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2019-2020学年重庆市渝北区八年级下册期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份2019-2020学年重庆市渝北区八年级下册期末数学试卷（word版 含答案），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）使分式xx−1有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠0且x≠1．
2．（3分）下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．3：2 B．9：4 C．4：9 D．81：16
5．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．菱形的邻边相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等
7．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．（3分）函数y=kx与y＝kx﹣k（k为常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝8，BD＝6，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，若CD＝CE，则BE的长为（ ）
A．4 B．125 C．185 D．3
10．（3分）为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型滑板场，如图，爱好者们从A处滑下，经缓冲区EF之后，滑向C处，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB＝2CD，BD＝13m，缓冲区EF＝3m，斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，斜坡轨道FC的坡角为37°，其中B、E、F、D在同一直线上，则AB的长度为（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（ ）
A．3.55m B．3.75m C．3.95m D．4.15m
11．（3分）若实数a使关于x的不等式组16a−x＜72x+1＞3x+32有且只有2个整数解，且使关于x的分式方程33−x−axx−3=3有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．1
12．（3分）如图，反比例函数y=3x（x＞0）的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过等腰直角三角形的顶点B，∠BAC＝90°，AB边交y轴于点D，若ADBD=13，C点的纵坐标为1，则k的值是（ ）
A．−6316 B．−498 C．−4912 D．﹣6
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）将每小题的答案直接填写在对应的横线上．
13．（3分）若xy=32，则x−yy= ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA＝ ．
15．（3分）若A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是反比例函数y=6x的图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
16．（3分）如图，△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若点B的坐标为（﹣2，1），则点C的坐标为 ．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，若AB＝6，OD＝5，则AE＝ ．
18．（3分）在四张完全相同的卡片上分别写上−12，0，1，2四个数字，然后放入一个不透明的袋子中摇匀，现从中随机抽取第一张卡片记下数字a，放回摇匀．然后随机抽取第二张卡片记下数字b，且a+b＝m，则m的值使关于x的一元二次方程（m−32）x2+2x+1＝0有实数解的概率是 ．
19．（3分）如图，在直角坐标系中，直线l1：y=−33x+323与x轴交于点C，与y轴变于点A，分别以OC、OA为边作矩形ABCO，点D、E在直线AC上，且DE＝1，则BD+12CE的最小值是 ．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点A′、B′处，且点B′恰好为线段CD的中点，A'B′交AD于点G，作DP⊥MN于点P，交A'B'于点Q．若AG＝4，则PQ＝ ．
三、解答题：（本大题共3个小题，21题8分，22题6分，23题8分，共22分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
21．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）2xx−5−1x=2．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC=32，BC＝12，求cosB的值．
23．（8分）先化简，再求值：(a+1a−1−aa+1)÷3a2+aa2−2a+1−1a，其中a是方程2x2+2x﹣3＝0的根．
四、解答题：（本大题共3个小题，24题10分，25题8分，26题10分，共28分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
24．（10分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）被调查的学生一共有 人；
（2）请补全条形统计图，若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有 名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=12，与反比例函数y=ax（a≠0）的图象交于P（﹣2，m），Q（n，﹣1）两点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式kx+2≥ax的解集．
26．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=4x+2+1(x＞−1)x+6(x≤−1)的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）如表是y与x的几对对应值：
x
…
﹣7
﹣5
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
a
5
3
73
b
95
53
…
其中a＝ ，b＝ ；
（2）函数图象与y轴的交点坐标是 ；
（3）在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（4）结合图象，写出函数的一条性质： ；
（5）观察函数图象，将直线y＝﹣x向上平移m个单位，使得平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则m的值是 ．
五、解答题：（本大题共3个小题，27题10分，28题10分，29题8分，共28分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
27．（10分）农历五月初五是中华民族的传统节日﹣﹣端午节，五月份开始某蛋糕店特别推出“紫米八宝”和“青豆腊肉”两种口味的粽子，其中“青豆腊肉”粽的销售单价是“紫米八宝”粽的1.2倍，用450元单独购买“紫米八宝”粽比单独购买“青豆腊肉”粽要多3千克．
（1）求“紫米八宝”粽和“青豆腊肉”粽的销售单价各是多少；
（2）五月份“紫米八宝”粽的销售量为275千克，“青豆腊肉”的销售量为200千克，为了回馈客户，六月份时，“紫米八宝”粽的销售价格比五月份的价格下调了12a%（其中0＜a＜50），销售量比五月份增加了85千克；“青豆腊肉”粽的销售价格比五月份的价格下调了a%，销售量比五月份增加了52a%，最终六月份“紫米八宝”粽的销售总额比“青豆腊肉”粽的销售总额多了900元，求a的值．
28．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F．
（1）如图1，连接AC，若AB＝AE＝6，BC：CE＝5：2，求△ACE的面积；
（2）如图2，延长AE至点G，连接AG、DG，点H在BD上，且BF＝DH，AF＝AH，过A作AM⊥DG于点M．若∠ABG+∠ADG＝180°，求证：BG+GD=3AG．
29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y=−12x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后经过点D（0，2）得到直线l2，交x轴于点C，过点C作直线CE交直线l1于点E，且EA＝EC．
（1）求直线CE的解析式；
（2）如图2，将△AOB绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°），旋转中的△AOB记为△A'OB'，当线段A'B'交y轴正半轴于点G，且∠A′＝∠A'OG时，将△A'OG沿直线CD方向平移，平移中的△A'OG记为A″O′G'，将线段OG沿x轴正半轴方向平移5个单位长度得到线段O″G″．在平移过程中，平面内是否存在点R，使以点R、O″、G″、A″为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合条件的点A″的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）使分式xx−1有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠0且x≠1．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
2．（3分）下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：B．
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据俯视图发现该几何体为圆锥，B、C不符合题意，
根据主视图和左视图发现该几何体为圆柱和圆锥的结合体，D符合题意，
故选：D．
4．（3分）若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．3：2 B．9：4 C．4：9 D．81：16
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为9：4，
∴其面积之比为81：16．
故选：D．
5．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：B．
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．菱形的邻边相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等
【解答】解：A、由平行四边形的性质可得平行四边形的对边相等，故A正确；
B、由菱形的定义可知菱形的邻边相等，故B正确；
C、由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，但未必垂直，当对角线互相垂直时矩形就变为正方形，故C不正确；
D、由正方形的性质可知，正方形的四条边均相等，故D正确．
综上，只有C不正确．
故选：C．
7．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【解答】解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，
所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝6+5+1＝12．
故选：C．
8．（3分）函数y=kx与y＝kx﹣k（k为常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
C、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项正确；
D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝8，BD＝6，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，若CD＝CE，则BE的长为（ ）
A．4 B．125 C．185 D．3
【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE＝∠A+∠ABD，∠CED＝∠BCE+∠CBE，
∴∠A＝∠BCE，
在△ABD与△CBE中，
∠A＝∠BCE，∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴ABCB=BDBE，
∴BE=CB⋅BDAB=8×612=4，
故选：A．
10．（3分）为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型滑板场，如图，爱好者们从A处滑下，经缓冲区EF之后，滑向C处，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB＝2CD，BD＝13m，缓冲区EF＝3m，斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，斜坡轨道FC的坡角为37°，其中B、E、F、D在同一直线上，则AB的长度为（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（ ）
A．3.55m B．3.75m C．3.95m D．4.15m
【解答】解：∵AB＝2CD，
∴设DC＝x，则AB＝2x，
∵tan37°≈0.75，
∴CDDF=xDF=0.75，
则DF=43x，
∵斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，
∴BE＝2AB＝4x，
故BD﹣EF＝BE+FD＝13﹣3＝4x+43x，
解得：x=158，
故AB＝2×158=154=3.75（m）．
故选：B．
11．（3分）若实数a使关于x的不等式组16a−x＜72x+1＞3x+32有且只有2个整数解，且使关于x的分式方程33−x−axx−3=3有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【解答】解：不等式组整理得：x＞16a−72x＜−1，
解得：16a−72＜x＜﹣1，
由不等式组有且只有2个整数解，得到整数解为﹣3，﹣2，
∴﹣4≤16a−72＜−3，
解得：﹣3≤a＜3，即整数a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
分式方程去分母得：﹣3﹣ax＝3x﹣9，
解得：x=6a+3，
由分式方程有整数解，得到a＝﹣2，0，其和为﹣2+0＝﹣2．
故选：A．
12．（3分）如图，反比例函数y=3x（x＞0）的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过等腰直角三角形的顶点B，∠BAC＝90°，AB边交y轴于点D，若ADBD=13，C点的纵坐标为1，则k的值是（ ）
A．−6316 B．−498 C．−4912 D．﹣6
【解答】解：作AE⊥x轴于E，BM⊥AE于M，CN⊥AE于N，DF⊥AE于F，
设A（m，n），
∴DF＝OE＝m，AE＝n，
∵C点的纵坐标为1，反比例函数y=3x（x＞0）的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C，
∴AN＝n﹣1，C（3，1），
∴CN＝3﹣m，
∵ADBD=13，
∴DFBM=14，
∴BM＝4m，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，
∴∠ABM+∠BAM＝∠BAM+∠CAN，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵∠AMB＝∠CNA，
∴△ABM≌△ANC（AAS），
∴BM＝AN＝n﹣1，CN＝AM＝3﹣m，
∴4m＝n﹣1，
∴n＝4m+1，
∵反比例函数y=3x（x＞0）的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C，
∴mn＝3，
∴m（4m+1）＝3，整理得4m2+m﹣3＝0，
解得m1=34，m2＝﹣1（舍去），
∴n＝4，
∴AM＝3﹣m=94，BM＝4m＝3，
∴ME＝4−94=74，
∴B（﹣3+34，74），即B（−94，74），
∴k=−94×74=−6316，
故选：A．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）将每小题的答案直接填写在对应的横线上．
13．（3分）若xy=32，则x−yy= 12 ．
【解答】解：∵xy=32，
∴x−yy=3−22，
即x−yy=12．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA＝ 45 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC=52−32=4，
∴sinA=BCAB=45．
故答案为45．
15．（3分）若A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是反比例函数y=6x的图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1 ＜ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【解答】解：∵反比例函数y=6x中，k＝6＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），
∴点A、B都在第三象限，
又﹣1＞﹣2，
∴y1＜y，
故答案为：＜．
16．（3分）如图，△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若点B的坐标为（﹣2，1），则点C的坐标为 （4，﹣2） ．
【解答】解：∵△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，1），
∴点C的横纵坐标都乘以﹣2，即C点坐标为：（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，若AB＝6，OD＝5，则AE＝ 245 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝5，∠BAD＝90°，
∴BD＝10，
∴AD=BD2−AB2=100−36=8，
∵S△ABD=12×AB×AD=12×BD×AE，
∴AE=8×610=245，
故答案为：245；
18．（3分）在四张完全相同的卡片上分别写上−12，0，1，2四个数字，然后放入一个不透明的袋子中摇匀，现从中随机抽取第一张卡片记下数字a，放回摇匀．然后随机抽取第二张卡片记下数字b，且a+b＝m，则m的值使关于x的一元二次方程（m−32）x2+2x+1＝0有实数解的概率是 1116 ．
【解答】解：∴关于x的一元二次方程（m−32）x2+2x+1＝0有实数解，
∴b2﹣4ac≥0，且m−32≠0，
即：4﹣4（m−32）≥0，且m−32≠0，
∴m≤52且m≠32，
由列表法表示m所有等可能出现的结果情况如下：
共有16种等可能出现的结果，其中m≤52且m≠32的有11种，
∴m的值使关于x的一元二次方程（m−32）x2+2x+1＝0有实数解的概率为1116．
19．（3分）如图，在直角坐标系中，直线l1：y=−33x+323与x轴交于点C，与y轴变于点A，分别以OC、OA为边作矩形ABCO，点D、E在直线AC上，且DE＝1，则BD+12CE的最小值是 1+332 ．
【解答】解：如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．
y=−33x+323与x轴交于点C，与y轴变于点A，
∴A（0，332），C（92，0），
∴OA=332，OC=92，
∴tan∠ACO=OAOC=33，
∴∠ACO＝30°，
∵EH⊥OC，
∴EH=12EC，
∵BB′＝DE，BB′∥DE，
∴四边形DBB′E是平行四边形，
∴BD＝B′E，
∵BM∥AC，
∴∠BMC＝∠ACO＝30°，
∵∠BCM＝90°，BC=332，
∴BM＝2BC＝33，
∴B′M＝1+33，
∵∠MFB′＝90°，
∴B′F=12MB′=1+332，
∵BD+12EC＝B′E+EH≥B′H，B′H≥B′F，
∴BD+12EC≥1+332，
∴BD+12EC的最小值为1+332，
故答案为1+332．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点A′、B′处，且点B′恰好为线段CD的中点，A'B′交AD于点G，作DP⊥MN于点P，交A'B'于点Q．若AG＝4，则PQ＝ 955 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，
∴∠ABC＝∠C＝∠ADC＝∠A＝90°，
由翻折可知，BN＝NB′，设BN＝NB′＝x，
∵CB′＝DB′＝a，
在Rt△CNB′中，∵CN2+B′C2＝B′N2，
∴（2a﹣x）+a2＝x2，
∴x=54a，
∵∠NB′G＝∠GDB′＝∠C＝90°，
∴∠CNB′+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠DB′G＝90°，
∴∠CNB′＝∠DB′G，
∴△NCB′∽△B′DG，
∴CNDB'=CB'DG=NB'GB'，
∴DG=43a，GB′=53a，
∵AG+DG＝AD，
∴4+43a＝2a，
∴a＝6，
∴AB＝A′B′＝12，DG＝8，GB′＝10，A′G＝2，
设AM＝MA′＝y，
在Rt△A′MG中，则有y2+22＝（4﹣y）2，
解得y=32，
∴DM＝AD﹣AM＝12−32=212，
连接BB′，延长DP交AB于T，则四边形BB′DT是平行四边形，过点B′作B′H⊥DQ于H，
∴∠TBB′＝∠TDB′，DT∥BB′，
∴∠DQB′＝∠QB′B，
∵∠TBB′＝∠QB′B，
∴∠B′DQ＝∠B′QD，
∴B′D＝B′Q＝6，
∵B′H⊥DQ，
∴QH＝HD，
∵∠CBB′+∠TBB′＝90°，∠MDP+∠TDB′＝90°，∠DB′H+∠TDB′＝90°，
∴∠CBB′＝∠MDP＝∠DB′H，
∴sin∠CBB′＝sin′MDP＝sin∠DB′H=CB'BB'=55，
∴PM＝DM×55=21105，DP＝2PM=2155，DH=55×6=655，
∴DQ=1255，
∴PQ＝PD﹣DQ=2155−1255=955．
故答案为955．
三、解答题：（本大题共3个小题，21题8分，22题6分，23题8分，共22分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
21．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）2xx−5−1x=2．
【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝1，
配方得：x2+4x+4＝5，即（x+2）2＝5，
开方得：x+2＝±5，
解得：x1＝﹣2+5，x2＝﹣2−5；
（2）去分母得：2x2﹣x+5＝2x2﹣10x，
解得：x=−59，
经检验x=−59是分式方程的解．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC=32，BC＝12，求cosB的值．
【解答】解：∵tanC=ADCD=6CD=32，
∴CD＝4．
∴BD＝12﹣4＝8．
在Rt△ABD中，
AB=AD2+BD2
＝10．
∴cosB=BDAB=45．
23．（8分）先化简，再求值：(a+1a−1−aa+1)÷3a2+aa2−2a+1−1a，其中a是方程2x2+2x﹣3＝0的根．
【解答】解：(a+1a−1−aa+1)÷3a2+aa2−2a+1−1a
=(a+1)2−a(a−1)(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a(3a+1)−1a
=a2+2a+1−a2+aa+1⋅a−1a(3a+1)−1a
=3a+1a+1⋅a−1a(3a+1)−1a
=a−1a(a+1)−1a
=a−1−(a+1)a(a+1)
=a−1−a−1a2+a
=−2a2+a，
∵a是方程2x2+2x﹣3＝0的根，
∴2a2+2a﹣3＝0，
∴2a2+2a＝3，
∴a2+a=32，
∴原式=−232=−43．
四、解答题：（本大题共3个小题，24题10分，25题8分，26题10分，共28分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
24．（10分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）被调查的学生一共有 50 人；
（2）请补全条形统计图，若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有 250 名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
【解答】解：（1）被调查的学生一共有8÷16%＝50（人）；
故答案为：50；
（2）C类的人数有：50﹣5﹣16﹣8＝21（人），补全统计图如下：
2500×550=250（人），
答：初二年级大约有250名学生已掌握3项训练技巧；
故答案为：250；
（3）将同一个班的2名学生均记为A，其他记为B、C、D，
列表如下：
A
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表可知，共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的有2种结果，
所以所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为220=110．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=12，与反比例函数y=ax（a≠0）的图象交于P（﹣2，m），Q（n，﹣1）两点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式kx+2≥ax的解集．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，因此点B（0，2），即OB＝2，
∵tan∠BAO=12，OB＝2，
∴OA＝4，即点A（4，0），
把A（4，0），代入一次函数y＝kx+2得，4k+2＝0，解得k=−12，
∴一次函数的关系式为y=−12x+2，
P（﹣2，m），Q（n，﹣1）代入y=−12x+2得，m＝3，n＝6，
∴P（﹣2，3），Q（6，﹣1）
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y=−6x，
答：反比例函数的关系式为y=−6x；
（2）S△POQ＝S△POA+S△QOA=12×4×（3+1）＝8，
答：△OPQ的面积为8；
（3）不等式kx+2≥ax的解集，就是一次函数的图象在反比例函数图象上方时，相应的x的取值范围，
∴x≤﹣2或0＜x≤6，
26．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=4x+2+1(x＞−1)x+6(x≤−1)的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）如表是y与x的几对对应值：
x
…
﹣7
﹣5
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
a
5
3
73
b
95
53
…
其中a＝ 1 ，b＝ 2 ；
（2）函数图象与y轴的交点坐标是 （0，3） ；
（3）在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（4）结合图象，写出函数的一条性质： 函数有最大值5 ；
（5）观察函数图象，将直线y＝﹣x向上平移m个单位，使得平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则m的值是 3或4 ．
【解答】解：（1）当x＝﹣5时，y＝x+6＝1，
当x＝2时，y=4x+2+1＝2，
∴a＝1，b＝2，
故答案为：1，2；
（2）∵当x＝0时，y＝3，
∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，3），
故答案为（0，3）；
（3）如图：
（4）观察函数图象，可知：函数有最大值5，
故答案为：函数有最大值5；
（5）将直线y＝﹣x向上平移m个单位，得到y＝﹣x+m，若平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则直线y＝﹣x+m经过点（﹣1，5），
∴5＝1+m，
∴m＝4，
此时直线经过函数y=4x+2+1图象是（2，2）和 （﹣1，5）两点，
由﹣x+m=4x+2+1，整理得，x2+（3﹣m）x+6﹣2m＝0，
当△＝0时，平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，
△＝（3﹣m）2﹣4（6﹣2m）＝0，解得m＝3或m＝﹣5（舍去），
综上，符合题意的m的值为3或4，
故答案为3或4．
五、解答题：（本大题共3个小题，27题10分，28题10分，29题8分，共28分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
27．（10分）农历五月初五是中华民族的传统节日﹣﹣端午节，五月份开始某蛋糕店特别推出“紫米八宝”和“青豆腊肉”两种口味的粽子，其中“青豆腊肉”粽的销售单价是“紫米八宝”粽的1.2倍，用450元单独购买“紫米八宝”粽比单独购买“青豆腊肉”粽要多3千克．
（1）求“紫米八宝”粽和“青豆腊肉”粽的销售单价各是多少；
（2）五月份“紫米八宝”粽的销售量为275千克，“青豆腊肉”的销售量为200千克，为了回馈客户，六月份时，“紫米八宝”粽的销售价格比五月份的价格下调了12a%（其中0＜a＜50），销售量比五月份增加了85千克；“青豆腊肉”粽的销售价格比五月份的价格下调了a%，销售量比五月份增加了52a%，最终六月份“紫米八宝”粽的销售总额比“青豆腊肉”粽的销售总额多了900元，求a的值．
【解答】解：（1）设“紫米八宝”粽的销售单价为x元，则“青豆腊肉”粽的销售单价为1.2元，
依题意，得：450x−4501.2x=3，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝30．
答：“紫米八宝”粽的销售单价为25元，“青豆腊肉”粽的销售单价为30元．
（2）依题意，得：25（1−12a%）×（275+85）﹣30（1﹣a%）×200（1+52a%）＝900，
整理，得：a2﹣90a+1400＝0，
解得：a1＝20，a2＝70（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
28．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F．
（1）如图1，连接AC，若AB＝AE＝6，BC：CE＝5：2，求△ACE的面积；
（2）如图2，延长AE至点G，连接AG、DG，点H在BD上，且BF＝DH，AF＝AH，过A作AM⊥DG于点M．若∠ABG+∠ADG＝180°，求证：BG+GD=3AG．
【解答】解：（1）过A点作AM⊥BE于点M，
∵AB＝AE＝6，
∴BM＝ME=12BE，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM=12AB=3，
∴AM=AB2−BM2=33，
∵BC：CE＝5：2，
∴CE=23BE=23×6=4，
∴S△ACE=12CE⋅AM=12×4×33=63；
（2）∵AF＝AH，
∴∠AFH＝∠AHF，
∴∠AFB＝∠AHD，
∵BF＝DH，
∴△ABF≌△ADH（SAS），
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
将△ABG绕点A逆时针旋转120°，得△ADG′，则∠DAG′＝∠BAG，∠ADG′＝∠ABG，BG＝DG′，AG＝AG′，
∵∠ABG+∠ADG＝180°，
∴∠ADG′+∠ADG＝180°，
∴G、D、G′三点共线，
∴GG′＝GD+DG′＝DG+BG，
∵∠GAD+∠DAG′＝∠GAD+∠BAG，
∴∠GAG′＝∠BAD＝120°，
∴∠AGG′＝∠AG′G＝30°，
∵AM⊥GG′，
∴GM＝G′M，AM=12AG，
∴GM=AG2−AM2=AG2−14AG2=32AG，
∴GG'=2GM=3AG，
∴BG+GD=3AG．
29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y=−12x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后经过点D（0，2）得到直线l2，交x轴于点C，过点C作直线CE交直线l1于点E，且EA＝EC．
（1）求直线CE的解析式；
（2）如图2，将△AOB绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°），旋转中的△AOB记为△A'OB'，当线段A'B'交y轴正半轴于点G，且∠A′＝∠A'OG时，将△A'OG沿直线CD方向平移，平移中的△A'OG记为A″O′G'，将线段OG沿x轴正半轴方向平移5个单位长度得到线段O″G″．在平移过程中，平面内是否存在点R，使以点R、O″、G″、A″为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合条件的点A″的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥x轴于点F，如图1，
∵直线l1：y=−12x﹣1分别与x轴交于点A，
∴A（﹣2，0），
设直线l2的解析式为y=−12x+b，
将D（0，2）代入y=−12x+b，得b＝2，
∴直线l2的解析式为y=−12x+2，
∴C（4，0），
∵AE＝CE，
∴F（1，0），
把x＝1代入y=−12x﹣1中，得，y=−32，
∴E（1，−32），
设直线CE的解析式为：y＝mx+n（m≠0），则
4m+n=0m+n=−32，
解得，m=12n=−2，
∴直线CE的解析式为：y=12x﹣2；
（2）∵∠A′＝∠A'OG，
∴OG＝GA′，
∵∠A′+∠B′＝∠A′OG+∠B′OG＝90°，
∴∠B′＝∠B′OG，
∴OG＝GB′，
∴OG=12A'B'=12AB=1222+12=125，
∴G(0，125)，
过A′作A′M⊥x轴于M，过B′作B′N⊥x轴于N，
设A′（a，b），则A′M＝b，OM＝a，
∵∠A′OB′＝90°，
∴∠A′OM+∠B′ON＝∠A′OM+∠OA′M＝90°，
∴∠OA′M＝∠B′ON，
∵∠A′MO＝∠ONB′＝90°，
∴△A′OM∽△OB′N，
∴A'MON=OMB'N=OA'B'O=OAOB=2，
∴ON=12A′M=12b，B′N=12OM=12a，
∴B′（−12b，12a），
∵A′B′的中点G（0，125）
∴a−12b2=0b+12a2=125，
解得，a=255b=455，
∴A′（255，455），
设直线A′A″的解析式为y=−12x+b，把A′（255，455）代入，得
455=−12×255+b，
解得，b=5，
∴直线A′A″的解析式为y=−12x+5，
∵将线段OG沿x轴正半轴方向平移5个单位长度得到线段O″G″．
∴G″（5，125），
则G″恰好在直线A′A″上，
当O″G″为菱形的对角线时，如图，A″R⊥G″O″，
此时A″的纵坐标为：y=145，
把y=145代入y=−12x+5中，得x=325，
∴A″（325，145）；
当O″A″为菱形的对角线时，如图，
此时，G″A″＝G″O″，有(m−5)2+(−12m+5−125)2=(125)2，
解得，m=5±1，
∴A″（5+1，125−12），或A″（5−1，125+12）；
当G″A″为菱形的对角线时，如图，
此时，O″A″＝O″G″，有(m−5)2+(−12m+5)2=(125)2，
解得，m=5（舍），或m=755，
∴A″（755，3105），
综上，平面内存在点R，使以点R、O″、G″、A″为顶点的四边形是菱形，其A″点的坐标为A″（325，145）或A″（5+1，125−12），或A″（5−1，125+12），A″（755，3105），
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2019-2020学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）使分式xx−1有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠0且x≠1．
2．（3分）下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．3：2 B．9：4 C．4：9 D．81：16
5．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．菱形的邻边相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等
7．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．（3分）函数y=kx与y＝kx﹣k（k为常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝8，BD＝6，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，若CD＝CE，则BE的长为（ ）
A．4 B．125 C．185 D．3
10．（3分）为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型滑板场，如图，爱好者们从A处滑下，经缓冲区EF之后，滑向C处，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB＝2CD，BD＝13m，缓冲区EF＝3m，斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，斜坡轨道FC的坡角为37°，其中B、E、F、D在同一直线上，则AB的长度为（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（ ）
A．3.55m B．3.75m C．3.95m D．4.15m
11．（3分）若实数a使关于x的不等式组16a−x＜72x+1＞3x+32有且只有2个整数解，且使关于x的分式方程33−x−axx−3=3有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．1
12．（3分）如图，反比例函数y=3x（x＞0）的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过等腰直角三角形的顶点B，∠BAC＝90°，AB边交y轴于点D，若ADBD=13，C点的纵坐标为1，则k的值是（ ）
A．−6316 B．−498 C．−4912 D．﹣6
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）将每小题的答案直接填写在对应的横线上．
13．（3分）若xy=32，则x−yy= ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA＝ ．
15．（3分）若A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是反比例函数y=6x的图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
16．（3分）如图，△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若点B的坐标为（﹣2，1），则点C的坐标为 ．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，若AB＝6，OD＝5，则AE＝ ．
18．（3分）在四张完全相同的卡片上分别写上−12，0，1，2四个数字，然后放入一个不透明的袋子中摇匀，现从中随机抽取第一张卡片记下数字a，放回摇匀．然后随机抽取第二张卡片记下数字b，且a+b＝m，则m的值使关于x的一元二次方程（m−32）x2+2x+1＝0有实数解的概率是 ．
19．（3分）如图，在直角坐标系中，直线l1：y=−33x+323与x轴交于点C，与y轴变于点A，分别以OC、OA为边作矩形ABCO，点D、E在直线AC上，且DE＝1，则BD+12CE的最小值是 ．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点A′、B′处，且点B′恰好为线段CD的中点，A'B′交AD于点G，作DP⊥MN于点P，交A'B'于点Q．若AG＝4，则PQ＝ ．
三、解答题：（本大题共3个小题，21题8分，22题6分，23题8分，共22分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
21．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）2xx−5−1x=2．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC=32，BC＝12，求cosB的值．
23．（8分）先化简，再求值：(a+1a−1−aa+1)÷3a2+aa2−2a+1−1a，其中a是方程2x2+2x﹣3＝0的根．
四、解答题：（本大题共3个小题，24题10分，25题8分，26题10分，共28分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
24．（10分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）被调查的学生一共有 人；
（2）请补全条形统计图，若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有 名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=12，与反比例函数y=ax（a≠0）的图象交于P（﹣2，m），Q（n，﹣1）两点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式kx+2≥ax的解集．
26．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=4x+2+1(x＞−1)x+6(x≤−1)的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）如表是y与x的几对对应值：
x
…
﹣7
﹣5
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
a
5
3
73
b
95
53
…
其中a＝ ，b＝ ；
（2）函数图象与y轴的交点坐标是 ；
（3）在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（4）结合图象，写出函数的一条性质： ；
（5）观察函数图象，将直线y＝﹣x向上平移m个单位，使得平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则m的值是 ．
五、解答题：（本大题共3个小题，27题10分，28题10分，29题8分，共28分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
27．（10分）农历五月初五是中华民族的传统节日﹣﹣端午节，五月份开始某蛋糕店特别推出“紫米八宝”和“青豆腊肉”两种口味的粽子，其中“青豆腊肉”粽的销售单价是“紫米八宝”粽的1.2倍，用450元单独购买“紫米八宝”粽比单独购买“青豆腊肉”粽要多3千克．
（1）求“紫米八宝”粽和“青豆腊肉”粽的销售单价各是多少；
（2）五月份“紫米八宝”粽的销售量为275千克，“青豆腊肉”的销售量为200千克，为了回馈客户，六月份时，“紫米八宝”粽的销售价格比五月份的价格下调了12a%（其中0＜a＜50），销售量比五月份增加了85千克；“青豆腊肉”粽的销售价格比五月份的价格下调了a%，销售量比五月份增加了52a%，最终六月份“紫米八宝”粽的销售总额比“青豆腊肉”粽的销售总额多了900元，求a的值．
28．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F．
（1）如图1，连接AC，若AB＝AE＝6，BC：CE＝5：2，求△ACE的面积；
（2）如图2，延长AE至点G，连接AG、DG，点H在BD上，且BF＝DH，AF＝AH，过A作AM⊥DG于点M．若∠ABG+∠ADG＝180°，求证：BG+GD=3AG．
29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y=−12x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后经过点D（0，2）得到直线l2，交x轴于点C，过点C作直线CE交直线l1于点E，且EA＝EC．
（1）求直线CE的解析式；
（2）如图2，将△AOB绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°），旋转中的△AOB记为△A'OB'，当线段A'B'交y轴正半轴于点G，且∠A′＝∠A'OG时，将△A'OG沿直线CD方向平移，平移中的△A'OG记为A″O′G'，将线段OG沿x轴正半轴方向平移5个单位长度得到线段O″G″．在平移过程中，平面内是否存在点R，使以点R、O″、G″、A″为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合条件的点A″的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）使分式xx−1有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠0且x≠1．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
2．（3分）下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：B．
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据俯视图发现该几何体为圆锥，B、C不符合题意，
根据主视图和左视图发现该几何体为圆柱和圆锥的结合体，D符合题意，
故选：D．
4．（3分）若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．3：2 B．9：4 C．4：9 D．81：16
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为9：4，
∴其面积之比为81：16．
故选：D．
5．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：B．
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．菱形的邻边相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等
【解答】解：A、由平行四边形的性质可得平行四边形的对边相等，故A正确；
B、由菱形的定义可知菱形的邻边相等，故B正确；
C、由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，但未必垂直，当对角线互相垂直时矩形就变为正方形，故C不正确；
D、由正方形的性质可知，正方形的四条边均相等，故D正确．
综上，只有C不正确．
故选：C．
7．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【解答】解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，
所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝6+5+1＝12．
故选：C．
8．（3分）函数y=kx与y＝kx﹣k（k为常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
C、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项正确；
D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝8，BD＝6，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，若CD＝CE，则BE的长为（ ）
A．4 B．125 C．185 D．3
【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE＝∠A+∠ABD，∠CED＝∠BCE+∠CBE，
∴∠A＝∠BCE，
在△ABD与△CBE中，
∠A＝∠BCE，∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴ABCB=BDBE，
∴BE=CB⋅BDAB=8×612=4，
故选：A．
10．（3分）为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型滑板场，如图，爱好者们从A处滑下，经缓冲区EF之后，滑向C处，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB＝2CD，BD＝13m，缓冲区EF＝3m，斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，斜坡轨道FC的坡角为37°，其中B、E、F、D在同一直线上，则AB的长度为（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（ ）
A．3.55m B．3.75m C．3.95m D．4.15m
【解答】解：∵AB＝2CD，
∴设DC＝x，则AB＝2x，
∵tan37°≈0.75，
∴CDDF=xDF=0.75，
则DF=43x，
∵斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，
∴BE＝2AB＝4x，
故BD﹣EF＝BE+FD＝13﹣3＝4x+43x，
解得：x=158，
故AB＝2×158=154=3.75（m）．
故选：B．
11．（3分）若实数a使关于x的不等式组16a−x＜72x+1＞3x+32有且只有2个整数解，且使关于x的分式方程33−x−axx−3=3有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【解答】解：不等式组整理得：x＞16a−72x＜−1，
解得：16a−72＜x＜﹣1，
由不等式组有且只有2个整数解，得到整数解为﹣3，﹣2，
∴﹣4≤16a−72＜−3，
解得：﹣3≤a＜3，即整数a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
分式方程去分母得：﹣3﹣ax＝3x﹣9，
解得：x=6a+3，
由分式方程有整数解，得到a＝﹣2，0，其和为﹣2+0＝﹣2．
故选：A．
12．（3分）如图，反比例函数y=3x（x＞0）的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过等腰直角三角形的顶点B，∠BAC＝90°，AB边交y轴于点D，若ADBD=13，C点的纵坐标为1，则k的值是（ ）
A．−6316 B．−498 C．−4912 D．﹣6
【解答】解：作AE⊥x轴于E，BM⊥AE于M，CN⊥AE于N，DF⊥AE于F，
设A（m，n），
∴DF＝OE＝m，AE＝n，
∵C点的纵坐标为1，反比例函数y=3x（x＞0）的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C，
∴AN＝n﹣1，C（3，1），
∴CN＝3﹣m，
∵ADBD=13，
∴DFBM=14，
∴BM＝4m，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，
∴∠ABM+∠BAM＝∠BAM+∠CAN，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵∠AMB＝∠CNA，
∴△ABM≌△ANC（AAS），
∴BM＝AN＝n﹣1，CN＝AM＝3﹣m，
∴4m＝n﹣1，
∴n＝4m+1，
∵反比例函数y=3x（x＞0）的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C，
∴mn＝3，
∴m（4m+1）＝3，整理得4m2+m﹣3＝0，
解得m1=34，m2＝﹣1（舍去），
∴n＝4，
∴AM＝3﹣m=94，BM＝4m＝3，
∴ME＝4−94=74，
∴B（﹣3+34，74），即B（−94，74），
∴k=−94×74=−6316，
故选：A．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）将每小题的答案直接填写在对应的横线上．
13．（3分）若xy=32，则x−yy= 12 ．
【解答】解：∵xy=32，
∴x−yy=3−22，
即x−yy=12．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA＝ 45 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC=52−32=4，
∴sinA=BCAB=45．
故答案为45．
15．（3分）若A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是反比例函数y=6x的图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1 ＜ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【解答】解：∵反比例函数y=6x中，k＝6＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），
∴点A、B都在第三象限，
又﹣1＞﹣2，
∴y1＜y，
故答案为：＜．
16．（3分）如图，△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若点B的坐标为（﹣2，1），则点C的坐标为 （4，﹣2） ．
【解答】解：∵△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，1），
∴点C的横纵坐标都乘以﹣2，即C点坐标为：（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，若AB＝6，OD＝5，则AE＝ 245 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝5，∠BAD＝90°，
∴BD＝10，
∴AD=BD2−AB2=100−36=8，
∵S△ABD=12×AB×AD=12×BD×AE，
∴AE=8×610=245，
故答案为：245；
18．（3分）在四张完全相同的卡片上分别写上−12，0，1，2四个数字，然后放入一个不透明的袋子中摇匀，现从中随机抽取第一张卡片记下数字a，放回摇匀．然后随机抽取第二张卡片记下数字b，且a+b＝m，则m的值使关于x的一元二次方程（m−32）x2+2x+1＝0有实数解的概率是 1116 ．
【解答】解：∴关于x的一元二次方程（m−32）x2+2x+1＝0有实数解，
∴b2﹣4ac≥0，且m−32≠0，
即：4﹣4（m−32）≥0，且m−32≠0，
∴m≤52且m≠32，
由列表法表示m所有等可能出现的结果情况如下：
共有16种等可能出现的结果，其中m≤52且m≠32的有11种，
∴m的值使关于x的一元二次方程（m−32）x2+2x+1＝0有实数解的概率为1116．
19．（3分）如图，在直角坐标系中，直线l1：y=−33x+323与x轴交于点C，与y轴变于点A，分别以OC、OA为边作矩形ABCO，点D、E在直线AC上，且DE＝1，则BD+12CE的最小值是 1+332 ．
【解答】解：如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．
y=−33x+323与x轴交于点C，与y轴变于点A，
∴A（0，332），C（92，0），
∴OA=332，OC=92，
∴tan∠ACO=OAOC=33，
∴∠ACO＝30°，
∵EH⊥OC，
∴EH=12EC，
∵BB′＝DE，BB′∥DE，
∴四边形DBB′E是平行四边形，
∴BD＝B′E，
∵BM∥AC，
∴∠BMC＝∠ACO＝30°，
∵∠BCM＝90°，BC=332，
∴BM＝2BC＝33，
∴B′M＝1+33，
∵∠MFB′＝90°，
∴B′F=12MB′=1+332，
∵BD+12EC＝B′E+EH≥B′H，B′H≥B′F，
∴BD+12EC≥1+332，
∴BD+12EC的最小值为1+332，
故答案为1+332．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点A′、B′处，且点B′恰好为线段CD的中点，A'B′交AD于点G，作DP⊥MN于点P，交A'B'于点Q．若AG＝4，则PQ＝ 955 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，
∴∠ABC＝∠C＝∠ADC＝∠A＝90°，
由翻折可知，BN＝NB′，设BN＝NB′＝x，
∵CB′＝DB′＝a，
在Rt△CNB′中，∵CN2+B′C2＝B′N2，
∴（2a﹣x）+a2＝x2，
∴x=54a，
∵∠NB′G＝∠GDB′＝∠C＝90°，
∴∠CNB′+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠DB′G＝90°，
∴∠CNB′＝∠DB′G，
∴△NCB′∽△B′DG，
∴CNDB'=CB'DG=NB'GB'，
∴DG=43a，GB′=53a，
∵AG+DG＝AD，
∴4+43a＝2a，
∴a＝6，
∴AB＝A′B′＝12，DG＝8，GB′＝10，A′G＝2，
设AM＝MA′＝y，
在Rt△A′MG中，则有y2+22＝（4﹣y）2，
解得y=32，
∴DM＝AD﹣AM＝12−32=212，
连接BB′，延长DP交AB于T，则四边形BB′DT是平行四边形，过点B′作B′H⊥DQ于H，
∴∠TBB′＝∠TDB′，DT∥BB′，
∴∠DQB′＝∠QB′B，
∵∠TBB′＝∠QB′B，
∴∠B′DQ＝∠B′QD，
∴B′D＝B′Q＝6，
∵B′H⊥DQ，
∴QH＝HD，
∵∠CBB′+∠TBB′＝90°，∠MDP+∠TDB′＝90°，∠DB′H+∠TDB′＝90°，
∴∠CBB′＝∠MDP＝∠DB′H，
∴sin∠CBB′＝sin′MDP＝sin∠DB′H=CB'BB'=55，
∴PM＝DM×55=21105，DP＝2PM=2155，DH=55×6=655，
∴DQ=1255，
∴PQ＝PD﹣DQ=2155−1255=955．
故答案为955．
三、解答题：（本大题共3个小题，21题8分，22题6分，23题8分，共22分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
21．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）2xx−5−1x=2．
【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝1，
配方得：x2+4x+4＝5，即（x+2）2＝5，
开方得：x+2＝±5，
解得：x1＝﹣2+5，x2＝﹣2−5；
（2）去分母得：2x2﹣x+5＝2x2﹣10x，
解得：x=−59，
经检验x=−59是分式方程的解．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC=32，BC＝12，求cosB的值．
【解答】解：∵tanC=ADCD=6CD=32，
∴CD＝4．
∴BD＝12﹣4＝8．
在Rt△ABD中，
AB=AD2+BD2
＝10．
∴cosB=BDAB=45．
23．（8分）先化简，再求值：(a+1a−1−aa+1)÷3a2+aa2−2a+1−1a，其中a是方程2x2+2x﹣3＝0的根．
【解答】解：(a+1a−1−aa+1)÷3a2+aa2−2a+1−1a
=(a+1)2−a(a−1)(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a(3a+1)−1a
=a2+2a+1−a2+aa+1⋅a−1a(3a+1)−1a
=3a+1a+1⋅a−1a(3a+1)−1a
=a−1a(a+1)−1a
=a−1−(a+1)a(a+1)
=a−1−a−1a2+a
=−2a2+a，
∵a是方程2x2+2x﹣3＝0的根，
∴2a2+2a﹣3＝0，
∴2a2+2a＝3，
∴a2+a=32，
∴原式=−232=−43．
四、解答题：（本大题共3个小题，24题10分，25题8分，26题10分，共28分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
24．（10分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）被调查的学生一共有 50 人；
（2）请补全条形统计图，若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有 250 名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
【解答】解：（1）被调查的学生一共有8÷16%＝50（人）；
故答案为：50；
（2）C类的人数有：50﹣5﹣16﹣8＝21（人），补全统计图如下：
2500×550=250（人），
答：初二年级大约有250名学生已掌握3项训练技巧；
故答案为：250；
（3）将同一个班的2名学生均记为A，其他记为B、C、D，
列表如下：
A
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表可知，共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的有2种结果，
所以所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为220=110．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=12，与反比例函数y=ax（a≠0）的图象交于P（﹣2，m），Q（n，﹣1）两点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式kx+2≥ax的解集．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，因此点B（0，2），即OB＝2，
∵tan∠BAO=12，OB＝2，
∴OA＝4，即点A（4，0），
把A（4，0），代入一次函数y＝kx+2得，4k+2＝0，解得k=−12，
∴一次函数的关系式为y=−12x+2，
P（﹣2，m），Q（n，﹣1）代入y=−12x+2得，m＝3，n＝6，
∴P（﹣2，3），Q（6，﹣1）
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y=−6x，
答：反比例函数的关系式为y=−6x；
（2）S△POQ＝S△POA+S△QOA=12×4×（3+1）＝8，
答：△OPQ的面积为8；
（3）不等式kx+2≥ax的解集，就是一次函数的图象在反比例函数图象上方时，相应的x的取值范围，
∴x≤﹣2或0＜x≤6，
26．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=4x+2+1(x＞−1)x+6(x≤−1)的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）如表是y与x的几对对应值：
x
…
﹣7
﹣5
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
a
5
3
73
b
95
53
…
其中a＝ 1 ，b＝ 2 ；
（2）函数图象与y轴的交点坐标是 （0，3） ；
（3）在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（4）结合图象，写出函数的一条性质： 函数有最大值5 ；
（5）观察函数图象，将直线y＝﹣x向上平移m个单位，使得平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则m的值是 3或4 ．
【解答】解：（1）当x＝﹣5时，y＝x+6＝1，
当x＝2时，y=4x+2+1＝2，
∴a＝1，b＝2，
故答案为：1，2；
（2）∵当x＝0时，y＝3，
∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，3），
故答案为（0，3）；
（3）如图：
（4）观察函数图象，可知：函数有最大值5，
故答案为：函数有最大值5；
（5）将直线y＝﹣x向上平移m个单位，得到y＝﹣x+m，若平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则直线y＝﹣x+m经过点（﹣1，5），
∴5＝1+m，
∴m＝4，
此时直线经过函数y=4x+2+1图象是（2，2）和 （﹣1，5）两点，
由﹣x+m=4x+2+1，整理得，x2+（3﹣m）x+6﹣2m＝0，
当△＝0时，平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，
△＝（3﹣m）2﹣4（6﹣2m）＝0，解得m＝3或m＝﹣5（舍去），
综上，符合题意的m的值为3或4，
故答案为3或4．
五、解答题：（本大题共3个小题，27题10分，28题10分，29题8分，共28分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
27．（10分）农历五月初五是中华民族的传统节日﹣﹣端午节，五月份开始某蛋糕店特别推出“紫米八宝”和“青豆腊肉”两种口味的粽子，其中“青豆腊肉”粽的销售单价是“紫米八宝”粽的1.2倍，用450元单独购买“紫米八宝”粽比单独购买“青豆腊肉”粽要多3千克．
（1）求“紫米八宝”粽和“青豆腊肉”粽的销售单价各是多少；
（2）五月份“紫米八宝”粽的销售量为275千克，“青豆腊肉”的销售量为200千克，为了回馈客户，六月份时，“紫米八宝”粽的销售价格比五月份的价格下调了12a%（其中0＜a＜50），销售量比五月份增加了85千克；“青豆腊肉”粽的销售价格比五月份的价格下调了a%，销售量比五月份增加了52a%，最终六月份“紫米八宝”粽的销售总额比“青豆腊肉”粽的销售总额多了900元，求a的值．
【解答】解：（1）设“紫米八宝”粽的销售单价为x元，则“青豆腊肉”粽的销售单价为1.2元，
依题意，得：450x−4501.2x=3，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝30．
答：“紫米八宝”粽的销售单价为25元，“青豆腊肉”粽的销售单价为30元．
（2）依题意，得：25（1−12a%）×（275+85）﹣30（1﹣a%）×200（1+52a%）＝900，
整理，得：a2﹣90a+1400＝0，
解得：a1＝20，a2＝70（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
28．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F．
（1）如图1，连接AC，若AB＝AE＝6，BC：CE＝5：2，求△ACE的面积；
（2）如图2，延长AE至点G，连接AG、DG，点H在BD上，且BF＝DH，AF＝AH，过A作AM⊥DG于点M．若∠ABG+∠ADG＝180°，求证：BG+GD=3AG．
【解答】解：（1）过A点作AM⊥BE于点M，
∵AB＝AE＝6，
∴BM＝ME=12BE，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM=12AB=3，
∴AM=AB2−BM2=33，
∵BC：CE＝5：2，
∴CE=23BE=23×6=4，
∴S△ACE=12CE⋅AM=12×4×33=63；
（2）∵AF＝AH，
∴∠AFH＝∠AHF，
∴∠AFB＝∠AHD，
∵BF＝DH，
∴△ABF≌△ADH（SAS），
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
将△ABG绕点A逆时针旋转120°，得△ADG′，则∠DAG′＝∠BAG，∠ADG′＝∠ABG，BG＝DG′，AG＝AG′，
∵∠ABG+∠ADG＝180°，
∴∠ADG′+∠ADG＝180°，
∴G、D、G′三点共线，
∴GG′＝GD+DG′＝DG+BG，
∵∠GAD+∠DAG′＝∠GAD+∠BAG，
∴∠GAG′＝∠BAD＝120°，
∴∠AGG′＝∠AG′G＝30°，
∵AM⊥GG′，
∴GM＝G′M，AM=12AG，
∴GM=AG2−AM2=AG2−14AG2=32AG，
∴GG'=2GM=3AG，
∴BG+GD=3AG．
29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y=−12x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后经过点D（0，2）得到直线l2，交x轴于点C，过点C作直线CE交直线l1于点E，且EA＝EC．
（1）求直线CE的解析式；
（2）如图2，将△AOB绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°），旋转中的△AOB记为△A'OB'，当线段A'B'交y轴正半轴于点G，且∠A′＝∠A'OG时，将△A'OG沿直线CD方向平移，平移中的△A'OG记为A″O′G'，将线段OG沿x轴正半轴方向平移5个单位长度得到线段O″G″．在平移过程中，平面内是否存在点R，使以点R、O″、G″、A″为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合条件的点A″的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥x轴于点F，如图1，
∵直线l1：y=−12x﹣1分别与x轴交于点A，
∴A（﹣2，0），
设直线l2的解析式为y=−12x+b，
将D（0，2）代入y=−12x+b，得b＝2，
∴直线l2的解析式为y=−12x+2，
∴C（4，0），
∵AE＝CE，
∴F（1，0），
把x＝1代入y=−12x﹣1中，得，y=−32，
∴E（1，−32），
设直线CE的解析式为：y＝mx+n（m≠0），则
4m+n=0m+n=−32，
解得，m=12n=−2，
∴直线CE的解析式为：y=12x﹣2；
（2）∵∠A′＝∠A'OG，
∴OG＝GA′，
∵∠A′+∠B′＝∠A′OG+∠B′OG＝90°，
∴∠B′＝∠B′OG，
∴OG＝GB′，
∴OG=12A'B'=12AB=1222+12=125，
∴G(0，125)，
过A′作A′M⊥x轴于M，过B′作B′N⊥x轴于N，
设A′（a，b），则A′M＝b，OM＝a，
∵∠A′OB′＝90°，
∴∠A′OM+∠B′ON＝∠A′OM+∠OA′M＝90°，
∴∠OA′M＝∠B′ON，
∵∠A′MO＝∠ONB′＝90°，
∴△A′OM∽△OB′N，
∴A'MON=OMB'N=OA'B'O=OAOB=2，
∴ON=12A′M=12b，B′N=12OM=12a，
∴B′（−12b，12a），
∵A′B′的中点G（0，125）
∴a−12b2=0b+12a2=125，
解得，a=255b=455，
∴A′（255，455），
设直线A′A″的解析式为y=−12x+b，把A′（255，455）代入，得
455=−12×255+b，
解得，b=5，
∴直线A′A″的解析式为y=−12x+5，
∵将线段OG沿x轴正半轴方向平移5个单位长度得到线段O″G″．
∴G″（5，125），
则G″恰好在直线A′A″上，
当O″G″为菱形的对角线时，如图，A″R⊥G″O″，
此时A″的纵坐标为：y=145，
把y=145代入y=−12x+5中，得x=325，
∴A″（325，145）；
当O″A″为菱形的对角线时，如图，
此时，G″A″＝G″O″，有(m−5)2+(−12m+5−125)2=(125)2，
解得，m=5±1，
∴A″（5+1，125−12），或A″（5−1，125+12）；
当G″A″为菱形的对角线时，如图，
此时，O″A″＝O″G″，有(m−5)2+(−12m+5)2=(125)2，
解得，m=5（舍），或m=755，
∴A″（755，3105），
综上，平面内存在点R，使以点R、O″、G″、A″为顶点的四边形是菱形，其A″点的坐标为A″（325，145）或A″（5+1，125−12），或A″（5−1，125+12），A″（755，3105），
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