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2019-2020学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．a3•a3＝a9 D．a3+a3＝a6
2．（4分）在以下节能、回收、绿色食品、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）计算：（3x）2的结果是（ ）
A．3x2 B．9x2 C．6x D．9x
4．（4分）任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，若∠AOC＝24°，则∠DOE的度数是（ ）
A．24° B．54° C．66° D．76°
6．（4分）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
7．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（ ）
A．BD B．BE C．CE D．CF
8．（4分）为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
9．（4分）在一段笔直的道路AB上，小李从A地出发，跑到B地，然后返回A地．小李距A地的距离y/m与其出发的时间x/分钟的关系，如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．A，B两地的距离为1000m
B．小李从A出发，4分钟跑到B地
C．小李从B返回A地时，每分钟跑m
D．小李到达B地后，休息了1分钟后返回A地
10．（4分）如图，AB∥EF，∠D＝90°，则α，β，γ的大小关系是（ ）
A．β＝α+γ B．β＝α+γ﹣90° C．β＝γ+90°﹣α D．β＝α+90°﹣γ
11．（4分）如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为a，b的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（ ）
A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab
12．（4分）数学兴趣小组在一次数学活动课上，用一张面积为100cm2的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并合作完成了如图2所示的作品．请计算图中①和②的面积之和是（ ）
A．12.5 cm2 B．25 cm2 C．37.5 cm2 D．50 cm2
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算x6÷x2＝ ．
14．（4分）新冠病毒是病毒的一种，病毒的体积微小，一般在电镜下才能见到．在病毒中，有一种病毒直径约0.000 000 021m，请用科学记数法把数0.000 000 021m表示出来 ．
15．（4分）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
16．（4分）在△ABC中，用直尺和圆规在边BC上确定了一点D，并连接AD．若∠C＝37°，根据作图痕迹，可求出∠ADB的度数是 度．
17．（4分）观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
…
根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是
18．（4分）我们知道，一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，其中0＜a≤9，0≤b≤9，且a，b都为整数，这个两位数可以表示为10a+b．观察下列各式：
2323÷101＝23，4545÷101＝45，5151÷101＝51，7979÷101＝79，……，
根据以上等式，猜想：（1010a+101b）÷（10a+b）＝
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；
（2）（a+b）（a﹣b）+（2ab3﹣4a2b2）÷2ab．
20．（10分）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段m，n，∠β．
求作：△ABC，使AB＝m，BC＝n，∠ABC＝∠β（保留作图痕迹，不写作法）．
21．（10分）疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数m
100
200
500
1000
1500
2000
落在“抽纸”的次数n
51
99
251
502
750
1002
落在“抽纸”的频率
（1）完成上表；
（2）请估计，当m很大时，频率是多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？
22．（10分）如图，AC平分∠MAE，AE交DB于点F．
（1）若AB∥CE，∠BAE＝50°，求∠ACE的度数；
（2）若∠AFB＝∠CAM，说明∠ACE＝∠BDE的理由．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
24．（10分）为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费，设每户家庭用水量为x吨时，应交水费y元．
如图，是用水量不大于a吨时，所交的水费y/元与用水量x/吨之间的关系．
当用水量x＞a时，所交的水费y/元与用水量x/吨之间的关系如下表所示．
用水量x/吨
21
22
23
24
25
26
27
…
水费y/元
42.8
45.6
48.4
51.2
54
56.8
59.6
…
（1）直接写出a的值，并分别求出0≤x≤a和x＞a时，y与x之间的关系式；
（2）小颖家4月、5月分别交水费38元，68元，问小颖家5月份比4月份多用多少吨水？
25．（10分）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图所示，在街道l的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD．现准备在街道l旁设置一个快递中转站．
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A＝∠BPD时，请说明AC+BD＝CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
2019-2020学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．a3•a3＝a9 D．a3+a3＝a6
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，正确；
B、a3•a3＝a6，故此选项错误；
C、a3•a3＝a6，故此选项错误；
D、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
故选：A．
2．（4分）在以下节能、回收、绿色食品、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．（4分）计算：（3x）2的结果是（ ）
A．3x2 B．9x2 C．6x D．9x
【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案．
【解答】解：（3x）2＝9x2．
故选：B．
4．（4分）任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，
∴任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是：＝．
故选：A．
5．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，若∠AOC＝24°，则∠DOE的度数是（ ）
A．24° B．54° C．66° D．76°
【分析】根据对顶角相等求∠BOD，由垂直的性质求∠BOE，根据∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求解．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝24°，
∴∠BOD＝∠AOC＝24°．
∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣24°＝66°．
故选：C．
6．（4分）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】解：根据平方差得（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1，所以C答案错误．
故选：C．
7．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（ ）
A．BD B．BE C．CE D．CF
【分析】直接利用三角形高的定义分析得出答案．
【解答】解：如图所示：只有线段BE是△ABC的边AC上的高．
故选：B．
8．（4分）为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【分析】根据SAS即可证明△ACB≌△ACD，由此即可解决问题．
【解答】解：在△ACB和△ACD中，，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．
故选：A．
9．（4分）在一段笔直的道路AB上，小李从A地出发，跑到B地，然后返回A地．小李距A地的距离y/m与其出发的时间x/分钟的关系，如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．A，B两地的距离为1000m
B．小李从A出发，4分钟跑到B地
C．小李从B返回A地时，每分钟跑m
D．小李到达B地后，休息了1分钟后返回A地
【分析】据函数图象中的数据逐一分析即可求出正确选项．
【解答】解：由图象可知，
A，B两地的距离为1000m，故选项A不合题意；
小李从A出发，4分钟跑到B地，故选项B不合题意；
小李从B返回A地时，速度为：1000÷（10﹣5）＝200（m/min），故选项C符合题意；
小李到达B地后，休息了1分钟后返回A地，故选项D不合题意．
故选：C．
10．（4分）如图，AB∥EF，∠D＝90°，则α，β，γ的大小关系是（ ）
A．β＝α+γ B．β＝α+γ﹣90° C．β＝γ+90°﹣α D．β＝α+90°﹣γ
【分析】如图，过点C和点D作CG∥AB，DH∥AB，可得CG∥DH∥AB，根据AB∥EF，可得AB∥EF∥CG∥DH，再根据平行线的性质即可得γ+β﹣α＝90°，进而可得结论．
【解答】解：如图，过点C和点D作CG∥AB，DH∥AB，
∴CG∥DH∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CG∥DH，
∵CG∥AB，
∴∠BCG＝α，
∴∠GCD＝∠BCD﹣∠BCG＝β﹣α，
∵CG∥DH，
∴∠CDH＝∠GCD＝β﹣α，
∵HD∥EF，
∴∠HDE＝γ，
∵∠EDC＝∠HDE+∠CDH＝90°，
∴γ+β﹣α＝90°，
∴β＝α+90°﹣γ．
故选：D．
11．（4分）如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为a，b的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（ ）
A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab
【分析】根据面积之间的关系用代数式表示，化简即可．
【解答】解：由题意得，S阴影部分＝S正方形﹣4S三角形＝（a+b）2﹣ab×4＝a2+2ab+b2﹣2ab═a2+b2，
故选：C．
12．（4分）数学兴趣小组在一次数学活动课上，用一张面积为100cm2的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并合作完成了如图2所示的作品．请计算图中①和②的面积之和是（ ）
A．12.5 cm2 B．25 cm2 C．37.5 cm2 D．50 cm2
【分析】由七巧板的制作过程可知，①和②都是正方形的，依此可求图中①和②的面积之和．
【解答】解：100×（+）
＝100×
＝25（cm2）．
故图中①和②的面积之和是25cm2．
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算x6÷x2＝ x4 ．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减解答．
【解答】解：x6÷x2＝x6﹣2＝x4．
14．（4分）新冠病毒是病毒的一种，病毒的体积微小，一般在电镜下才能见到．在病毒中，有一种病毒直径约0.000 000 021m，请用科学记数法把数0.000 000 021m表示出来 2.1×10﹣8m ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 021m＝2.1×10﹣8m；
故答案为：2.1×10﹣8m．
15．（4分）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（20块）的＝，
则它最终停留在黑色方砖上的概率是，
故答案为：．
16．（4分）在△ABC中，用直尺和圆规在边BC上确定了一点D，并连接AD．若∠C＝37°，根据作图痕迹，可求出∠ADB的度数是 74 度．
【分析】由作图可知，DE垂直平分线段AC，推出DA＝DC，利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝37°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝74°，
故答案为74．
17．（4分）观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
…
根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是 35
【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）7的展开式中第四项的系数．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
依据规律可得到：
（a+b）5的系数为1，5，10，10，5，1，
（a+b）6的系数为1，6，15，20，15，6，1，
（a+b）7的系数为1，7，21，35，35，21，7，1．
所以（a+b）7的展开式中第四项的系数是35，
故答案为：35．
18．（4分）我们知道，一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，其中0＜a≤9，0≤b≤9，且a，b都为整数，这个两位数可以表示为10a+b．观察下列各式：
2323÷101＝23，4545÷101＝45，5151÷101＝51，7979÷101＝79，……，
根据以上等式，猜想：（1010a+101b）÷（10a+b）＝ 101
【分析】观察算式可知，一个两位数十位数字的1010倍与个位数字的1010倍的和除以这个两位数，商是101，依此即可求解．
【解答】解：由分析可知：（1010a+101b）÷（10a+b）＝101．
故答案为：101．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；
（2）（a+b）（a﹣b）+（2ab3﹣4a2b2）÷2ab．
【分析】（1）原式利用单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式，以及多项式除以单项式法则计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+x2+2xy+y2
＝2x2+y2；
（2）原式＝a2﹣b2+b2﹣2ab
＝a2﹣2ab．
20．（10分）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段m，n，∠β．
求作：△ABC，使AB＝m，BC＝n，∠ABC＝∠β（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】先作∠MBN＝∠β，在BM上截取BA＝m，BN上截取BC＝n，连接AC得到△ABC．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
21．（10分）疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数m
100
200
500
1000
1500
2000
落在“抽纸”的次数n
51
99
251
502
750
1002
落在“抽纸”的频率
（1）完成上表；
（2）请估计，当m很大时，频率是多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？
【分析】（1）分别计算出对应的的值；
（2）利用计算的结果可估计m很大，频率越来越接近0.5；
（3）利用频率根据概率求解．
【解答】解：（1）表格中的数据，从左到右依次为0.51，0.495，0.502，0.502，0.5，0.501；
（2）当转动转盘的次数m很大时，指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；
（3）从表中的数据可知，获得“抽纸”的概率为0.5．
22．（10分）如图，AC平分∠MAE，AE交DB于点F．
（1）若AB∥CE，∠BAE＝50°，求∠ACE的度数；
（2）若∠AFB＝∠CAM，说明∠ACE＝∠BDE的理由．
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质，求解即可；
（2）利用平行线的性质求证即可．
【解答】解：（1）∵AC平分∠MAE，
∴∠MAC＝∠EAC．
∵∠BAE＝50°，
∴∠MAC＝∠EAC＝65°．
∵AB∥CE，
∴∠ACE＝∠MAC＝65°．
（2）∵∠AFB＝∠CAM，
∴∠AFB＝∠EAC．
∴AC∥BD．
∴∠ACE＝∠BDE．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和定理求出∠BAD＝40°，求出∠CAE＝40°，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定推出△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，求出∠ADE＝∠ADB即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝40°，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE＝40°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝40°；
（2）AD平分∠BDE，
理由是：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
∴∠B＝∠ADE，
∵∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
即AD平分∠BDE．
24．（10分）为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费，设每户家庭用水量为x吨时，应交水费y元．
如图，是用水量不大于a吨时，所交的水费y/元与用水量x/吨之间的关系．
当用水量x＞a时，所交的水费y/元与用水量x/吨之间的关系如下表所示．
用水量x/吨
21
22
23
24
25
26
27
…
水费y/元
42.8
45.6
48.4
51.2
54
56.8
59.6
…
（1）直接写出a的值，并分别求出0≤x≤a和x＞a时，y与x之间的关系式；
（2）小颖家4月、5月分别交水费38元，68元，问小颖家5月份比4月份多用多少吨水？
【分析】（1）根据图象可知a＝20．根据图象可知，当0≤x≤20时，每吨水的费用为2元．根据表格可知，当x＞20时，用水量每增加1吨，费用增加2.8元，据此即可得出y与x之间的关系式；
（2）分别代入（1）中的函数关系式计算即可．
【解答】解：（1）从图象和表格可知，a＝20．
从图象可知，每吨水的费用为2元．
所以，当0≤x≤20时，y＝2x．
从表格中可知，用水量每增加1吨，费用增加2.8元，
所以，当x＞20时，y＝2×20+2.8×（x﹣20）＝2.8x﹣16，
即当x＞20时，y＝2.8x﹣16．
（2）当y＝38时，0＜x＜20，
所以，2x＝38．
解方程，得x＝19．
当y＝68时，x＞20，
所以，2.8x﹣16＝68．
解方程，得x＝30.30﹣19＝11．
答：小颖家5月份比4月份多用11吨水．
25．（10分）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED＝∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE＝DF；
（2）作辅助线，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE＝DG，BE＝CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF＝GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．
【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，
理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠CDF＝60°．
∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF＝FC+CG＝FC+BE．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图所示，在街道l的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD．现准备在街道l旁设置一个快递中转站．
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A＝∠BPD时，请说明AC+BD＝CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
【分析】（1）先判断出∠ACP＝∠BDP＝90°，进而判断出△ACP≌△PDB，即可得出结论；
（2）先确定出点A关于直线l的对称点，连接A'B，即可找出点P的位置，利用对称性和平行线的性质即可得出结论；
（3）连接BA交直线l于点P，利用平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC，BD分别是点A，B到直线l的距离，
∴∠ACP＝∠BDP＝90°，
在△ACP和△PDB中，，
∴△ACP≌△PDB（AAS），
∴AC＝PD，PC＝BD，
∴CD＝CP+PD＝BD+AC；
（2）如图2所示，∠A＝∠B，
理由：由作图知，
AC＝A'C，AA'⊥l，
∴∠A＝∠A'，
∵AA'∥BD，
∴∠A'＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）如答图3所示，∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD．
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．a3•a3＝a9 D．a3+a3＝a6
2．（4分）在以下节能、回收、绿色食品、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）计算：（3x）2的结果是（ ）
A．3x2 B．9x2 C．6x D．9x
4．（4分）任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，若∠AOC＝24°，则∠DOE的度数是（ ）
A．24° B．54° C．66° D．76°
6．（4分）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
7．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（ ）
A．BD B．BE C．CE D．CF
8．（4分）为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
9．（4分）在一段笔直的道路AB上，小李从A地出发，跑到B地，然后返回A地．小李距A地的距离y/m与其出发的时间x/分钟的关系，如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．A，B两地的距离为1000m
B．小李从A出发，4分钟跑到B地
C．小李从B返回A地时，每分钟跑m
D．小李到达B地后，休息了1分钟后返回A地
10．（4分）如图，AB∥EF，∠D＝90°，则α，β，γ的大小关系是（ ）
A．β＝α+γ B．β＝α+γ﹣90° C．β＝γ+90°﹣α D．β＝α+90°﹣γ
11．（4分）如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为a，b的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（ ）
A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab
12．（4分）数学兴趣小组在一次数学活动课上，用一张面积为100cm2的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并合作完成了如图2所示的作品．请计算图中①和②的面积之和是（ ）
A．12.5 cm2 B．25 cm2 C．37.5 cm2 D．50 cm2
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算x6÷x2＝ ．
14．（4分）新冠病毒是病毒的一种，病毒的体积微小，一般在电镜下才能见到．在病毒中，有一种病毒直径约0.000 000 021m，请用科学记数法把数0.000 000 021m表示出来 ．
15．（4分）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
16．（4分）在△ABC中，用直尺和圆规在边BC上确定了一点D，并连接AD．若∠C＝37°，根据作图痕迹，可求出∠ADB的度数是 度．
17．（4分）观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
…
根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是
18．（4分）我们知道，一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，其中0＜a≤9，0≤b≤9，且a，b都为整数，这个两位数可以表示为10a+b．观察下列各式：
2323÷101＝23，4545÷101＝45，5151÷101＝51，7979÷101＝79，……，
根据以上等式，猜想：（1010a+101b）÷（10a+b）＝
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；
（2）（a+b）（a﹣b）+（2ab3﹣4a2b2）÷2ab．
20．（10分）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段m，n，∠β．
求作：△ABC，使AB＝m，BC＝n，∠ABC＝∠β（保留作图痕迹，不写作法）．
21．（10分）疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数m
100
200
500
1000
1500
2000
落在“抽纸”的次数n
51
99
251
502
750
1002
落在“抽纸”的频率
（1）完成上表；
（2）请估计，当m很大时，频率是多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？
22．（10分）如图，AC平分∠MAE，AE交DB于点F．
（1）若AB∥CE，∠BAE＝50°，求∠ACE的度数；
（2）若∠AFB＝∠CAM，说明∠ACE＝∠BDE的理由．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
24．（10分）为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费，设每户家庭用水量为x吨时，应交水费y元．
如图，是用水量不大于a吨时，所交的水费y/元与用水量x/吨之间的关系．
当用水量x＞a时，所交的水费y/元与用水量x/吨之间的关系如下表所示．
用水量x/吨
21
22
23
24
25
26
27
…
水费y/元
42.8
45.6
48.4
51.2
54
56.8
59.6
…
（1）直接写出a的值，并分别求出0≤x≤a和x＞a时，y与x之间的关系式；
（2）小颖家4月、5月分别交水费38元，68元，问小颖家5月份比4月份多用多少吨水？
25．（10分）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图所示，在街道l的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD．现准备在街道l旁设置一个快递中转站．
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A＝∠BPD时，请说明AC+BD＝CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
2019-2020学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．a3•a3＝a9 D．a3+a3＝a6
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，正确；
B、a3•a3＝a6，故此选项错误；
C、a3•a3＝a6，故此选项错误；
D、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
故选：A．
2．（4分）在以下节能、回收、绿色食品、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．（4分）计算：（3x）2的结果是（ ）
A．3x2 B．9x2 C．6x D．9x
【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案．
【解答】解：（3x）2＝9x2．
故选：B．
4．（4分）任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，
∴任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是：＝．
故选：A．
5．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，若∠AOC＝24°，则∠DOE的度数是（ ）
A．24° B．54° C．66° D．76°
【分析】根据对顶角相等求∠BOD，由垂直的性质求∠BOE，根据∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求解．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝24°，
∴∠BOD＝∠AOC＝24°．
∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣24°＝66°．
故选：C．
6．（4分）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】解：根据平方差得（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1，所以C答案错误．
故选：C．
7．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（ ）
A．BD B．BE C．CE D．CF
【分析】直接利用三角形高的定义分析得出答案．
【解答】解：如图所示：只有线段BE是△ABC的边AC上的高．
故选：B．
8．（4分）为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【分析】根据SAS即可证明△ACB≌△ACD，由此即可解决问题．
【解答】解：在△ACB和△ACD中，，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．
故选：A．
9．（4分）在一段笔直的道路AB上，小李从A地出发，跑到B地，然后返回A地．小李距A地的距离y/m与其出发的时间x/分钟的关系，如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．A，B两地的距离为1000m
B．小李从A出发，4分钟跑到B地
C．小李从B返回A地时，每分钟跑m
D．小李到达B地后，休息了1分钟后返回A地
【分析】据函数图象中的数据逐一分析即可求出正确选项．
【解答】解：由图象可知，
A，B两地的距离为1000m，故选项A不合题意；
小李从A出发，4分钟跑到B地，故选项B不合题意；
小李从B返回A地时，速度为：1000÷（10﹣5）＝200（m/min），故选项C符合题意；
小李到达B地后，休息了1分钟后返回A地，故选项D不合题意．
故选：C．
10．（4分）如图，AB∥EF，∠D＝90°，则α，β，γ的大小关系是（ ）
A．β＝α+γ B．β＝α+γ﹣90° C．β＝γ+90°﹣α D．β＝α+90°﹣γ
【分析】如图，过点C和点D作CG∥AB，DH∥AB，可得CG∥DH∥AB，根据AB∥EF，可得AB∥EF∥CG∥DH，再根据平行线的性质即可得γ+β﹣α＝90°，进而可得结论．
【解答】解：如图，过点C和点D作CG∥AB，DH∥AB，
∴CG∥DH∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CG∥DH，
∵CG∥AB，
∴∠BCG＝α，
∴∠GCD＝∠BCD﹣∠BCG＝β﹣α，
∵CG∥DH，
∴∠CDH＝∠GCD＝β﹣α，
∵HD∥EF，
∴∠HDE＝γ，
∵∠EDC＝∠HDE+∠CDH＝90°，
∴γ+β﹣α＝90°，
∴β＝α+90°﹣γ．
故选：D．
11．（4分）如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为a，b的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（ ）
A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab
【分析】根据面积之间的关系用代数式表示，化简即可．
【解答】解：由题意得，S阴影部分＝S正方形﹣4S三角形＝（a+b）2﹣ab×4＝a2+2ab+b2﹣2ab═a2+b2，
故选：C．
12．（4分）数学兴趣小组在一次数学活动课上，用一张面积为100cm2的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并合作完成了如图2所示的作品．请计算图中①和②的面积之和是（ ）
A．12.5 cm2 B．25 cm2 C．37.5 cm2 D．50 cm2
【分析】由七巧板的制作过程可知，①和②都是正方形的，依此可求图中①和②的面积之和．
【解答】解：100×（+）
＝100×
＝25（cm2）．
故图中①和②的面积之和是25cm2．
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算x6÷x2＝ x4 ．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减解答．
【解答】解：x6÷x2＝x6﹣2＝x4．
14．（4分）新冠病毒是病毒的一种，病毒的体积微小，一般在电镜下才能见到．在病毒中，有一种病毒直径约0.000 000 021m，请用科学记数法把数0.000 000 021m表示出来 2.1×10﹣8m ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 021m＝2.1×10﹣8m；
故答案为：2.1×10﹣8m．
15．（4分）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（20块）的＝，
则它最终停留在黑色方砖上的概率是，
故答案为：．
16．（4分）在△ABC中，用直尺和圆规在边BC上确定了一点D，并连接AD．若∠C＝37°，根据作图痕迹，可求出∠ADB的度数是 74 度．
【分析】由作图可知，DE垂直平分线段AC，推出DA＝DC，利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝37°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝74°，
故答案为74．
17．（4分）观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
…
根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是 35
【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）7的展开式中第四项的系数．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
依据规律可得到：
（a+b）5的系数为1，5，10，10，5，1，
（a+b）6的系数为1，6，15，20，15，6，1，
（a+b）7的系数为1，7，21，35，35，21，7，1．
所以（a+b）7的展开式中第四项的系数是35，
故答案为：35．
18．（4分）我们知道，一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，其中0＜a≤9，0≤b≤9，且a，b都为整数，这个两位数可以表示为10a+b．观察下列各式：
2323÷101＝23，4545÷101＝45，5151÷101＝51，7979÷101＝79，……，
根据以上等式，猜想：（1010a+101b）÷（10a+b）＝ 101
【分析】观察算式可知，一个两位数十位数字的1010倍与个位数字的1010倍的和除以这个两位数，商是101，依此即可求解．
【解答】解：由分析可知：（1010a+101b）÷（10a+b）＝101．
故答案为：101．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；
（2）（a+b）（a﹣b）+（2ab3﹣4a2b2）÷2ab．
【分析】（1）原式利用单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式，以及多项式除以单项式法则计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+x2+2xy+y2
＝2x2+y2；
（2）原式＝a2﹣b2+b2﹣2ab
＝a2﹣2ab．
20．（10分）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段m，n，∠β．
求作：△ABC，使AB＝m，BC＝n，∠ABC＝∠β（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】先作∠MBN＝∠β，在BM上截取BA＝m，BN上截取BC＝n，连接AC得到△ABC．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
21．（10分）疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数m
100
200
500
1000
1500
2000
落在“抽纸”的次数n
51
99
251
502
750
1002
落在“抽纸”的频率
（1）完成上表；
（2）请估计，当m很大时，频率是多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？
【分析】（1）分别计算出对应的的值；
（2）利用计算的结果可估计m很大，频率越来越接近0.5；
（3）利用频率根据概率求解．
【解答】解：（1）表格中的数据，从左到右依次为0.51，0.495，0.502，0.502，0.5，0.501；
（2）当转动转盘的次数m很大时，指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；
（3）从表中的数据可知，获得“抽纸”的概率为0.5．
22．（10分）如图，AC平分∠MAE，AE交DB于点F．
（1）若AB∥CE，∠BAE＝50°，求∠ACE的度数；
（2）若∠AFB＝∠CAM，说明∠ACE＝∠BDE的理由．
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质，求解即可；
（2）利用平行线的性质求证即可．
【解答】解：（1）∵AC平分∠MAE，
∴∠MAC＝∠EAC．
∵∠BAE＝50°，
∴∠MAC＝∠EAC＝65°．
∵AB∥CE，
∴∠ACE＝∠MAC＝65°．
（2）∵∠AFB＝∠CAM，
∴∠AFB＝∠EAC．
∴AC∥BD．
∴∠ACE＝∠BDE．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和定理求出∠BAD＝40°，求出∠CAE＝40°，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定推出△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，求出∠ADE＝∠ADB即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝40°，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE＝40°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝40°；
（2）AD平分∠BDE，
理由是：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
∴∠B＝∠ADE，
∵∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
即AD平分∠BDE．
24．（10分）为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费，设每户家庭用水量为x吨时，应交水费y元．
如图，是用水量不大于a吨时，所交的水费y/元与用水量x/吨之间的关系．
当用水量x＞a时，所交的水费y/元与用水量x/吨之间的关系如下表所示．
用水量x/吨
21
22
23
24
25
26
27
…
水费y/元
42.8
45.6
48.4
51.2
54
56.8
59.6
…
（1）直接写出a的值，并分别求出0≤x≤a和x＞a时，y与x之间的关系式；
（2）小颖家4月、5月分别交水费38元，68元，问小颖家5月份比4月份多用多少吨水？
【分析】（1）根据图象可知a＝20．根据图象可知，当0≤x≤20时，每吨水的费用为2元．根据表格可知，当x＞20时，用水量每增加1吨，费用增加2.8元，据此即可得出y与x之间的关系式；
（2）分别代入（1）中的函数关系式计算即可．
【解答】解：（1）从图象和表格可知，a＝20．
从图象可知，每吨水的费用为2元．
所以，当0≤x≤20时，y＝2x．
从表格中可知，用水量每增加1吨，费用增加2.8元，
所以，当x＞20时，y＝2×20+2.8×（x﹣20）＝2.8x﹣16，
即当x＞20时，y＝2.8x﹣16．
（2）当y＝38时，0＜x＜20，
所以，2x＝38．
解方程，得x＝19．
当y＝68时，x＞20，
所以，2.8x﹣16＝68．
解方程，得x＝30.30﹣19＝11．
答：小颖家5月份比4月份多用11吨水．
25．（10分）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED＝∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE＝DF；
（2）作辅助线，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE＝DG，BE＝CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF＝GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．
【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，
理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠CDF＝60°．
∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF＝FC+CG＝FC+BE．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图所示，在街道l的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD．现准备在街道l旁设置一个快递中转站．
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A＝∠BPD时，请说明AC+BD＝CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
【分析】（1）先判断出∠ACP＝∠BDP＝90°，进而判断出△ACP≌△PDB，即可得出结论；
（2）先确定出点A关于直线l的对称点，连接A'B，即可找出点P的位置，利用对称性和平行线的性质即可得出结论；
（3）连接BA交直线l于点P，利用平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC，BD分别是点A，B到直线l的距离，
∴∠ACP＝∠BDP＝90°，
在△ACP和△PDB中，，
∴△ACP≌△PDB（AAS），
∴AC＝PD，PC＝BD，
∴CD＝CP+PD＝BD+AC；
（2）如图2所示，∠A＝∠B，
理由：由作图知，
AC＝A'C，AA'⊥l，
∴∠A＝∠A'，
∵AA'∥BD，
∴∠A'＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）如答图3所示，∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD．
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