初中数学人教版九年级上册21.2.1 配方法同步练习题

21．2　解一元二次方程

21.2.1　配方法

第1课时　直接开平方法

1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．

3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±___或mx＋n＝__±___．

知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法

1．方程x2－16＝0的根为( C  )

A．x＝4　　　　　　　　B．x＝16

C．x＝±4  D．x＝±8

2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D  )

A．m＞0  B．m≥0

C．m＜0  D．m≤0

3．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C  )

A．0个  B．1个

C．2个  D．3个

4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±___．

5．解下列方程：

(1)3x2＝27；

解：x1＝3，x2＝－3

(2)2x2＋4＝12；

解：x1＝2，x2＝－2

(3)5x2＋8＝3.

解：没有实数根

知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法

6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D  )

A．x－6＝－4  B．x－6＝4

C．x＋6＝4  D．x＋6＝－4

7．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D  )

A．k＜1  B．k＜－1

C．k≥1  D．k＞1

8．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±2___．

9．解下列方程：

(1)(x－3)2－9＝0；

解：x1＝6，x2＝0

(2)2(x－2)2－6＝0；

解：x1＝2＋，x2＝2－

(3)x2－2x＋1＝2.

解：x1＝1＋，x2＝1－

10．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝__1___．

11．若的值为0，则x＝__2___．

12．由x2＝y2得x＝±y，利用它解方程(3x－4)2＝(4x－3)2，其根为__x＝±1___．

13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的根为__x1＝3，x2＝－7___．

14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C  )

A．x2－3＝0  B．(x－1)2－4＝0

C．x2＋2x＝0  D．(x－1)2＝(2x＋1)2

15．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A  )

A．x1小于－1，x2大于3

B．x1小于－2，x2大于3

C．x1，x2在－1和3之间

D．x1，x2都小于3

16．若(x2＋y2－3)2＝16，则x2＋y2的值为( A  )

A．7  B．7或－1

C．－1  D．19

17．解下列方程：

(1)3(2x＋1)2－27＝0；

解：x1＝1，x2＝－2

(2)(x－)(x＋)＝10；

解：x1＝2，x2＝－2

(3)x2－4x＋4＝(3－2x)2；

解：x1＝1，x2＝

(4)4(2x－1)2＝9(2x＋1)2.

解：x1＝－，x2＝－

18．若2(x2＋3)的值与3(1－x2)的值互为相反数，求的值．

解：由题意得2(x2＋3)＋3(1－x2)＝0，∴x＝±3.当x＝3时，＝；当x＝－3时，＝0

19．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．

(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；

(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

解：(1)ab－4x2　(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝，x2＝－(舍去)，即正方形的边长为

第2课时　配方法

1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．

2．配方法的一般步骤：

(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；

(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；

(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．

知识点1：配方

1．下列二次三项式是完全平方式的是( B  )

A．x2－8x－16　　　　　　　B．x2＋8x＋16

C．x2－4x－16  D．x2＋4x＋16

2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C  )

A．3  B．－3

C．±3  D．以上都不对

3．用适当的数填空：

x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；

m2__±3___m＋＝(m__±___)2.

知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程

4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D  )

A．(x＋2)2＝1  B．(x－2)2＝1

C．(x＋2)2＝9  D．(x－2)2＝9

5．下列配方有错误的是( D  )

A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4

B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1

C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5

D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝124

6．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C  )

A．x1＝x2＝1

B．x1＝1＋，x2＝－1－

C．x1＝1＋，x2＝1－

D．x1＝－1＋，x2＝－1－

7．解下列方程：

(1)x2－4x＋2＝0；

解：x1＝2＋，x2＝2－

(2)x2＋6x－5＝0.

解：x1＝－3＋，x2＝－3－

知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程

8．解方程3x2－9x＋1＝0，两边都除以3得__x2－3x＋＝0___，配方后得__(x－)2＝___．

9．方程3x2－4x－2＝0配方后正确的是( D  )

A．(3x－2)2＝6  B．3(x－2)2＝7

C．3(x－6)2＝7  D．3(x－)2＝

10．解下列方程：

(1)3x2－5x＝－2；

解：x1＝，x2＝1

(2)2x2＋3x＝－1.

解：x1＝－1，x2＝－

11．对于任意实数x，多项式x2－4x＋5的值一定是( B  )

A．非负数  B．正数

C．负数  D．无法确定

12．方程3x2＋x＝6，左边配方得到的方程是( B  )

A．(x＋)2＝－  B．(x＋)2＝

C．(x＋)2＝  D．(x＋)2＝6

13．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( B  )

A．(x－p)2＝5  B．(x－p)2＝9

C．(x－p＋2)2＝9  D．(x－p＋2)2＝5

14．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．

15．当x＝__2___时，式子200－(x－2)2有最大值，最大值为__200___；当y＝__－1___时，式子y2＋2y＋5有最__小___值为__4___．

16．用配方法解方程：

(1)x2＝2－x；

解：x1＝，x2＝－2

(2)3y2＋1＝2y.

解：y1＝y2＝

17．把方程x2－3x＋p＝0配方得到(x＋m)2＝，求常数m与p的值．

解：m＝－，p＝

18．试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程．

解：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0，∴无论a取何值，该方程都是一元二次方程

19．选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2＋(2－4)x，或x2－4x＋2＝(x＋)2－(4＋2)x；③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2－x2.根据上述材料，解决下列问题：

(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方；

(2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值．

解：(1)x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4＝(x－4)2－12；x2－8x＋4＝(x－2)2＋4x－8x＝(x－2)2－4x　(2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，(x2＋xy＋y2)＋(y2－3y＋3)＝0，(x＋y)2＋(y－2)2＝0，又∵(x＋y)2≥0，(y－2)2≥0，∴x＋y＝0，y－2＝0，∴x＝－1，y＝2，则xy＝(－1)2＝1