西师大版四年级下册平行四边形单元测试课时训练

第十八章 平行四边形 单元测试卷

一、选择题(每题3分,共30分)

1.直角三角形中,两直角边长分别是12和5,则斜边上的中线长是(　　)

A.34 B.26 C.8.5   D.6.5

2.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=4,则AC的长是(　　)

A.4 B.8 C.4   D.8

3.一个菱形的周长为8 cm,高为1 cm,这个菱形相邻两角的度数之比为(　　)

A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1

4.下列命题错误的是(　　)

A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 

B.平行四边形的对角线互相平分

C.矩形的对角线相等 

D.对角线相等的四边形是矩形

5.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是(　　)

A.矩形             B.菱形

C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形

6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过O的直线EF分别交AB,CD于点E,F,若图中阴影部分的面积为6,则矩形ABCD的面积为(　　)

A.12 B.18 C.24 D.30

7.平行四边形ABCD的对角线交于点O,有五个条件:①AC=BD,②∠ABC=90°,③AB=AC,④AB=BC,⑤AC⊥BD,则下列哪个组合可判定这个四边形是正方形(　　)

A.①② B.①③ C.①④ D.④⑤

8.如图,已知E是菱形ABCD的边BC上一点,且∠DAE=∠B=80°,那么∠CDE的度数为(　　)

A.20° B.25° C.30° D.35°

9.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为(　　)

A.1 B. C.4-2  D.3 -4

10.如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上的M点处,延长BC,EF交于点N.有下列四个结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中,将正确结论的序号全部选对的是(　　)

A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④

二、填空题(每题3分,共30分)

11.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,请添加一个条件__________,使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可).

12.如图,在周长为20的平行四边形ABCD中,AB<AD,AC与BD交于点O,OE⊥BD,交AD于点E,则△ABE的周长为__________.

13.如图,已知AB=BC=CD=AD,∠DAC=30°,那么∠B=__________.

14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,DE⊥AC于E,∠EDC∶∠EDA=1∶2,且AC=10,则EC的长度是__________.

15.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为__________.

16.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上的点C'处,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为__________.

17.正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点,点E是正方形边上的一点,若△PBE是等腰三角形,则腰长为__________. 

18.已知:如图,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.E,F分别是边AD,DC上的点,若AE=4 cm,CF=3 cm,且OE⊥OF,则EF的长为____cm.

19.菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,其中点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,),动点P从点A出发,沿A→B→C→D→A→B→……的路径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动,移动到第2 016秒时,点P的坐标为　　　　.

20.如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为　　　　.

三、解答题(21题8分,26题12分,其余每题10分,共60分)

21.如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥AB交BA的延长线于E,DF⊥BC交BC的延长线于F.

求证:DE=DF.

22.如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别为DC,BC的中点.

(1)求证:△ADE≌△ABF;

(2)求△AEF的面积.

23.如图,▱ABCD中,点E,F在直线AC上(点E在F左侧),BE∥DF.

(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;

(2)若AB⊥AC,AB=4,BC=2,当四边形BEDF为矩形时,求线段AE的长.

24.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,连接EF,交AC于点O,连接AE,CF.若沿EF折叠矩形ABCD,则点A与点C重合.

(1)求证:四边形AECF为菱形;

(2)若AB=4, BC=8,求菱形AECF的边长;

(3)在(2)的条件下求EF的长.

25.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,现按如下步骤作图:

①分别以A,C为圆心,a为半径(a>AC)作弧,两弧分别交于M,N两点;

②过M,N两点作直线MN交AB于点D,交AC于点E;

③将△ADE绕点E顺时针旋转180°,设点D的对应点为点F.

(1)请在图中直接标出点F并连接CF;

(2)求证:四边形BCFD是平行四边形;

(3)当∠B为多少度时,四边形BCFD是菱形?

26.如图①所示,在正方形ABCD和正方形CGEF中,点B,C,G在同一条直线上,M是线段AE的中点,DM的延长线交EF于点N,连接FM.易证:DM=FM,DM⊥FM.(无需写证明过程)

(1)如图②,当点B,C,F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件不变,试探究线段DM与FM有怎样的关系.请写出猜想,并给予证明.

(2)如图③,当点E,B,C在同一条直线上,DM的延长线交CE的延长线于点N,其余条件不变,探究线段DM与FM有怎样的关系.请直接写出猜想.

参考答案

一、1.【答案】D　2.【答案】B　3.【答案】C　4.【答案】D

5.【答案】D　

解：运用三角形的中位线定理和矩形的性质解答.

6.【答案】C　

解：本题用割补法解答,根据题意易知△COF的面积与△AOE的面积相等,阴影部分的面积为矩形面积的四分之一.

7.【答案】C　 8.【答案】C

9.【答案】C　

解：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°,再求出∠DAE的度数.根据三角形的内角和定理求∠AED,从而得到∠DAE=∠AED,再根据等角对等边得到AD=DE,然后求出正方形的对角线BD,再求出BE,最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的计算即可得解.

10.【答案】B　

解：由题意得△DEF≌△MEF,∴DF=MF,∠DEF=∠FEM,∠FME=∠D=90°.∵∠FCB=90°,BF平分∠EBC,∴MF=CF,∴DF=CF,故①正确;∵AD∥BC,∴∠DEF=∠N.∵∠DEF=∠FEM,∴∠FEM=∠N,∴BE=BN.∵BF平分∠EBC,∴BF⊥EN,故②正确;连接EC,∵DE=AE,∠D=∠A=90°,DC=AB,∴△DCE≌△ABE,∴BE=EC,而EN>EC,∴EN>BE,∴△BEN不是等边三角形,故③错误;设

AD=a,AB=b,∴DE=AE=a,CF=DF=b,∴S△DEF=ab,S矩形ABCD=ab,S△AEB=ab,S△BCF=ab,∴S△BEF=S矩形ABCD-S△DEF-S△AEB-S△BCF=ab=3S△DEF,故④正确.

二、【答案】11.AF=EC(答案不唯一)

12.【答案】10　

解：本题运用整体思想解答,根据平行四边形和线段垂直平分线的性质,知三角形ABE的周长为平行四边形ABCD周长的一半.

13.【答案】120°　14.【答案】2.5　15.【答案】12

16.【答案】75°　

解：如图,连接BD,由菱形的性质及∠A=60°,得到三角形ABD为等边三角形.P为AB的中点,利用等腰三角形三线合一的性质得到∠ADP=30°.由题意易得∠ADC=120°,∠C=60°,进而求出∠PDC=90°,由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,利用三角形的内角和定理即可求出∠DEC=75°.

17.【答案】2或或

18.【答案】5　

解：由正方形的性质证明△AEO与△DFO全等,可得DF=AE=4 cm,则DE=CF=3 cm,最后用勾股定理求出EF的长.

19.【答案】(1,0)

20.【答案】16　

解：∵四边形ABCD是矩形,AB=x,AD=y,∴CD=AB=x,BC=AD=y,∠BCD=90°.又∵BD⊥DE,点F是BE的中

点,DF=4,∴BF=DF=EF=4,∴CF=4-BC=4-y.在Rt△DCF中,DC2+CF2=DF2,即x2+(4-y)2=42=16.∴x2+(y-4)2=16.

三、

21.证明:连接DB.∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ABC.又∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.

22.(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=DC=CB,∠D=∠B=90°.∵E,F分别为DC,BC的中点,∴DE=DC,BF=BC,∴DE=BF.∵在△ADE和△ABF中,

∴△ADE≌△ABF(SAS).

(2)解:由题知△ABF,△ADE,△CEF均为直角三角形,且

AB=AD=4,DE=BF=CE=CF=×4=2,

∴S△AEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△ABF-S△CEF=4×4-×4×2-×4×2-×2×2=6.

23.(1)证明:如图,连接BD,设BD交AC于点O.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OB=OD.

由BE∥DF,得∠BEO=∠DFO.而∠EOB=∠FOD,

∴△BEO≌△DFO.

∴BE=DF.又BE∥DF,

∴四边形BEDF是平行四边形.

 (2)解:∵AB⊥AC,AB=4,BC=2,∴AC=6,AO=3.

∴在Rt△BAO中,

BO===5.

又∵四边形BEDF是矩形,

∴OE=OB=5.

∴点E在OA的延长线上,且AE=2.

24.(1)证明:由题意可知,OA=OC,EF⊥AC.∵AD∥BC,

∴∠FAC=∠ECA.在△AOF和△COE中,

∴△AOF≌△COE.∴OF=OE.

∵OA=OC,EF⊥AC,

∴四边形AECF为菱形.

(2)解:设菱形AECF的边长为x,则AE=x,BE=BC-CE=8-x.在Rt△ABE中,∵BE2+AB2=AE2,

∴(8-x)2+42=x2,解得x=5.即菱形AECF的边长为5.

(3)解:在Rt△ABC中,AC===4,

∴OA=AC=2.

在Rt△AOE中,OE===,

∴EF=2OE=2.

25.(1)解:如图所示.

 (2)证明:连接AF,DC.

∵△CFE是由△ADE顺时针旋转180°后得到的,A与C是对应点,D与F是对应点,

∴AE=CE,DE=FE.

∴四边形ADCF是平行四边形.

∴AD∥CF.

又∵MN垂直平分AC,∠ACB=90°,

∴MN∥BC.

∴四边形BCFD是平行四边形.

(3)解:当∠B=60°时,四边形BCFD是菱形.理由如下:

∵∠B=60°,∠ACB=90°,∴∠A=30°.∴BC=AB.∵BD=AB,

∴DB=CB.∵四边形BCFD是平行四边形,∴四边形BCFD是菱形.

26.解:(1)线段DM与FM的关系为DM=FM,DM⊥FM.

证明:如图,连接DF,NF.

∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形,

∴AD∥BC,BC∥GE.

∴AD∥GE.

∴∠DAM=∠NEM.

∵M是AE的中点,

∴AM=EM.

又∵∠AMD=∠EMN,

∴△MAD≌△MEN.

∴DM=MN,AD=NE.

∵AD=CD,∴CD=EN.

又∵CF=EF,∠FCD=∠FEN=90°,

∴△DCF≌△NEF.

∴DF=NF,∠CFD=∠EFN.

又∵DM=MN,∴DM⊥FM.

(2)题图③中,DM=FM,DM⊥FM.