2020-2021学年3.2 双曲线图片课件ppt

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1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
XUE XI MU BIAO
知识点一　双曲线的性质
思考　双曲线的离心率有什么作用？答案　双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
3.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(　　)4.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(　　)
一、由双曲线方程研究其几何性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
延伸探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
由双曲线的方程研究几何性质(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
二、由双曲线的几何性质求标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的方程：
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的技巧渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
解　当所求双曲线的焦点在x轴上时，
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
所以c2－2ac－a2＝0，
即e2－2e－1＝0，
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为
解析　由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，
则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
解析　令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
1.知识清单：(1)双曲线的几何性质.(2)等轴双曲线.(3)双曲线的离心率.2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
KE TANG XIAO JIE
1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
3.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为
解析　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，
4.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，
解析　设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为____________.
a2＝64，c2＝64－16＝48，
从而a′＝6，b′2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
9.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
解　由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解　设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
于是双曲线的离心率为2.
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160 C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24
解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
13.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
解析　不妨取点M在第一象限，如图所示，
则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
解析　如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，
解析　因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，
所以实数m的取值范围是(5,10).