必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和学案
展开1.通过实例,理解等比数列的概念并学会简单应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
【自主预习】
1.等比数列的概念和特点
(1)文字定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).
(2)递推公式形式的定义:eq \f(an,an-1)=q(n>1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an+1,an)=q,n∈N*)).
(3)等比数列的各项均不能为0.
2.等差中项与等比中项的异同,对比如下表:
3.等比数列的通项公式
【互动探究】
等比数列的判定
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(n∈N*).
(1)求证:{bn}是等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
[思路点拨](1)欲证{bn}是等比数列,需证eq \f(bn+1,bn)为常数.又bn=an+1,所以bn+1=an+1+1.故只需将条件式变换为an+1+1与an+1的关系式即可得证.
(2)只要求出了{bn}的通项公式,就可以求出{an}的通项公式.
(1)证明:因为an+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1),即bn+1=2bn.
因为b1=a1+1=2≠0,所以bn≠0.
所以eq \f(bn+1,bn)=2.
所以{bn}是等比数列.
(2)解:由(1)知{bn}是首项b1=2,公比为2的等比数列,所以bn=2×2n-1=2n,即an+1=2n.
所以an=2n-1.
等比数列通项公式的简单应用
(1)已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则此数列的公比等于( )
A.1 B.2
C.-2 D.-1
解析:设等比数列{an}的公比为q.因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0.解得q=2.
答案:B
(2)在等比数列{an}中,已知a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
解:设公比为q.由题意,得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q+a1q4=18,①,a1q2+a1q5=9.②))
由eq \f(②,①)得q=eq \f(1,2).所以a1=32.
又an=1,所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n-1=1,即26-n=20.
所以n=6.
等比中项及其应用
若1, a, 3成等差数列,1, b, 4成等比数列,则eq \f(a,b)的值为( )
A.±eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C.1 D.±1
解析:因为1,a,3成等差数列,
所以a=eq \f(1+3,2)=2.
因为1,b,4成等比数列,所以b2=1×4,b=±2.
所以eq \f(a,b)=eq \f(2,±2)=±1.
答案:D
【课堂练习】
1.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为( )
A.4 B.8
C.6 D.32
解析:由等比数列的通项公式,得128=4×2n-1.即2n-1=32,所以n=6.
答案:C
2.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于( )
A.4 B.8
C.16 D.32
解析:因为aeq \\al(2,4)=a2·a6,所以a2·a6=16.
答案:C
3.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于eq \r(12,2).若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )
A.eq \r(3,2)f B.eq \r(3,22)f
C.eq \r(12,25)f D.eq \r(12,27)f
解析:由题知,这十三个单音的频率构成首项为f,公比为eq \r(12,2)的等比数列,则第八个单音的频率为(eq \r(12,2))7f=eq \r(12,27)f.故选D.
答案:D
4.在等比数列{an}中,已知a1a3a11=8,那么a2a8=________.
解析:因为a1a3a11=(a1q4)3=8,所以a1q4=2.
所以a2a8=a1q·a1q7=(a1q4)2=4.
答案:4
5.已知{an}为等比数列,且a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,求an.
解:因为a5=a1·q4=8,a7=a1·q6=2,
所以q2=eq \f(2,8)=eq \f(1,4),q=±eq \f(1,2).而an各项都为正数,
所以q=eq \f(1,2),a1=eq \f(8,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4)=128.
所以an=a1·qn-1=128×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n-1=28-n.对比项
等差中项
等比中项
定义
若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项
若a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项
定义式
A-a=b-A
eq \f(G,a)=eq \f(b,G)
公式
A=eq \f(a+b,2)
G=±eq \r(ab)
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个,且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab>0时,a与b才有等比中项
递推公式
通项公式
eq \f(an+1,an)=q(n∈N*)
an=a1·qn-1(n∈N*)
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