初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数优秀学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数优秀学案及答案，共9页。学案主要包含了SKIPIF等内容，欢迎下载使用。

第1课时 二次函数与图形面积


出示目标


能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.


预习导学


阅读教材第49至50页,自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义.


自学反馈 学生独立完成后集体订正


如图，点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)





A.当C是AB的中点时，S最小


B.当C是AB的中点时，S最大


C.当C为AB的三等分点时，S最小


D.当C是AB的三等分点时，S最大





活动1 小组讨论


例1 某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？





解:由题意可知4y+ SKIPIF 1 < 0 ×2πx+7x=15.化简得y= SKIPIF 1 < 0 .


设窗户的面积为S m2，则S= SKIPIF 1 < 0 πx2+2x× SKIPIF 1 < 0 =-3.5x2+7.5x.


∵a=-3.5<0，∴S有最大值.∴当x=- SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ≈1.07 (m)时，


S最大= SKIPIF 1 < 0 ≈4.02(m2).即当x≈1.07 m时，窗户通过的光线最多.


此时，窗户的面积是4.02 m2.


点拨：此题较复杂，特别要注意:中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.














例2 如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？





解:设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x.


那么两个正方形的面积和y为y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.


当x= SKIPIF 1 < 0 a时，y最小=2×( SKIPIF 1 < 0 a)2-2a× SKIPIF 1 < 0 a+a2= SKIPIF 1 < 0 a2.


即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.


点拨：此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.





活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)


如图，有一块空地，空地外有一面长10 m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32 m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1 m的通道及在左右花圃各放一个1 m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？








解：当x=6.25 m时，面积最大为56.25 m2 .


点拨：此题要结合函数图象求解，顶点不在取值范围内.


课堂小结


学生试述:这节课你学到了些什么？





第2课时 二次函数与商品利润


出示目标


能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力.


预习导学


阅读教材，自学“探究2”，清楚求实际问题中的最值与二次函数最值之间的关系.


自学反馈 学生独立完成后集体订正


某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.


(1)试求y与x之间的函数关系式；


(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少？





解：(1)y=-10 000 x+80 000.


(2)当销售定价为6元时，每月利润最大，最大利润为40 000元.


点拨：(1)根据数量关系列出函数关系式； (2)先建立二次函数模型，将二次函数解析式转化为顶点式，再求最值.注意自变量需符合实际意义.


活动1 小组讨论


例1 某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现:当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).


①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；


②求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；


③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？


④小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.








解:①45+ SKIPIF 1 < 0 ×7.5=60(吨).


②y=(x-100)(45+ SKIPIF 1 < 0 ×7.5). 化简，得y=- SKIPIF 1 < 0 x2+315x-24 000.


③y=- SKIPIF 1 < 0 x2+315x-24 000=- SKIPIF 1 < 0 (x-210)2+9 075.


此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.


④我认为，小静说得不对.


理由:当月利润最大时，x为210元，


而月销售额W=x(45+ SKIPIF 1 < 0 ×7.5)=- SKIPIF 1 < 0 (x-160)2+19 200.


当x为160元时，月销售额W最大.


∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.


点拨：要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别.


活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)


某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍).


(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;


(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；


(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？











解:(1)y=50- SKIPIF 1 < 0 (0≤x≤160,且x为10的正整数倍).


(2)w=(180-20+x)(50- SKIPIF 1 < 0 )=- SKIPIF 1 < 0 x2+34x+8 000;


(3)一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润为10 880元.





课堂小结


学生试述:这节课你学到了些什么？


第3课时 实物抛物线


出示目标


能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.


预习导学


阅读教材，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系.


自学反馈 学生独立完成后集体订正


①隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=- SKIPIF 1 < 0 x2+2,一辆车高3 m,宽4 m，该车不能(填“能”或“不能”)通过该隧道.


②有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为y=- SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0 x.


活动1 小组讨论


例1 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少?





解:由题意建立如图的直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax2.





∵抛物线经过点A(2，-2),∴-2=4a,∴a=- SKIPIF 1 < 0 .即抛物线的解析式为y=- SKIPIF 1 < 0 x2.


当水面下降1 m时，点B的纵坐标为-3.将y=-3代入二次函数解析式y=- SKIPIF 1 < 0 x2，


得-3=- SKIPIF 1 < 0 x2，x2=6,x=± SKIPIF 1 < 0 .


∴此时水面宽度为2|x|=2 SKIPIF 1 < 0 m.即水面下降1 m时，水面宽度增加了(2 SKIPIF 1 < 0 -4)m.


点拨：用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系.抛物线的解析式设的恰当会给解决问题带来方便.








活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)


1.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.





①如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；


②在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式；


③设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少m时就会影响过往船只在桥下顺利航行.











解：1.①y=- SKIPIF 1 < 0 x2；②d=10 SKIPIF 1 < 0 ；


③当水深超过2.76 m时，就会影响过往船只在桥下顺利航行


点拨：以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系.设抛物线线解析式为y=ax2，然后点B的坐标为(10，-4)，即可求出解析式.





2.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.


①求该抛物线的解析式；


②计算所需不锈钢管的总长度.


























解：①略；②80 m.


点拨：本题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的解析式，但对计算总长度没有影响.


课堂小结


学生试述:这节课你学到了些什么?





课堂小练


一、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是（ ）


A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2








LISTNUM OutlineDefault \l 3 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）





A.﹣20m B.10m C.20m D.﹣10m





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )


A.88米 B.68米 C.48米 D.28米





LISTNUM OutlineDefault \l 3 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是（ ）





A.y=﹣2x2 B.y=2x2 C.y=﹣0.5x2 D.y=0.5x2


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF．四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（ ）





A.y=5﹣x B.y=5﹣x2 C.y=25﹣x D.y=25﹣x2





LISTNUM OutlineDefault \l 3 烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-2.5t2+30t+1，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（ ）


A.91米 B.90米 C.81米 D.80米








二、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-x2+x+，则羽毛球飞出的水平距离为 米.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm，则这样的长方形中y与x的关系可以写为 。


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 米．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 用一根长为32 cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm2.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在CD边上留一个1m宽的门，若设AB为y（m），BC为x（m），则y与x之间的函数关系式为 ．








三、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.


(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；


(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？



































参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 D


LISTNUM OutlineDefault \l 3 A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：5；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：y=(12-x)x


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2米．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：64；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:y=13﹣0.5x．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)S=－eq \f(1,2)x2＋30x.


(2)∵S=－eq \f(1,2)x2＋30x=－eq \f(1,2)(x－30)2＋450，


且－eq \f(1,2)＜0，∴当x=30时，S有最大值，最大值为450.


即当x为30 cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm2.