初中数学人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积习题

24.4.1 弧长和扇形面积

自主预习

1．圆心角是120°，半径是15cm的弧长是             ．

2．扇形的弧长为12π，圆心角是120°，则扇形的半径长为              ．

3．半径为9πcm的圆中，长为12πcm的一条弧所对的圆心角的度数为            ．

4．若扇形的半径为4cm，面积为8πcm2，则扇形的弧长              ．

5．如果把一个圆的周长增加3倍，那么它的面积增加             ．

互动训练

知识点一：弧长的公式及其计算

1．半径为r，圆心角为n°的弧长L=               ．

2．半径为r，圆心角为n°的扇形的面积S扇形=             ；

半径为R，弧长为L的扇形的面积S扇形=              ．

3. 已知一条弧的长是3π厘米，弧的半径是6厘米，则这条弧所对的圆心角          ．

4．挂钟的分针长10cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（　　）

A．cm B．15πcm C．cm D．75πcm

5．若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（　　）

A．50° B．60° C．100° D．120°

6. 设圆的半径为r，60°的圆心角所对的弧长为L，则L与r的关系是（    ）

A．L=r        B．L=r        C．L=r    D．L=π r

7．⊙O1和⊙O2内切于A，且⊙O1经过点O2，半径O2B交⊙O1于C，则与的关系是（    ）

A．=                B．与的长度相等

C．和的角度不等      D．无法判断

8．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为（　　）

A．π B．π+1 C．2π+1 D．2π+2

8题图                       9题图

9．如图所示，边长为a的正方形ABCD中，有以A为圆心的弧，⊙O和BC，CD，都相切，且⊙O的周长等于的长，求⊙O的半径．

知识点二：扇形的面积及其计算

10．若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（　　）

A． B．π C．2π D．4π

11．一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（    ）

A．cm      B．3cm         C．6cm        D．9cm

12．如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（    ）

A．π－1         B．π－2           C．π－1          D．π－2

12题图            13题图

13．如图，一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形，若大圆半径为2，小圆半径为1，则阴影部分的面积为（　　）

A．π B．π C．3π D．π

14．如图，图中阴影部分是个半圆环，则此图阴影部分的面积是　    cm2．（π≈3.14）

  14题图                 16题图                17题图

15．若一个扇形的面积20，半径为8，则此扇形的弧长为　     　．

16．如图，扇形AOB的圆心角是为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C，E分别在OA，OB，D在弧AB上，那么图中阴影部分的面积为　      　．（结果保留π）

17．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心、边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形的边长为6 cm，则该莱洛三角形的周长为________cm.

18．如图所示，⊙O的半径为10cm，在⊙O中，直径AB与CD垂直，以点B为圆心，BC为半径的扇形CBD的面积是多少？

18题图 

19．如图所示，半圆的半径为AB，C为半圆周上一点．

（1）若∠CAB=30°，BC=6，求图中阴影部分的面积；

（2）若AB=2R，则C运动到何处时，阴影部分的面积最小？最小面积是多少？

19题图

课时达标

1．若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为         　　．

2．若弧长为4πcm的扇形的圆心角为120°，则扇形的半径为     　   　cm．

3．若75°的圆心角所对的弧长是πcm，则此弧所在圆的直径是　     　cm．

4．圆心角为60°，半径为1的弧长为（　　）

A． B．π C． D．

5. 拉绳长3m，静止时踩板离地面0.5m，秋千某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2m（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（    ）

A．π m        B．2π m          C．π m        D．π m

6. 如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（　　）．

A．     B．     C．    D．                                                  

6题图                    7题图

7．如图，⊙O的一条弦AB分圆周长为3：7两部分，若圆半径为4cm，试求弦AB所对的圆周角的度数和优弧AB的长．

8．已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径．

9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．

（1）求⊙O的直径；

（2）求的长．

9题图  

10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．

10题图

11．弯制管道时，先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算图所示管道的展直长度L（单位：mm，精确到10mm）．

11题图

12．有一把折扇和一把团扇，已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，问哪一种扇子的面积大，从而得到的风量也大？

12题图         

13．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在直线L上，按顺时针方向在L上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置上，设BC=1，AC=，则顶点A运动到A″的位置时，点A经过的路线有多长，点A经过的路线与直线L所围成的面积有多大？

13题图

拓展探究

1．将三根直径为a的圆柱形钢管用钢丝绳捆紧，两种捆法如图所示，最少要用多长的细绳？采用哪种捆法较好？ 

1题图            

2. 已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，OH=2．请求出：

（1）∠AOC的度数；

（2）线段AD的长（结果保留根号）；

（3）求图中阴影部分的面积．

                                                                    2题图   

3．在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F.

求：(1)△ABC三边的长；

(2)图中由线段EB，BC，CF及所围成的阴影部分的面积．

3题图  

24.4 .1  弧长和扇形面积答案

自主预习

1. 10πcm   2．18  3． 240°   4．4πcm  5．15倍 

互动训练

1．，2．，LR  

3．90° . 解析：3π=，n=90，则圆心角为90°.

4. B. 解析：∵分针经过60分钟，转过360°，∴经过45分钟转过270°，

则分针的针尖转过的弧长是l＝＝＝15π（cm）．故选：B．

5. A. 解析：∵扇形的弧长，∴5π＝，

∴n＝50，∴该扇形的圆心角是50°．故选：A．

6. B.  7. B.

8. B. 解析：∵扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝1，

∴阴影部分的周长＝×π++1＝π+1，故选：B．

9. 解：设的半径为R，⊙O半径为r，则OC=r，

依题意，得，∴R =4r．

∵与⊙O外切，∴AO=R+r=5r，

∵正方形的边长为a，∴AC=a．

∵AC=AO+OC，即5r+r=a．∴r=（5－2）a．

10. B. 解析：这个扇形的面积＝＝π．故选：B．

11. B. 

12. A. 解析：图中阴影面积为扇形AOB面积去掉三角形ACD面积，即：

      S阴影=S扇形ACB-S△ACD=-AD×DC=π-1. 故选：A.

13. B. 解析：阴影部分的面积＝2（S大扇形﹣S小扇形）

＝2（﹣＝π．故选：B．

14.  31.4，解析：3.14×[（12÷2）2﹣（8÷2）2]

＝3.14×（36﹣16）＝3.14×20＝31.4（cm2）．故答案为：31.4．

15. 5. 解析：∵一个扇形的面积20，半径为8，

∴此扇形的弧长为：＝5，故答案为：5．

16. π﹣1．解析：∵四边形OCDE是边长为1的正方形，∴OD＝，

∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S正方形OCDE

＝﹣1＝π﹣1．故答案为π﹣1．

17. 6π. 解析：以边长为半径画弧，这三段弧的半径为正三角形的边长，为6 cm，圆心角为正三角形的内角度数，即为60°，则每段弧长为＝2π(cm)，

∴周长为2π×3＝6π(cm)．

18．解：∵OC=OB=10cm，OC⊥OB，∠BOC=90°，

∴BC==10cm，∠OBC=45°．

∴∠CBD=2∠OBC=90°，  S扇形BCD==50πcm2．

19．（1）S阴影=S半圆－S△ABC=18π－18；

（2）当CA=CB时，S最小值=πR2－R2．

课时达标

1. π. 解析：根据弧长公式：l＝＝π，故答案为：π．

2. 6. 解析：由扇形的弧长公式是l＝，得4π＝，

解得：r＝6．故答案为：6．

3. 12. 解析：∵75°的圆心角所对的弧长是πcm，

∴π＝，解得：r＝6，则直径为12cm．故答案为：12．

4. D. 解析：圆心角为60°，半径为1的弧长＝＝．故选：D．

5. B.

6. B. 解析：连结AD，则AD⊥BC，

∴△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，

∵∠A=2∠EPF=80°．
∴扇形EAF的面积是：
故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=．故选B．

6题图

7. 解：根据弦AB分圆周长为3：7两部分，

∴两条弧的度数分别是108°和252°，

根据圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，

得弦对的圆周角分别是54°和126°，

根据弧长公式得：弧长＝＝π．

     7题图

8. 解：设该圆的半径为Rcm，

根据题意，得：＝4π，解得：R＝，

答：该圆的半径为cm．

9. 解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．

∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD＝∠ACD＝30°．

∵AD＝4，∴AB＝8．∴⊙O的直径为8cm．

（2）连结OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°．

∴的长为．

9题图

10. 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．

∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，

在Rt△OEC中，OC==2，

∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°

∴Rt△COE≌Rt△DBE，

∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．

11.  解：由弧长公式，得L==500π≈1570mm，

所要求的展直长度L=2×700+1570=2970mm．

12．解：设折扇的骨柄长和团扇的直径都是a，则

S团扇=π·（）2=πa2，

  S折扇=S大扇形－S小扇形=πa2－=πa2－πa2=πa2

  故折扇扇面的面积与团扇扇面的面积一样大，从而扇出的风量也一样大．

13．解：在Rt△ABC中，BC=1，AC=，则可得AB=2，∠CAB=30°，

则点A到点A″所经过的路线为

=（+）π．

∴点A经过的路线与直线L围成的面积为：

+

拓展探究

1．解：第一种捆法，如图①所示，绳长应为半圆,和线段AB，CD总和．

因为的长=的长=πa， AB=CD=2a，所以绳长=2a×2+πa×2=（π+4）a．

              图①                     图②

第二种捆法，如图②所示，连接O1O2，O1O3，O2O3，O1A，O2B，O2C，O3D，O3E，O1F，将绳分为6段，则AB=CD=EF=a．

弧AF的长=弧BC的长=弧ED的长==a，

所以绳长=3a+3×a=（π+3）a．

  所以最少要用（π+3）a的细绳，宜用第二种捆法．

2. 解：（1）∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°；

（2）∵∠AOC=60°，AO=CO，

∴△AOC是等边三角形；

∵OH=2，∴AO=4；

∵AD与⊙O相切，∴AD=4；

（3）∵S扇形OAC==π， S△AOD=×4×4=8；

∴．

3. 解：(1)AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝4.

(2)由(1)，得AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°.

如图，连接AD，则AD＝＝2.

∴S阴影＝S△ABC－S扇形AEF＝AB·AC－＝20－5π.

3题图