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重庆市渝北区2020-2021学年九年级下学期定时训练数学试卷（三）（word版 含答案）
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这是一份重庆市渝北区2020-2021学年九年级下学期定时训练数学试卷（三）（word版 含答案），共36页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年九年级（下）定时训练数学试卷（三）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C.D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置.
1．（4分）sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
2．（4分）下列各图均是重庆网红打卡地，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）某一次函数的图象与y轴交于正半轴，这个一次函数的表达式可能是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝2x﹣1
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
5．（4分）估算+3的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
6．（4分）下列各项变形式，是因式分解的是（ ）
A．5﹣m2＝（5+m）（5﹣m） B．x+1＝x（1+）
C．（a﹣1）（a﹣2）＝a2﹣3a+2 D．a2+4a+4＝（a+2）2
7．（4分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
8．（4分）下列各命题是真命题的是（ ）
A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线
B．平行四边形一定是中心对称图形
C．有一个内角为60°的平行四边形是菱形
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
9．（4分）我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60 B．70 C．80 D．90
10．（4分）如果关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程＝﹣8的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（4分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，以下选项中正确的个数是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为70千米/小时；③货车的速度为45千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（4分）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，0），D为AO上一点，连接BD，CD，OB，CD与OB相交于点E，取EC的三等分点F（EF＞FC），连接OF并延长，交BC于点G，已知S△BOD：S△BOC＝2：3，反比例函数y＝（k＞0）经过D，G两点，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为 ．
14．（4分）计算：（﹣3）﹣1+＝ ．
15．（4分）两个人做游戏：每个人都从﹣，1，这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数绝对值相等的概率为 ．
16．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）△ABC中，∠BAC＝45°，D为AB上一点，BD＝10，连接CD，将△CBD沿CD翻折至△CDF，点B的对应点F点恰好落在边AC上．延长CA至点E，连接DE，若AE＝2，tan∠BCD＝，则DE长为 ．
18．（4分）为让市民感受春天，中央公园管委会决定圈出一块地打造一片花园，花园中种植桃花，樱花，李花供市民欣赏．经过一段时间，花园中已种植的桃花，樱花，李花面积之比为5：4：6．根据市民的喜爱程度，将在花园的余下空地继续种植这三种花，经测算需将余下土地面积的种植李花，则李花种植的总面积将达到这三种花种植总面积的．为使桃花种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5，则花园内种植樱花的面积与花园内种植这三种花的总面积之比是 ．
三.解答题：（本大愿7个小题，每小题10分共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）化简：
（1）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣3y）2；
（2）（﹣a﹣2）．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
21．（10分）某公司在国内有多家门店，共有600名销售人员，为了解该公司各门店销售人员上个月的销售业绩，随机抽取了甲、乙两个门店各30名销售人员在上月的销售数量，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
①数据分为五组，分别为A组：x≤40，B组：40＜x≤60，C组：60＜x≤80，D组：80＜x≤100，E组：x＞100；
②样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件；
③甲店C组数据：62，69，71，69，78，73，69，79，78，68
乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75
④两组数据的平均数、中位数、众数、极差（单位：件）如表所示：
平均数
中位数
众数
极差
甲店
70
69
69
b
乙店
70
a
69
86
⑤甲店销售数量频数分布直方图和乙店销售数量扇形统计图如下：
（1）扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为 ，中位数a＝ ，极差b＝ ；
（2）通过以上的数据分析，你认为甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；
（3）若该公司计划将上月销售数量在80件以上（不含80）的员工评为“优秀销售员”，请你估计该公司能评为“优秀销售员”的人数．
22．（10分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究．已知当x＝2时，y＝7；当x＝0时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：
（1）该函数的解析式为 ，m＝ ；n＝ ；
根据图中描出的点，画出函数图象．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
0
2
3
4
…
y
…
m
﹣3
7
n
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”．
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．（ ）
②该函数既无最大值也无最小值．（ ）
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．（ ）
（3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式﹣2x﹣2≥0的解集 ．
23．（10分）为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的A、B两个社区计划共种树78棵，已知A社区每天可以种植6棵树，B社区每天可以种植12棵树．
（1）由于人员调动，要求B社区种植天数至少是A社区种植天数的1倍，当种植结束时，A社区至多种植多少天？
（2）A、B两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问A社区最多种植天数基础上，B社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，A社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中A社区最多天数多5a%；B社区每天种植棵数下降a%，种植天数比（1）问中B社区最少种天数多（a+30）%，求a的值．
24．（10分）阅读材料，完成以下相应问题：
材料一：将一个四位数m＝（其中a、b、c、d均不相同且均不为零）进行千位与百位数字互换得到m1，再将m1的百位与十位数字互换得到m2，再将m2的十位与个位数字互换得到m3．我们称数字m3，为数字m的“车轮数”，如m＝3721，则m1＝7321．所以m2＝7231，进而m3＝7213．
材料二：一个整数能被6整除的条件是该数字是能被3整除的偶数．
一个整数能被3整除的条件是其各个数位上的数字之和能被3整除．
（1）当m＝3826时，求m的“车轮数”为多少．
（2）若m，n均为能被6整除的四位数整数，且F（m）＞＝|m1﹣m3|，T（n）＝|n﹣n2|，k＝．求F（m）被9整除所得商数最大且T（n）被90整除所得商数最小时，k的最小值．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．
（1）若BF＝4，求△ADQ的面积；
（2）求证：CH＝2BQ；
（3）如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R．当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．
2020-2021学年九年级（下）定时训练数学试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C.D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置.
1．（4分）sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°＝．
故选：C．
2．（4分）下列各图均是重庆网红打卡地，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形的定义可得答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）某一次函数的图象与y轴交于正半轴，这个一次函数的表达式可能是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝2x﹣1
【分析】把x＝0代入解析式求得y的值即可判断．
【解答】解：令x＝0，
则A、y＝﹣2x＝0，
B、y＝﹣2，
C、y＝2，
D、y＝﹣1，
∴一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于（0，2），在正半轴上．
故选：C．
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】根据邻补角的性质求得∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数，
【解答】解：∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
∴∠BDC＝∠BOC＝30°．
故选：B．
5．（4分）估算+3的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【分析】利用夹逼法可得，4＜＜5从而进一步可判断出答案．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴7＜+3＜8，即在7和8之间．
故选：C．
6．（4分）下列各项变形式，是因式分解的是（ ）
A．5﹣m2＝（5+m）（5﹣m） B．x+1＝x（1+）
C．（a﹣1）（a﹣2）＝a2﹣3a+2 D．a2+4a+4＝（a+2）2
【分析】利用因式分解的定义判断即可．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【解答】解：A、5﹣m2＝（+m）（﹣m），故此选项不符合题意；
B、x+1＝x（1+），右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、（a﹣1）（a﹣2）＝a2﹣3a+2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、a2+4a+4＝（a+2）2，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
7．（4分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以﹣即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（﹣，﹣1）．
故选：B．
8．（4分）下列各命题是真命题的是（ ）
A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线
B．平行四边形一定是中心对称图形
C．有一个内角为60°的平行四边形是菱形
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
【分析】根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．
【解答】解：A、矩形的对称轴是相邻两边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的对称轴，本选项说法是假命题；
B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项说法是真命题；
C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项说法是假命题；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项说法是假命题；
故选：B．
9．（4分）我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60 B．70 C．80 D．90
【分析】作AH⊥ED交ED的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CE、DE，根据正切的定义求出AB．
【解答】解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，
设DE＝x米，
∵CD的坡度：i＝1：2，
∴CE＝2x米，
由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（30）2，
解得，x＝30，
则DE＝30米，CE＝60米，
设AB＝y米，则HE＝y米，
∴DH＝y﹣30，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝y，
∴AH＝BE＝y+60，
在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，
则≈0.4，
解得，y＝90，
∴高楼AB的高度为90米，
故选：D．
10．（4分）如果关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程＝﹣8的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而解答即可．
【解答】解：，
不等式组化简为，
由不等式组有且只有四个整数解，得到2≤＜3，
解得：6≤a＜10，即整数a＝6，7，8，9，
，
分式方程去分母得：ax﹣28＝﹣32+8，
解得：x＝，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，a﹣8＜0，解得：a＜8，
故a＝6．
故选：A．
11．（4分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，以下选项中正确的个数是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为70千米/小时；③货车的速度为45千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲乙两地的距离为150×3＝450（千米），故①正确；
∵两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，两车相遇时正好是3小时，
∴轿车每小时比货车多行驶30千米，
∴轿车的速度为：[450÷3﹣30]÷2+30＝90（千米/小时），故②错误；
货车的速度为：[450÷3﹣30]÷2＝60（千米/小时），故③错误；
轿车到达乙地用的时间为：450÷90＝5（小时），此时两车间的距离为：60×5＝300（千米），故④正确；
由上可得，正确的是①④，
故选：B．
12．（4分）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，0），D为AO上一点，连接BD，CD，OB，CD与OB相交于点E，取EC的三等分点F（EF＞FC），连接OF并延长，交BC于点G，已知S△BOD：S△BOC＝2：3，反比例函数y＝（k＞0）经过D，G两点，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过面积比及OC的长度求出OD及CG的长度，再通过辅助线构造直角三角形，根据勾股定理及k的几何意义求解．
【解答】解：∵S△BOD：S△BOC＝2：3，S△BOA＝S△BOC，
∴OD：OA＝2：3，
∴OD：DA＝2：1，
∵OC＝OA＝3，
∴OD＝2，DA＝1．
∵OD∥CB，OD：BC＝2：3，
∴△ODE∽△BCE，
∴DE：EC＝2：3，
又∵EF：FC＝2：1，
∴DF：FC＝4：1，OD：CG＝4：1，
∴CG＝OD＝．
作DK垂直于x轴，GH垂直于x轴于点K和H．设CH长为m．
∴△DOK∽△GCH，OK：CH＝OD：CG＝4：1，
∴OK＝4m，点D坐标为（4m，），点G坐标为（3+m，）．
∴＝，解得m＝，
∵OD2＝OK2+DK2，即4＝16m2+，
将m＝代入求得k＝或k＝﹣（舍）．
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为 2.15×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：21500000＝2.15×107．
故答案为：2.15×107．
14．（4分）计算：（﹣3）﹣1+＝ ﹣+2 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣+2．
故答案为：﹣+2．
15．（4分）两个人做游戏：每个人都从﹣，1，这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数绝对值相等的概率为 ．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两数的绝对值相等的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9个等可能的结果，其中两人所写的两个数绝对值相等的结果数为5个，
∴两人所写的两个数绝对值相等的概率＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为 +π ．
【分析】如图，连接AG、EG、由题意易知△AEG是等边三角形，根据S阴＝S半圆﹣S扇形AEG﹣S弓形AmG计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AG、EG．
由题意易知△AEG是等边三角形，
S阴＝S半圆﹣S扇形AEG﹣S弓形AmG
＝π﹣﹣（﹣），
＝+π．
故答案为：+π．
17．（4分）△ABC中，∠BAC＝45°，D为AB上一点，BD＝10，连接CD，将△CBD沿CD翻折至△CDF，点B的对应点F点恰好落在边AC上．延长CA至点E，连接DE，若AE＝2，tan∠BCD＝，则DE长为 ．
【分析】构造两条高线BH，DG．在Rt△BCH和Rt△DEG中利用勾股定理解决建立方程以及三角函数来解决．
【解答】解：过点B作BH⊥AC交AC于点H，过点D作DG⊥AC交AC于点G．
设PH＝x，BP＝y．
∵tan∠BCD＝．
∴CH＝2HP＝2x．
由折叠可知，DC平分∠BCA．
∴．
∴BC＝2y．
在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2．
∴（x+y）2+（2x）2＝（2y）2．
∴y＝．
∴BC＝，BH＝BP+PH＝．
∵∠BAC＝45°，BH⊥CA．
∴AH＝BH＝，CA＝CH+AH＝2x+＝．
∴．
∴AD＝7．
∴DG＝AG＝7．
∵CE＝2．
∴EG＝7+2＝9．
在Rt△DEG中，DE＝．
18．（4分）为让市民感受春天，中央公园管委会决定圈出一块地打造一片花园，花园中种植桃花，樱花，李花供市民欣赏．经过一段时间，花园中已种植的桃花，樱花，李花面积之比为5：4：6．根据市民的喜爱程度，将在花园的余下空地继续种植这三种花，经测算需将余下土地面积的种植李花，则李花种植的总面积将达到这三种花种植总面积的．为使桃花种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5，则花园内种植樱花的面积与花园内种植这三种花的总面积之比是 11：81 ．
【分析】设该村已种花面积x，余下土地面积为y，还需种植樱花的面积为z，则总面积为（x+y），桃花已种植面积x、樱花已种植面积x，李花已种植面积x，依题意列出方程组，用y的代数式分别表示x、z，然后进行计算即可．
【解答】解：设该村已种花面积x，余下土地面积为y，还需种植樱花的面积为z，则总面积为（x+y），桃花已种植面积x、樱花已种植面积x，李花已种植面积x，
依题意可得，
，
解得：，
∴花园内种植樱花的面积是：x+＝+＝，
∴花园内种植樱花的面积与花园内种植这三种花的总面积之比是：＝，
故答案为22：81．
三.解答题：（本大愿7个小题，每小题10分共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）化简：
（1）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣3y）2；
（2）（﹣a﹣2）．
【分析】（1）先利用乘法公式展开，然后去括号合并即可；
（2）先把括号内通分和把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣y2﹣（x2﹣6xy+9y2）
＝4x2﹣y2﹣x2+6xy﹣9y2
＝3x2﹣10y2+6xy；
（2）原式＝•
＝•
＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE≌△FBE，即可得出AE＝EF，进而利用菱形的判定方法得出答案．
【解答】解：（1）如图：
（2）证明：如图，连接DF，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF，
∵AF垂直平分BD，∴BE＝DE．
在△ADE和△FBE中，，
∴△ADE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．
21．（10分）某公司在国内有多家门店，共有600名销售人员，为了解该公司各门店销售人员上个月的销售业绩，随机抽取了甲、乙两个门店各30名销售人员在上月的销售数量，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
①数据分为五组，分别为A组：x≤40，B组：40＜x≤60，C组：60＜x≤80，D组：80＜x≤100，E组：x＞100；
②样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件；
③甲店C组数据：62，69，71，69，78，73，69，79，78，68
乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75
④两组数据的平均数、中位数、众数、极差（单位：件）如表所示：
平均数
中位数
众数
极差
甲店
70
69
69
b
乙店
70
a
69
86
⑤甲店销售数量频数分布直方图和乙店销售数量扇形统计图如下：
（1）扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为 12° ，中位数a＝ 72 ，极差b＝ 88 ；
（2）通过以上的数据分析，你认为甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；
（3）若该公司计划将上月销售数量在80件以上（不含80）的员工评为“优秀销售员”，请你估计该公司能评为“优秀销售员”的人数．
【分析】（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据可以计算出扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数，a的值，极差b的值；
（2）根据表格中的数据，可以得到甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；
（3）根据题意和表格中的数据可以计算出该公司能评为“优秀销售员”的人数．
【解答】解：（1）∵乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75，
∴乙组数据中心C组中有11人，按照从小到大排列是：62，69，69，69，71，73，75，76，78，79，80，
∴扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为：360°×＝12°，
A组学生有30﹣11﹣30×（10%+20%+30%）＝1（人），B组有学生：30×30%＝9（人），
∴中位数a是C组的第5个数和第6个数的中位数，即a＝（71+73）÷2＝72，
∵样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件，乙的极差是86，
∴极差b＝86+2＝88，
故答案为：12°，72，88；
（2）乙店门店的销售人员上月的业绩更好，
理由：由表格可知，两个销售人员的平均数相同，众数相同，但是乙的中位数高于甲，说明乙店门店的销售人员上月的业绩更好；
（3）600×＝180（人），
答：该公司能评为“优秀销售员”的有180人．
22．（10分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究．已知当x＝2时，y＝7；当x＝0时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：
（1）该函数的解析式为 y＝（x≠1） ，m＝ 1 ；n＝ ；
根据图中描出的点，画出函数图象．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
0
2
3
4
…
y
…
m
﹣3
7
n
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”．
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．（ × ）
②该函数既无最大值也无最小值．（ √ ）
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．（ × ）
（3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式﹣2x﹣2≥0的解集 x≤﹣1.2或1＜x≤2.2 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后把x＝﹣4和x＝3代入解析式即可求得m、n的值；描点、连线画出图象即可；
（2）把x＝﹣1代入函数解析式，即可得到m的值；
（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；
（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；
（5）依据函数图象，即可得到．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝7；x＝0，y＝﹣3代入y＝，得，
解得
∴函数的解析式为y＝（x≠1）；
当x＝﹣4时，y＝＝＝1；当x＝3时，y＝＝，
∴m＝1，n＝，
描点、连线，画出函数图象如图：
故答案为y＝（x≠1），1，；
（2）由图象可知：
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是（1，2）．
②该函数既无最大值也无最小值．
③x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为×，√，×；
（3）由图象可知，关于x的不等式﹣2x﹣2≥0的解集故答案为：x≤﹣1.2或1＜x≤2.2，
故答案为x≤﹣1.2或1＜x≤2.2．
23．（10分）为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的A、B两个社区计划共种树78棵，已知A社区每天可以种植6棵树，B社区每天可以种植12棵树．
（1）由于人员调动，要求B社区种植天数至少是A社区种植天数的1倍，当种植结束时，A社区至多种植多少天？
（2）A、B两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问A社区最多种植天数基础上，B社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，A社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中A社区最多天数多5a%；B社区每天种植棵数下降a%，种植天数比（1）问中B社区最少种天数多（a+30）%，求a的值．
【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78﹣x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的1倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据投入的总费用＝种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78﹣x）棵树，
依题意得：≥1×，
解得：x≤18，
∴≤3．
答：A社区至多种植3天．
（2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1﹣a%）×5[1+（a+30）%]＝67500，
整理得：2.25a2﹣90a＝0，
解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝40．
答：a的值为40．
24．（10分）阅读材料，完成以下相应问题：
材料一：将一个四位数m＝（其中a、b、c、d均不相同且均不为零）进行千位与百位数字互换得到m1，再将m1的百位与十位数字互换得到m2，再将m2的十位与个位数字互换得到m3．我们称数字m3，为数字m的“车轮数”，如m＝3721，则m1＝7321．所以m2＝7231，进而m3＝7213．
材料二：一个整数能被6整除的条件是该数字是能被3整除的偶数．
一个整数能被3整除的条件是其各个数位上的数字之和能被3整除．
（1）当m＝3826时，求m的“车轮数”为多少．
（2）若m，n均为能被6整除的四位数整数，且F（m）＞＝|m1﹣m3|，T（n）＝|n﹣n2|，k＝．求F（m）被9整除所得商数最大且T（n）被90整除所得商数最小时，k的最小值．
【分析】（1）根据数字m的“车轮数”定义直接得出答案；
（2）根据题目条件，m，n均为能被6整除的四位数整数，即a+b+c+d是3的倍数，且d是偶数，再根据“车轮数”定义，可求出F（m）＞＝|m1﹣m3|，T（n）＝|n﹣n2|，再根据F（m）被9整除所得商数最大且T（n）被90整除所得商数最小，确定m，n，即可求得k的最小值．
【解答】解：（1）当m＝3826时，m1＝8326，m2＝8236，m3＝8263，
∴m的“车轮数”为8263；
（2）若m为四位数，
则F（m）＝|m1﹣m3|＝|﹣|＝|1000b+100a+10c+d﹣（1000b+100c+10d+a）|＝|99a﹣90c﹣9d|，
∴F（m）÷9＝|11a﹣10c﹣d|，由于m能被6整除，即a+b+c+d是3的倍数，且d是偶数，
∴|11a﹣10c﹣d|最大时，a＝9，c＝1，d＝2，b＝6或3；a＝1，c＝9，d＝8，b＝6或3；
∴m＝9612或9312或1698或1398，
同理，由于T（n）＝|n﹣n2|＝|﹣|＝|990a﹣900b﹣90c|，
∴T（n）÷90＝|11a﹣10b﹣c|，由于n也能被6整除，即a+b+c+d是3的倍数，且d是偶数，
∴|11a﹣10b﹣c|最小时，即|11a﹣10b﹣c|＝0，
∵a、b、c、d均不相同且均不为零，
∴|11a﹣10b﹣c|≠0，
∴|11a﹣10b﹣c|最小时，a＝2，b＝1，c＝9，d＝6，n＝2196，
∴k＝＝或＝或＝或＝，
∴kmin＝．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，将点A、C的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）过D作DG⊥x轴于点G，交BC于F，过A作AK⊥x轴交BC延长线于K，根据相似三角形的性质得一组比例线段，设出解析式，利用待定系数法求得解析式，然后利用配方可求得的最大值；
（3）根据OC＝OC′可得C′坐标，由平移的性质可得平移后顶点、对称轴，设M坐标根据两点距离公式分别列出方程，即可得到问题的答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣，0），
∴AO＝|﹣|＝，
∵tan∠ACO＝，
∴CO＝3，
∴C（0，3），
将A、C的坐标代入y＝ax2+x+c得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）如答图1，过D作DG⊥x轴于点G，交BC于F，过A作AK⊥x轴交BC延长线于K，
设直线BC解析式为：y＝kx+b，
由（1）y＝﹣x2+x+3得B（ 3，0），
将B（ 3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b得：
，解得，
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
∵A（﹣，0），故K的横坐标xk＝﹣，代入y＝﹣x+3得yk＝4，
∴K（﹣，4），
∴AK＝4，
设D（m，﹣m2+m+3），则F（m，﹣m+3），
∴DF＝﹣m2+m，
∵DG⊥x轴于点G，AK⊥x轴，
∴AK∥DG，
∴△AKE～△DFE，
∴＝，
将△BDE、△ABE分别看作DE、AE为底边，则它们的高相同，
∴，
∴＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，有最大值，最大值为；
（3）如答图2，连接OC′，过C′作C′F⊥y轴于F，
由抛物线的解析式y＝﹣x2+x+3知其顶点为（，4），
∵OC＝3，OB＝3，
∴tan∠BCO＝＝，BC＝6，
∴∠BCO＝60°，
∵OC′＝OC，
∴△COC′是等边三角形，
∴CC′＝3，BC′＝3，
Rt△CFC′中可得CF＝，C′F＝，
∴原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移个单位，且FO＝，
∴平移后抛物线顶点为（，），对称轴是x＝，C′（，），
∵M在平移后抛物线的对称轴上，
∴设M（，m），
又△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①C′M＝，C′B＝3，则＝3，
解得m＝或m＝，
∴M（，）或M（，），
②BM＝C′B＝3，则，
解得m＝或m＝﹣，
∴M（，）或M（，﹣），
综上所述，△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形，则M（，）或M（，）或M（，）或M（，﹣），
故答案为：M（，）或M（，）或M（，）或M（，﹣）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．
（1）若BF＝4，求△ADQ的面积；
（2）求证：CH＝2BQ；
（3）如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R．当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角形面积公式得出AQ，进而利用勾股定理和三角形面积公式解答即可；
（2）过点C作CG⊥AC，交AC的延长线于G，根据ASA证明△HAE与△GCF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）连接BM，过点A作AK⊥AB，且AK＝AB，连接NK，根据全等三角形的判定和性质以及三角形周长解答即可．
【解答】（1）解：∵AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝6，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD＝BD＝3，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴Q到AB，BC边的距离相等，
∴＝＝＝＝，
∴AQ＝AF，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝6，BF＝4，
∴AF＝﹣＝2，
∴AQ＝×2＝，
在Rt△ADQ中，∠ADQ＝90°，DQ＝＝＝，
∴S△ADQ＝•AD•DQ＝×3×＝，
当BF＝4时，△ADQ的面积为；
（2）证明：过点C作CG⊥AC，交AC的延长线于G，
∵CG⊥AC，BD⊥AC，
∴BD∥CG，
∵AD＝CD，
∴AQ＝GQ，
∴DQ是△ACG的中线，
∴CG＝2DQ，
∵∠ACB＝∠BAC＝45°，∠DCG＝90°，
∴∠BCG＝∠DCG﹣∠BCD＝45°，
∴∠EAH＝∠GCF，
∵AF⊥EH，
∴∠BAF+∠AEH＝90°，
∵∠BAF+∠BFA＝90°，∠BFA＝∠CFG，
∴∠AEH＝∠CFG，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，
∴AE＝CF，
在△HAE与△GCF中，
，
∴△HAE≌△GCF（ASA），
∴AH＝CG，
∴AH＝2DQ，
∵AC＝2BD＝AH+CH＝2（BQ+DQ）＝2BQ+2DQ，
∴CH＝2BQ；
（3）解：如图2中，连接BM，过点A作AK⊥AB，且AK＝AB，连接NK，
∵BE＝BF＝3，∠EBF＝90°，
∴EF＝BE＝3，
∵M为EF中点，
∴BM＝EM＝FM＝，
∴∠BAK＝90°，
∵AM绕点A逆时针旋转90°得AN，
∴AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠BAM＝∠KAN，
在△ABM与△AKN中，
，
∴△ABM≌△AKN（SAS），
∴BM＝KN＝，∠ABM＝∠AKN，
∴N在以K为圆心，为半径的圆上移动，
∴当且仅当K，N，R三点共线时，NR长度最小，
∵当NR取最小值时，∠RAK＝∠RNA＝45°，
∴AR＝CR＝3，∠ABM＝∠AKN＝45°，
∵NK＝，
∴RN＝，AR＝CR＝3，
∴AN＝CN＝＝＝，
∵MN＝AN＝3，∠ABM＝45°，∠FBM＝45°，
∴F在AB上，E在CB延长线上，
如图3中，过M作MH⊥BE于H，
∴∠MHB＝90°，∠HMB＝∠HBM＝45°，
∴MH＝BH＝BM＝，
∴CH＝BC+BH＝6+＝，
在Rt△HCM中，∠MHC＝90°，MC＝＝＝，
∴L△CMN＝CM+CN+MN＝++3，
∴当NR最小时，△CMN的周长为：++3．
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日期：2021/4/30 5:08:25；用户：木讷；邮箱：cao168@xyh.com；学号：29163119
2020-2021学年九年级（下）定时训练数学试卷（三）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C.D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置.
1．（4分）sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
2．（4分）下列各图均是重庆网红打卡地，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）某一次函数的图象与y轴交于正半轴，这个一次函数的表达式可能是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝2x﹣1
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
5．（4分）估算+3的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
6．（4分）下列各项变形式，是因式分解的是（ ）
A．5﹣m2＝（5+m）（5﹣m） B．x+1＝x（1+）
C．（a﹣1）（a﹣2）＝a2﹣3a+2 D．a2+4a+4＝（a+2）2
7．（4分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
8．（4分）下列各命题是真命题的是（ ）
A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线
B．平行四边形一定是中心对称图形
C．有一个内角为60°的平行四边形是菱形
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
9．（4分）我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60 B．70 C．80 D．90
10．（4分）如果关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程＝﹣8的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（4分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，以下选项中正确的个数是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为70千米/小时；③货车的速度为45千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（4分）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，0），D为AO上一点，连接BD，CD，OB，CD与OB相交于点E，取EC的三等分点F（EF＞FC），连接OF并延长，交BC于点G，已知S△BOD：S△BOC＝2：3，反比例函数y＝（k＞0）经过D，G两点，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为 ．
14．（4分）计算：（﹣3）﹣1+＝ ．
15．（4分）两个人做游戏：每个人都从﹣，1，这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数绝对值相等的概率为 ．
16．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）△ABC中，∠BAC＝45°，D为AB上一点，BD＝10，连接CD，将△CBD沿CD翻折至△CDF，点B的对应点F点恰好落在边AC上．延长CA至点E，连接DE，若AE＝2，tan∠BCD＝，则DE长为 ．
18．（4分）为让市民感受春天，中央公园管委会决定圈出一块地打造一片花园，花园中种植桃花，樱花，李花供市民欣赏．经过一段时间，花园中已种植的桃花，樱花，李花面积之比为5：4：6．根据市民的喜爱程度，将在花园的余下空地继续种植这三种花，经测算需将余下土地面积的种植李花，则李花种植的总面积将达到这三种花种植总面积的．为使桃花种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5，则花园内种植樱花的面积与花园内种植这三种花的总面积之比是 ．
三.解答题：（本大愿7个小题，每小题10分共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）化简：
（1）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣3y）2；
（2）（﹣a﹣2）．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
21．（10分）某公司在国内有多家门店，共有600名销售人员，为了解该公司各门店销售人员上个月的销售业绩，随机抽取了甲、乙两个门店各30名销售人员在上月的销售数量，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
①数据分为五组，分别为A组：x≤40，B组：40＜x≤60，C组：60＜x≤80，D组：80＜x≤100，E组：x＞100；
②样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件；
③甲店C组数据：62，69，71，69，78，73，69，79，78，68
乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75
④两组数据的平均数、中位数、众数、极差（单位：件）如表所示：
平均数
中位数
众数
极差
甲店
70
69
69
b
乙店
70
a
69
86
⑤甲店销售数量频数分布直方图和乙店销售数量扇形统计图如下：
（1）扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为 ，中位数a＝ ，极差b＝ ；
（2）通过以上的数据分析，你认为甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；
（3）若该公司计划将上月销售数量在80件以上（不含80）的员工评为“优秀销售员”，请你估计该公司能评为“优秀销售员”的人数．
22．（10分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究．已知当x＝2时，y＝7；当x＝0时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：
（1）该函数的解析式为 ，m＝ ；n＝ ；
根据图中描出的点，画出函数图象．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
0
2
3
4
…
y
…
m
﹣3
7
n
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”．
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．（ ）
②该函数既无最大值也无最小值．（ ）
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．（ ）
（3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式﹣2x﹣2≥0的解集 ．
23．（10分）为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的A、B两个社区计划共种树78棵，已知A社区每天可以种植6棵树，B社区每天可以种植12棵树．
（1）由于人员调动，要求B社区种植天数至少是A社区种植天数的1倍，当种植结束时，A社区至多种植多少天？
（2）A、B两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问A社区最多种植天数基础上，B社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，A社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中A社区最多天数多5a%；B社区每天种植棵数下降a%，种植天数比（1）问中B社区最少种天数多（a+30）%，求a的值．
24．（10分）阅读材料，完成以下相应问题：
材料一：将一个四位数m＝（其中a、b、c、d均不相同且均不为零）进行千位与百位数字互换得到m1，再将m1的百位与十位数字互换得到m2，再将m2的十位与个位数字互换得到m3．我们称数字m3，为数字m的“车轮数”，如m＝3721，则m1＝7321．所以m2＝7231，进而m3＝7213．
材料二：一个整数能被6整除的条件是该数字是能被3整除的偶数．
一个整数能被3整除的条件是其各个数位上的数字之和能被3整除．
（1）当m＝3826时，求m的“车轮数”为多少．
（2）若m，n均为能被6整除的四位数整数，且F（m）＞＝|m1﹣m3|，T（n）＝|n﹣n2|，k＝．求F（m）被9整除所得商数最大且T（n）被90整除所得商数最小时，k的最小值．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．
（1）若BF＝4，求△ADQ的面积；
（2）求证：CH＝2BQ；
（3）如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R．当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．
2020-2021学年九年级（下）定时训练数学试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C.D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置.
1．（4分）sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°＝．
故选：C．
2．（4分）下列各图均是重庆网红打卡地，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形的定义可得答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）某一次函数的图象与y轴交于正半轴，这个一次函数的表达式可能是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝2x﹣1
【分析】把x＝0代入解析式求得y的值即可判断．
【解答】解：令x＝0，
则A、y＝﹣2x＝0，
B、y＝﹣2，
C、y＝2，
D、y＝﹣1，
∴一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于（0，2），在正半轴上．
故选：C．
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】根据邻补角的性质求得∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数，
【解答】解：∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
∴∠BDC＝∠BOC＝30°．
故选：B．
5．（4分）估算+3的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【分析】利用夹逼法可得，4＜＜5从而进一步可判断出答案．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴7＜+3＜8，即在7和8之间．
故选：C．
6．（4分）下列各项变形式，是因式分解的是（ ）
A．5﹣m2＝（5+m）（5﹣m） B．x+1＝x（1+）
C．（a﹣1）（a﹣2）＝a2﹣3a+2 D．a2+4a+4＝（a+2）2
【分析】利用因式分解的定义判断即可．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【解答】解：A、5﹣m2＝（+m）（﹣m），故此选项不符合题意；
B、x+1＝x（1+），右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、（a﹣1）（a﹣2）＝a2﹣3a+2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、a2+4a+4＝（a+2）2，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
7．（4分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以﹣即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（﹣，﹣1）．
故选：B．
8．（4分）下列各命题是真命题的是（ ）
A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线
B．平行四边形一定是中心对称图形
C．有一个内角为60°的平行四边形是菱形
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
【分析】根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．
【解答】解：A、矩形的对称轴是相邻两边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的对称轴，本选项说法是假命题；
B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项说法是真命题；
C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项说法是假命题；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项说法是假命题；
故选：B．
9．（4分）我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60 B．70 C．80 D．90
【分析】作AH⊥ED交ED的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CE、DE，根据正切的定义求出AB．
【解答】解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，
设DE＝x米，
∵CD的坡度：i＝1：2，
∴CE＝2x米，
由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（30）2，
解得，x＝30，
则DE＝30米，CE＝60米，
设AB＝y米，则HE＝y米，
∴DH＝y﹣30，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝y，
∴AH＝BE＝y+60，
在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，
则≈0.4，
解得，y＝90，
∴高楼AB的高度为90米，
故选：D．
10．（4分）如果关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程＝﹣8的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而解答即可．
【解答】解：，
不等式组化简为，
由不等式组有且只有四个整数解，得到2≤＜3，
解得：6≤a＜10，即整数a＝6，7，8，9，
，
分式方程去分母得：ax﹣28＝﹣32+8，
解得：x＝，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，a﹣8＜0，解得：a＜8，
故a＝6．
故选：A．
11．（4分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，以下选项中正确的个数是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为70千米/小时；③货车的速度为45千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲乙两地的距离为150×3＝450（千米），故①正确；
∵两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，两车相遇时正好是3小时，
∴轿车每小时比货车多行驶30千米，
∴轿车的速度为：[450÷3﹣30]÷2+30＝90（千米/小时），故②错误；
货车的速度为：[450÷3﹣30]÷2＝60（千米/小时），故③错误；
轿车到达乙地用的时间为：450÷90＝5（小时），此时两车间的距离为：60×5＝300（千米），故④正确；
由上可得，正确的是①④，
故选：B．
12．（4分）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，0），D为AO上一点，连接BD，CD，OB，CD与OB相交于点E，取EC的三等分点F（EF＞FC），连接OF并延长，交BC于点G，已知S△BOD：S△BOC＝2：3，反比例函数y＝（k＞0）经过D，G两点，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过面积比及OC的长度求出OD及CG的长度，再通过辅助线构造直角三角形，根据勾股定理及k的几何意义求解．
【解答】解：∵S△BOD：S△BOC＝2：3，S△BOA＝S△BOC，
∴OD：OA＝2：3，
∴OD：DA＝2：1，
∵OC＝OA＝3，
∴OD＝2，DA＝1．
∵OD∥CB，OD：BC＝2：3，
∴△ODE∽△BCE，
∴DE：EC＝2：3，
又∵EF：FC＝2：1，
∴DF：FC＝4：1，OD：CG＝4：1，
∴CG＝OD＝．
作DK垂直于x轴，GH垂直于x轴于点K和H．设CH长为m．
∴△DOK∽△GCH，OK：CH＝OD：CG＝4：1，
∴OK＝4m，点D坐标为（4m，），点G坐标为（3+m，）．
∴＝，解得m＝，
∵OD2＝OK2+DK2，即4＝16m2+，
将m＝代入求得k＝或k＝﹣（舍）．
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为 2.15×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：21500000＝2.15×107．
故答案为：2.15×107．
14．（4分）计算：（﹣3）﹣1+＝ ﹣+2 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣+2．
故答案为：﹣+2．
15．（4分）两个人做游戏：每个人都从﹣，1，这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数绝对值相等的概率为 ．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两数的绝对值相等的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9个等可能的结果，其中两人所写的两个数绝对值相等的结果数为5个，
∴两人所写的两个数绝对值相等的概率＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为 +π ．
【分析】如图，连接AG、EG、由题意易知△AEG是等边三角形，根据S阴＝S半圆﹣S扇形AEG﹣S弓形AmG计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AG、EG．
由题意易知△AEG是等边三角形，
S阴＝S半圆﹣S扇形AEG﹣S弓形AmG
＝π﹣﹣（﹣），
＝+π．
故答案为：+π．
17．（4分）△ABC中，∠BAC＝45°，D为AB上一点，BD＝10，连接CD，将△CBD沿CD翻折至△CDF，点B的对应点F点恰好落在边AC上．延长CA至点E，连接DE，若AE＝2，tan∠BCD＝，则DE长为 ．
【分析】构造两条高线BH，DG．在Rt△BCH和Rt△DEG中利用勾股定理解决建立方程以及三角函数来解决．
【解答】解：过点B作BH⊥AC交AC于点H，过点D作DG⊥AC交AC于点G．
设PH＝x，BP＝y．
∵tan∠BCD＝．
∴CH＝2HP＝2x．
由折叠可知，DC平分∠BCA．
∴．
∴BC＝2y．
在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2．
∴（x+y）2+（2x）2＝（2y）2．
∴y＝．
∴BC＝，BH＝BP+PH＝．
∵∠BAC＝45°，BH⊥CA．
∴AH＝BH＝，CA＝CH+AH＝2x+＝．
∴．
∴AD＝7．
∴DG＝AG＝7．
∵CE＝2．
∴EG＝7+2＝9．
在Rt△DEG中，DE＝．
18．（4分）为让市民感受春天，中央公园管委会决定圈出一块地打造一片花园，花园中种植桃花，樱花，李花供市民欣赏．经过一段时间，花园中已种植的桃花，樱花，李花面积之比为5：4：6．根据市民的喜爱程度，将在花园的余下空地继续种植这三种花，经测算需将余下土地面积的种植李花，则李花种植的总面积将达到这三种花种植总面积的．为使桃花种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5，则花园内种植樱花的面积与花园内种植这三种花的总面积之比是 11：81 ．
【分析】设该村已种花面积x，余下土地面积为y，还需种植樱花的面积为z，则总面积为（x+y），桃花已种植面积x、樱花已种植面积x，李花已种植面积x，依题意列出方程组，用y的代数式分别表示x、z，然后进行计算即可．
【解答】解：设该村已种花面积x，余下土地面积为y，还需种植樱花的面积为z，则总面积为（x+y），桃花已种植面积x、樱花已种植面积x，李花已种植面积x，
依题意可得，
，
解得：，
∴花园内种植樱花的面积是：x+＝+＝，
∴花园内种植樱花的面积与花园内种植这三种花的总面积之比是：＝，
故答案为22：81．
三.解答题：（本大愿7个小题，每小题10分共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）化简：
（1）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣3y）2；
（2）（﹣a﹣2）．
【分析】（1）先利用乘法公式展开，然后去括号合并即可；
（2）先把括号内通分和把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣y2﹣（x2﹣6xy+9y2）
＝4x2﹣y2﹣x2+6xy﹣9y2
＝3x2﹣10y2+6xy；
（2）原式＝•
＝•
＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE≌△FBE，即可得出AE＝EF，进而利用菱形的判定方法得出答案．
【解答】解：（1）如图：
（2）证明：如图，连接DF，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF，
∵AF垂直平分BD，∴BE＝DE．
在△ADE和△FBE中，，
∴△ADE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．
21．（10分）某公司在国内有多家门店，共有600名销售人员，为了解该公司各门店销售人员上个月的销售业绩，随机抽取了甲、乙两个门店各30名销售人员在上月的销售数量，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
①数据分为五组，分别为A组：x≤40，B组：40＜x≤60，C组：60＜x≤80，D组：80＜x≤100，E组：x＞100；
②样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件；
③甲店C组数据：62，69，71，69，78，73，69，79，78，68
乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75
④两组数据的平均数、中位数、众数、极差（单位：件）如表所示：
平均数
中位数
众数
极差
甲店
70
69
69
b
乙店
70
a
69
86
⑤甲店销售数量频数分布直方图和乙店销售数量扇形统计图如下：
（1）扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为 12° ，中位数a＝ 72 ，极差b＝ 88 ；
（2）通过以上的数据分析，你认为甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；
（3）若该公司计划将上月销售数量在80件以上（不含80）的员工评为“优秀销售员”，请你估计该公司能评为“优秀销售员”的人数．
【分析】（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据可以计算出扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数，a的值，极差b的值；
（2）根据表格中的数据，可以得到甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；
（3）根据题意和表格中的数据可以计算出该公司能评为“优秀销售员”的人数．
【解答】解：（1）∵乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75，
∴乙组数据中心C组中有11人，按照从小到大排列是：62，69，69，69，71，73，75，76，78，79，80，
∴扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为：360°×＝12°，
A组学生有30﹣11﹣30×（10%+20%+30%）＝1（人），B组有学生：30×30%＝9（人），
∴中位数a是C组的第5个数和第6个数的中位数，即a＝（71+73）÷2＝72，
∵样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件，乙的极差是86，
∴极差b＝86+2＝88，
故答案为：12°，72，88；
（2）乙店门店的销售人员上月的业绩更好，
理由：由表格可知，两个销售人员的平均数相同，众数相同，但是乙的中位数高于甲，说明乙店门店的销售人员上月的业绩更好；
（3）600×＝180（人），
答：该公司能评为“优秀销售员”的有180人．
22．（10分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究．已知当x＝2时，y＝7；当x＝0时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：
（1）该函数的解析式为 y＝（x≠1） ，m＝ 1 ；n＝ ；
根据图中描出的点，画出函数图象．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
0
2
3
4
…
y
…
m
﹣3
7
n
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”．
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．（ × ）
②该函数既无最大值也无最小值．（ √ ）
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．（ × ）
（3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式﹣2x﹣2≥0的解集 x≤﹣1.2或1＜x≤2.2 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后把x＝﹣4和x＝3代入解析式即可求得m、n的值；描点、连线画出图象即可；
（2）把x＝﹣1代入函数解析式，即可得到m的值；
（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；
（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；
（5）依据函数图象，即可得到．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝7；x＝0，y＝﹣3代入y＝，得，
解得
∴函数的解析式为y＝（x≠1）；
当x＝﹣4时，y＝＝＝1；当x＝3时，y＝＝，
∴m＝1，n＝，
描点、连线，画出函数图象如图：
故答案为y＝（x≠1），1，；
（2）由图象可知：
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是（1，2）．
②该函数既无最大值也无最小值．
③x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为×，√，×；
（3）由图象可知，关于x的不等式﹣2x﹣2≥0的解集故答案为：x≤﹣1.2或1＜x≤2.2，
故答案为x≤﹣1.2或1＜x≤2.2．
23．（10分）为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的A、B两个社区计划共种树78棵，已知A社区每天可以种植6棵树，B社区每天可以种植12棵树．
（1）由于人员调动，要求B社区种植天数至少是A社区种植天数的1倍，当种植结束时，A社区至多种植多少天？
（2）A、B两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问A社区最多种植天数基础上，B社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，A社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中A社区最多天数多5a%；B社区每天种植棵数下降a%，种植天数比（1）问中B社区最少种天数多（a+30）%，求a的值．
【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78﹣x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的1倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据投入的总费用＝种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78﹣x）棵树，
依题意得：≥1×，
解得：x≤18，
∴≤3．
答：A社区至多种植3天．
（2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1﹣a%）×5[1+（a+30）%]＝67500，
整理得：2.25a2﹣90a＝0，
解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝40．
答：a的值为40．
24．（10分）阅读材料，完成以下相应问题：
材料一：将一个四位数m＝（其中a、b、c、d均不相同且均不为零）进行千位与百位数字互换得到m1，再将m1的百位与十位数字互换得到m2，再将m2的十位与个位数字互换得到m3．我们称数字m3，为数字m的“车轮数”，如m＝3721，则m1＝7321．所以m2＝7231，进而m3＝7213．
材料二：一个整数能被6整除的条件是该数字是能被3整除的偶数．
一个整数能被3整除的条件是其各个数位上的数字之和能被3整除．
（1）当m＝3826时，求m的“车轮数”为多少．
（2）若m，n均为能被6整除的四位数整数，且F（m）＞＝|m1﹣m3|，T（n）＝|n﹣n2|，k＝．求F（m）被9整除所得商数最大且T（n）被90整除所得商数最小时，k的最小值．
【分析】（1）根据数字m的“车轮数”定义直接得出答案；
（2）根据题目条件，m，n均为能被6整除的四位数整数，即a+b+c+d是3的倍数，且d是偶数，再根据“车轮数”定义，可求出F（m）＞＝|m1﹣m3|，T（n）＝|n﹣n2|，再根据F（m）被9整除所得商数最大且T（n）被90整除所得商数最小，确定m，n，即可求得k的最小值．
【解答】解：（1）当m＝3826时，m1＝8326，m2＝8236，m3＝8263，
∴m的“车轮数”为8263；
（2）若m为四位数，
则F（m）＝|m1﹣m3|＝|﹣|＝|1000b+100a+10c+d﹣（1000b+100c+10d+a）|＝|99a﹣90c﹣9d|，
∴F（m）÷9＝|11a﹣10c﹣d|，由于m能被6整除，即a+b+c+d是3的倍数，且d是偶数，
∴|11a﹣10c﹣d|最大时，a＝9，c＝1，d＝2，b＝6或3；a＝1，c＝9，d＝8，b＝6或3；
∴m＝9612或9312或1698或1398，
同理，由于T（n）＝|n﹣n2|＝|﹣|＝|990a﹣900b﹣90c|，
∴T（n）÷90＝|11a﹣10b﹣c|，由于n也能被6整除，即a+b+c+d是3的倍数，且d是偶数，
∴|11a﹣10b﹣c|最小时，即|11a﹣10b﹣c|＝0，
∵a、b、c、d均不相同且均不为零，
∴|11a﹣10b﹣c|≠0，
∴|11a﹣10b﹣c|最小时，a＝2，b＝1，c＝9，d＝6，n＝2196，
∴k＝＝或＝或＝或＝，
∴kmin＝．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，将点A、C的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）过D作DG⊥x轴于点G，交BC于F，过A作AK⊥x轴交BC延长线于K，根据相似三角形的性质得一组比例线段，设出解析式，利用待定系数法求得解析式，然后利用配方可求得的最大值；
（3）根据OC＝OC′可得C′坐标，由平移的性质可得平移后顶点、对称轴，设M坐标根据两点距离公式分别列出方程，即可得到问题的答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣，0），
∴AO＝|﹣|＝，
∵tan∠ACO＝，
∴CO＝3，
∴C（0，3），
将A、C的坐标代入y＝ax2+x+c得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）如答图1，过D作DG⊥x轴于点G，交BC于F，过A作AK⊥x轴交BC延长线于K，
设直线BC解析式为：y＝kx+b，
由（1）y＝﹣x2+x+3得B（ 3，0），
将B（ 3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b得：
，解得，
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
∵A（﹣，0），故K的横坐标xk＝﹣，代入y＝﹣x+3得yk＝4，
∴K（﹣，4），
∴AK＝4，
设D（m，﹣m2+m+3），则F（m，﹣m+3），
∴DF＝﹣m2+m，
∵DG⊥x轴于点G，AK⊥x轴，
∴AK∥DG，
∴△AKE～△DFE，
∴＝，
将△BDE、△ABE分别看作DE、AE为底边，则它们的高相同，
∴，
∴＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，有最大值，最大值为；
（3）如答图2，连接OC′，过C′作C′F⊥y轴于F，
由抛物线的解析式y＝﹣x2+x+3知其顶点为（，4），
∵OC＝3，OB＝3，
∴tan∠BCO＝＝，BC＝6，
∴∠BCO＝60°，
∵OC′＝OC，
∴△COC′是等边三角形，
∴CC′＝3，BC′＝3，
Rt△CFC′中可得CF＝，C′F＝，
∴原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移个单位，且FO＝，
∴平移后抛物线顶点为（，），对称轴是x＝，C′（，），
∵M在平移后抛物线的对称轴上，
∴设M（，m），
又△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①C′M＝，C′B＝3，则＝3，
解得m＝或m＝，
∴M（，）或M（，），
②BM＝C′B＝3，则，
解得m＝或m＝﹣，
∴M（，）或M（，﹣），
综上所述，△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形，则M（，）或M（，）或M（，）或M（，﹣），
故答案为：M（，）或M（，）或M（，）或M（，﹣）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．
（1）若BF＝4，求△ADQ的面积；
（2）求证：CH＝2BQ；
（3）如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R．当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角形面积公式得出AQ，进而利用勾股定理和三角形面积公式解答即可；
（2）过点C作CG⊥AC，交AC的延长线于G，根据ASA证明△HAE与△GCF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）连接BM，过点A作AK⊥AB，且AK＝AB，连接NK，根据全等三角形的判定和性质以及三角形周长解答即可．
【解答】（1）解：∵AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝6，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD＝BD＝3，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴Q到AB，BC边的距离相等，
∴＝＝＝＝，
∴AQ＝AF，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝6，BF＝4，
∴AF＝﹣＝2，
∴AQ＝×2＝，
在Rt△ADQ中，∠ADQ＝90°，DQ＝＝＝，
∴S△ADQ＝•AD•DQ＝×3×＝，
当BF＝4时，△ADQ的面积为；
（2）证明：过点C作CG⊥AC，交AC的延长线于G，
∵CG⊥AC，BD⊥AC，
∴BD∥CG，
∵AD＝CD，
∴AQ＝GQ，
∴DQ是△ACG的中线，
∴CG＝2DQ，
∵∠ACB＝∠BAC＝45°，∠DCG＝90°，
∴∠BCG＝∠DCG﹣∠BCD＝45°，
∴∠EAH＝∠GCF，
∵AF⊥EH，
∴∠BAF+∠AEH＝90°，
∵∠BAF+∠BFA＝90°，∠BFA＝∠CFG，
∴∠AEH＝∠CFG，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，
∴AE＝CF，
在△HAE与△GCF中，
，
∴△HAE≌△GCF（ASA），
∴AH＝CG，
∴AH＝2DQ，
∵AC＝2BD＝AH+CH＝2（BQ+DQ）＝2BQ+2DQ，
∴CH＝2BQ；
（3）解：如图2中，连接BM，过点A作AK⊥AB，且AK＝AB，连接NK，
∵BE＝BF＝3，∠EBF＝90°，
∴EF＝BE＝3，
∵M为EF中点，
∴BM＝EM＝FM＝，
∴∠BAK＝90°，
∵AM绕点A逆时针旋转90°得AN，
∴AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠BAM＝∠KAN，
在△ABM与△AKN中，
，
∴△ABM≌△AKN（SAS），
∴BM＝KN＝，∠ABM＝∠AKN，
∴N在以K为圆心，为半径的圆上移动，
∴当且仅当K，N，R三点共线时，NR长度最小，
∵当NR取最小值时，∠RAK＝∠RNA＝45°，
∴AR＝CR＝3，∠ABM＝∠AKN＝45°，
∵NK＝，
∴RN＝，AR＝CR＝3，
∴AN＝CN＝＝＝，
∵MN＝AN＝3，∠ABM＝45°，∠FBM＝45°，
∴F在AB上，E在CB延长线上，
如图3中，过M作MH⊥BE于H，
∴∠MHB＝90°，∠HMB＝∠HBM＝45°，
∴MH＝BH＝BM＝，
∴CH＝BC+BH＝6+＝，
在Rt△HCM中，∠MHC＝90°，MC＝＝＝，
∴L△CMN＝CM+CN+MN＝++3，
∴当NR最小时，△CMN的周长为：++3．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/30 5:08:25；用户：木讷；邮箱：cao168@xyh.com；学号：29163119
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