图，连接
和的平分线交于点I，
，，




，
，
．
和AC的垂直平分线交于点O，

，，





．
故选B．

二、填空题
1．如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为50和25，则的面积为______





答案：
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“HL”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，设面积为S，然后根据列出方程求解即可．
【解答】
解：如图，过点D作于H，
是的角平分线，，
，
在和中，
≌，
，设面积为S，
同理≌，
，
即，
解得．
故答案为．  


2． 如图，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则的最小值是________





答案：4
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．
规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．
从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【解答】
解：如图，在AC上截取，连接BE．
的平分线交BC于点D，
，
在与中，，
≌，
．
．
有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，，
又，，此时，为等腰直角三角形，
，
即BE取最小值为4，
的最小值是4．
故答案为：4．  


3．如图，中，的平分线和的平分线交于一点，与的平分线交于，继续作与的平分线可得，如此下去可得，，，当时，的度数为          ．

答案：
【解析】解：中，的平分线和的平分线交于一点，
，，
是的外角，
，
同理可得，，
故答案为：．
依据的平分线和的平分线交于一点，即可得到，，再根据是的外角，即可得到，同理可得．
本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的运用，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．



4．如图，中，BC的垂直平分线DP与的角平分线相交于点D，垂足为点P，若，则的度数为_______

答案：
【解析】
【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质有关知识，首先过点D作于E，于F，易证得≌，即可得，又由，即可求得答案．
【解答】
解：过点D作，交AB延长线于点E，于F，
是的平分线，
，
是BC的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌．
，
，
，
，
，
，
故答案为．  


5．如图，的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，，，，，则BE的长为          ．




答案：
【解析】解：连结CD、BD，如图所示
平分，，，
 ，，
在和中， 
，，
垂直平分BC，
，在和中，
，，
，
，，
， 




6．如图，OC是的平分线，P是OC上的一点，于D，于E，F是OC上的另一点，连接DF、BF，则图中相等的线段有__________．

答案：，，
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“边角边”证明和全等，得到．
【解答】
解：是的平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，
是的平分线，
，
在和中，

≌，
，
图中相等的线段有，，．
故答案为，，．  

三、解答题

1．如图，在中，AF平分，AC的垂直平分线DE交BC于点E，，，求的度数． 
答案：解：是AC的垂直平分线，
，，
，
平分，
．
在中，
，
    ，
．
【解析】本题主要考查角平分线的定义和线段垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的计算．
根据线段垂直平分线的性质可得，，利用角平分线的定义可得，在利用三角形内角和即可求出的度数，从而求出的度数．



2．如图，在中，射线AM平分．

尺规作图不写作法，保留作图痕迹：作BC的垂直平分线HG，与BC相交于点H，与AM相交于点G；
在条件下，连接BG、CG，和有何数量关系？并证明你的结论．
答案：解：如图所示，直线HG为所求；

过点G作交AC的延长线于点F，过点G作交AB于点E，
平分，
，
垂直平分线段BC，
，
，，
和为直角三角形，
在和中，

≌，
，
，
．
【解析】本题考查了用尺规作线段的垂直平分线、直角三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质的知识点，题看起来考查知识点较多，但并不复杂，熟练掌握这些性质是解题的关键．
用尺规基本作图作线段垂直平分线的步骤作BC垂直平分线即可；
先过点G作交AC的延长线于点F，过点G作交AB于点E，再证得和为直角三角形，从而得出，即可解答．



3．阅读理解：
我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，
“宽臂”的宽度，这个条件很重要哦勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线所以．
下面以三等分为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：
第一步：画直线DE使，且这两条平行线的距离等于PQ；
第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在的BA边上；
第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．
请完成第三步操作，图中的三等分线是射线______、______．
在的条件下补全三等分的主要证明过程：
______，，
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
____________．
，，，
____________．
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
__________________．
在的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中的外部画出无需写画法，保留画图痕迹即可．

答案：BP  BQ    ABQ  PBQ  PBQ  PBC  ABQ  PBQ  PBC
【解析】解：的三等分线是射线是BP、BQ；

，，
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
．
，，，
．
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
．
故答案为：，BQ；，ABQ，PBQ，PBQ，ABQ，PBQ，PBC；

在的条件下探究：不成立，
在外部所画如图．
根据图形可知BP、BQ是角的三等分线；
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结合图形填空即可；
根据阅读材料进行判断并作出图形．
本题考查了角平分线的性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，读懂题目信息是解题的关键．



4．如图，在中，边BC的垂直平分线交的平分线于点D，过点D作于点F．

若，求的度数；
若，则  _____直接写出结果
直接写出OB，OC，OF之间的数量关系．
答案：解：过点D作交OB延长线于点E，于F，如图，

是的平分线，
，
是BC的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．

．
【解析】
【分析】
本题考查的是线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定及性质有关知识．
首先过点D作于E，于F，易证，即可得，又，即可解答；
由可求得的度数；
先利用HL证明≌，得到，由易得，再根据线段的和差关系结合等量代换可得结论．
【解答】
解：见答案；
由得，
在四边形EOFD中，，
，
．
故答案为．
由得，，
又，
≌，
，
由得≌，
，
，，
．
，OC，OF之间的数量关系为．  


5．如图，的外角的平分线交BC边的垂直平分线于P点，于D，于E． 
求证：；
若，，求AD的长．
答案：证明：连接BP、CP，
点P在BC的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，

；
解：在和中，
，
≌，
，
，，
，
即，
解得．
【解析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．



6．下面是苏科版八年级上册数学教材第54页的部分内容：
     在的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和如图所示与PD相等吗
   
                       图1                                            图2
       我们可以运用图形运动的方法，利用角的轴对称性，证明．
       把图1中的沿OP翻折如图，因为，所以OA与OB重合因为，，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知PC与PD重合，所以．
       于是，我们得到如下定理：
       角平分线上的点到角两边的距离相等．
定理证明请根据证明文字命题的步骤，结合下图，用另一种证法写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程

定理应用如上图，在中，与的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB、AC于点E、F，，，点O到BC的距离为4cm，则的面积为          
拓展应用如上图，的外角和的平分线BP、CP相交于点P，于E且，若的周长为14cm，．，求的面积．
答案：定理证明
已知：如题图，OC是的平分线，点P是OC上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E．
求证：．
证明：是的平分线，
．
，，
．
在和中，

，
．
定理应用
过点O作于G，于H，
，．
平分，
，
，
，
．
平分，
，
，
．
平分，，，
，
的面积

拓展应用
如图，过点P作于F，于G，连接AP．

和的平分线BP、CP交于P，，
．
．，
解得．
的周长为14cm，
，
，

【解析】略