人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教案设计

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题07基本不等式（讲）

1．重要不等式

当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2．基本不等式

当a>0，b>0时有≤，当且仅当a＝b时，等号成立．

3．基本不等式与最值

已知x、y都是正数．

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．

1．，下列不等式始终成立的是        （   )

A． B．

C． D．

2．若正实数满足，则（    ）

A．有最大值4 B．有最小值

C．有最大值 D．有最小值

3．函数的最小值为    （   ）

A．3 B．2 C．1 D．

4．已知，，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

5．若函数在处取最小值，则等于（     ）

A．3 B． C． D．4

重要考点一：利用基本不等式求函数的最值

【典型例题】(1)已知，求的最大值；

(2)已知，求的最大值．

【题型强化】（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最大值.

【收官验收】（1）已知，求的最小值．并求此时的值；

（2）设，求函数的最大值；

（3）已知，求的最小值；

（4）已知，，且，求的最小值；

【名师点睛】

1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即

(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0；

(2)二定：化不等式的一边为定值；

(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．

以上三点缺一不可．

2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式．

重要考点二：变形技巧：“1”的代换

【典型例题】已知，，则的最小值为_______________；

【题型强化】若，，且，则的最小值是_____．

【收官验收】设，，若，则的最小值为__________．

【名师点睛】

1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件．

2．若条件式是ax＋by＝c(a，b，c都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x＋y＝1(x>0，y>0)求＋的最值时，可以将1＝x＋y,2＝2(x＋y)代入，也可以变形＋＝(＋)·1＝(＋)·(xy)．两种方法本质相同，若已知条件为2x＋y＝3(x>0，y>0)，求＋的最值时，可利用＋＝(＋)(2x＋y)变形．

3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制．

重要考点三：忽视等号成立的条件而致误

【典型例题】已知四个函数①；②；③；④，其中函数最小值是2的函数编号为____________．

【题型强化】（1）已知，求的最大值；

（2）已知，求的最小值；

（3）已知，求的最大值；

（4）求函数的最小值．

【收官验收】已知，求的最大值.

重要考点四：利用基本不等式比较数的大小

【典型例题】已知,,为三角形的三边,且,,则（    ）

A． B． C． D．

【题型强化】已知，则与的大小关系是______.

【收官验收】已知且，试比较，，的大小．

重要考点五：不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法

【典型例题】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【题型强化】（1）已知，且，证明：；

（2）已知，且，证明：.

【收官验收】已知，，为正数，且满足.证明：

（1）；

（2）.

【名师点睛】

证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．

重要考点六：求参数的取值范围问题

【典型例题】已知，若恒成立，则 的取值范围是_____．

【题型强化】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______.

【收官验收】已知不等式对任意的恒成立,则实数的范围为_______．

【名师点睛】

1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；

2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆．

重要考点七：均值不等式在实际问题中的应用

【典型例题】（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

【题型强化】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？

（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？

【收官验收】某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.

（1）用含的表达式表示池壁面积；

（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？