人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和背景图课件ppt

课时跟踪检测（六） 数列的通项公式与递推公式

层级一　学业水平达标

1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是(　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B.

C. D.

解析：选B　由a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，依此类推a4＝.

2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　)

A．R   B．(0，＋∞)

C．(－∞，0)   D．(－∞，0]

解析：选C　∵{an}是递减数列，

∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.

3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

解析：选C　由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22，

a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，

则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.

4．已知数列{an}满足要求a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于(　　)

A．15   B．16

C．31   D．32

解析：选C　∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，

∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.

5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是(　　)

A．9   B．17

C．33   D．65

解析：选C　∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33.

6．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝________.

解析：由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×⇒＝.又∵a1＝，∴an＝.

答案：

7．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．

解析：an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.

答案：－9

8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.

解析：∵∴

∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.

答案：2

9．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．

(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；

(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)；

(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2.

(2)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝.

(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.猜想an＝2n－1＋1.

10．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．

解：∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－，

∵f(an)＝－2n.∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0.

∴an＝－n±.∵an>0，∴an＝－n.

层级二　应试能力达标

1．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝(　　)

A．13　　　　　　　　　 　B．14

C．15   D．16

解析：选A　由an＋1＝⇒an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13，故选A.

2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝(　　)

A．2＋lg n   B．2＋(n－1)lg n

C．2＋nlg n   D．1＋n＋lg n

解析：选A　由an＋1＝an＋lg⇒an＋1－an＝lg，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg 2＋lg ＋lg ＋…＋lg ＝2＋lg＝2＋lg n.

3．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　)

A．(－∞，3]   B．(－∞，4]

C．(－∞，5)   D．(－∞，6)

解析：选D　依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ<0，即λ<2(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立．注意到当n∈N*时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)．

4．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2 017＋a2 018等于(　　)

A．4   B.

C.   D.

解析：选B　a2＝f ＝－1＝；

a3＝f ＝－1＝；

a4＝f ＝＋＝；

a5＝f ＝2×－1＝；

a6＝f ＝2×－1＝；

即从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．

∴a2 017＋a2 018＝a4＋a5＝.故选B.

5．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.

解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1⇒＝，则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5 050.

答案：5 050

6．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为________．

解析：若a5为奇数，则3a5＋1＝1，a5＝0(舍去)．

若a5为偶数，则＝1，a5＝2.

若a4为奇数，则3a4＋1＝2，a4＝(舍去)．

若a4为偶数，则＝2，a4＝4.

若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，则a2＝2，a1＝4.

若a3为偶数，则＝4，a3＝8.

若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)．

若a2为偶数，则＝8，a2＝16.

若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.

若a1为偶数，则＝16，a1＝32.

答案：4,5,32

7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．

解：存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….∵当n≥3时，＝×＝＝2<1，

∴an＋1<an，即n≥3时，{an}是递减数列．

又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝.

∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项．

8．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．

解：∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.

∴＝＋＋＋…＋

＝2＋＝n＋1.

∴＝n＋1，

∴an＝(n≥2)．

又∵n＝1时，a1＝，符合上式，

∴an＝.