2021年安徽省合肥市瑶海区中考第三次模拟数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年安徽省合肥市瑶海区中考第三次模拟数学试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年安徽省合肥市瑶海区中考第三次模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．2的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．第七次全国人口普查结果显示我国总人口为14.1178亿人，其中14.1178亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（ ）


A．
B．
C．
D．

5．下列四个选项中为多项式的因式是（ ）
A． B． C． D．
6．下表是某校男子排球队队员的年龄分布，则这些队员年龄的中位数（岁）是（ ）
年龄/岁
13
14
15
16
人数
1
5
4
2

A．14 B．14.5 C．15 D．16
7．某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE，分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．
9．如图①，在矩形中，、交于点，点在边上运动，于点，于点，设，．且与满足一次函数关系，其图象如图②所示，其中，以下判断中，不正确的是（ ）

A．中斜边上的高为6
B．无论点在上何处，与的和始终保持不变
C．当时，垂直平分
D．若，则矩形的面积为60
10．甲、乙两辆汽车沿同路线从地前住地，、两地间的距离为240千米，甲车以40千米时的速度与速行驶，行驶3小时后出现故障，停车维修1小时，修好后以80千米时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后以80千米时的速度匀速前往地，甲、乙两车到达地后均作停留，下列选项中，能正确反映两车与地之同的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
11．计算：__________．
12．“正方形对角线互相垂直平分”的逆命题是______（填“真命题”或“假命题”）．
13．如图，的直角项点，另一项点及斜边的中点都在上，，，则的半径为______．


14．如图，和都是等腰直角三角形，，且点、、在同一条直线上，连接．

（1）的度数为______．
（2）若、分别是、的中点，连接，，，则的值为______．

三、解答题
15．计算：，其中．
16．观察下列等式：
第1个等式：； 第2个等式：；
第3个等式：； 第4个等式：；
第5个等式：；
按照以
上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：____________________________________．
（2）写出你猜想的第个等式：_____________________．（用含的等式表示），并证明．
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形（顶点是网格线的交点）和格点．
（1）把四边形平移，使得顶点与重合，画出平移后得到的四边形；
（2）把四边形绕点顺时针旋转90°，画出旋转后得到的四边形．

18．安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图①是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图②，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图，已知米，，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角．且米，求匾额悬挂的高度的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）．

19．为了减少雾霾，美化环境，小王上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小王家距单位的路程是15千米，在相同的路线上，小王驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小王骑自行车的速度．
20．如图，已知是的直径，于点，连接，弦，直线交直线于点．
（1）求证：直线是的切线：
（2）若，，，求的长．


21．某校在倡导“光盘行动”活动中，在食堂随机观察50名学生午餐剩余情况并据此打分（以百分制呈现，分数都大于49.5且为整数），统计后绘制了频数分布表和频数分布直方图，部分信息如下：
频数分布表
分组
分数
频数
第一组

16
第二组

20
第三组


第四组


第五组

2
合计

50

（1）补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）据此估计全校2000名学生午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数为_________，如果将本次统计结果绘制成扇形统计图，那么午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占扇形的圆心角的度数为__________．
（3）若从以上第四组和第五组的学生中随机挑选2名学生为学校午餐“光盘行动”监督员．求挑选的2名学生恰好都在第五组的概率．
22．春节期间商家销售某种纪念品，进价为12元/只，售价为20元/只，为了促销，该商家决定凡是一次购买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元[例如：某人买20只这种纪念品，于是每只降价元，就可以按19元/只的价格购买]，但是最低价为16元/只，
（1）求顾客一次至少购买多少只，才能以最低价购买？
（2）求出当一次购买只时，总利润（元）与购买量（只）之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客一次购买了46只，另一位顾客一次购买了50只，商家发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的数量越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高到多少？为什么？
23．如图1，四边形是正方形，，连接，是等腰直角三角形，，交于点．

（1）若交边于点，连接，求证：．
（2）连接，求证：是等腰直角三角形．
（3）如图2，若交直线于点，交于点，交的延长线于点，连接，若是的中点，求的长．


参考答案
1．D
【分析】
根据相反数的概念解答即可．
【详解】
2的相反数是-2，
故选D．
2．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：14.1178亿=，
故选B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】
根据平方的意义，直接求解，即可．
【详解】
解：原式==．
故选A．
【点睛】
本题主要考查乘方运算，掌握乘方的意义，是解题的关键．
4．B
【分析】
判断出组合体的左视图、主视图及俯视图，即可作出判断．
【详解】
解：几何体的左视图和主视图是相同的，
故选：B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，注意理解三视图观察的方向．
5．A
【分析】
把多项式分解因式，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵=，
∴是的因式，
故选A．
【点睛】
本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法和十字相乘法分解因式，是解题的关键．
6．B
【分析】
把这组数据从小到大排列，求中间两个数的平均数即可．
【详解】
解：把这组数据从小到大排列，13,14,14,14,14,14,15,15,15,15,16,16中间的两个数是14和15，中位数为：（岁）；
故选：B．
【点睛】
本题考查了中位数的定义，解题关键是明确中位数的意义，把数据重新从小到大排列，根据中位数的定义确定中位数．
7．A
【分析】
本题依题意可知四月份的人数＝25（1＋x），则五月份的人数为：25（1＋x）（1＋x），列方程25（1＋x）2＝64即可得出答案．
【详解】
解：设每月的平均增长率为x，依题意得：
．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2＝现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用＋，减少用−．
8．D
【详解】
连接AC，延长CB，过点F作CH⊥CB于点H，则根据题意可得：FH=1，CH=2+3=5，
根据勾股定理可得：CF=，
根据正方形的性质可得：∠CAB=45°，则∠CAF=90°，即△CAF为直角三角形，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AM=.
故选D

【点睛】
本题主要考查的就是矩形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，解决本题的关键就是通过构造辅助线将所求的线段转化到直角三角形中.在这个问题中，通过直角三角形的勾股定理求出斜边的长度，然后根据正方形和等腰直角三角形的性质得出直角三角形，最后根据直角三角形的性质得出答案.
9．D
【分析】
（A）根据图②中的信息求得y的最大值，即可得出Rt△ABD中斜边BD上的高；
（B）根据图②中的信息可得，y与x满足一次函数关系，x与y的和为定值；
（C）先判断P为AD的中点，再根据等腰三角形AOD三线合一即可得出结论；
（D）先根据勾股定理求得DE，再利用射影定理求得BE，最后根据矩形的面积等于△ABD面积的2倍进行计算即可．
【详解】
解：（A）由图②可得，x＋y＝6，所以当x＝0时，y＝6，即PN的最大值为6，所以Rt△ABD中斜边BD上的高AE为6，故（A）正确，不符合题意．
（B）由图②可得，x＋y＝6，所以无论点P在AD上何处，PM与PN的和始终为6，故（B）正确，不符合题意．
（C）当x＝3时，y＝3，此时PN＝PM，
∵∠OAD=∠ODA，∠AMP=∠DNP=90°，
∴△APM≌△DPN，
∴点P为AD的中点，
∴等腰三角形AOD中，OP垂直平分AD，故（C）正确，不符合题意．
（D）若AD＝10，则直角三角形ADE中，DE＝，
∵∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠DAE，
∴∠ABE=∠DAE，
又∵∠AEB=∠AED，
∴，
∴，即：，解得：BE=，
∴矩形ABCD的面积＝2××（＋8）×6＝75，故（D）错误．符合题意．
故选D．

【点睛】
本题以动点问题为背景考查了矩形的性质与一次函数的图象，判断PM＋PN的值是定值是解决问题的关键，解题时注意：图①中，根据面积法可得PM＋PN＝AE．
10．C
【分析】
根据甲车和乙车的行驶速度和出发时间，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】
由题意得，甲行驶3小时后出现故障后停车维修1小时，故A选项错误；
由题意得，乙车在甲车出发2小时后以80千米/时的速度匀速前往B地，故B选项错误；
由题意得，甲车维修后行驶到B地的用时为：(240-120)÷80=1.5（小时）,
∴甲车到达B地的时间为：3+1+1.5=5.5（小时），
乙车行驶到B地的时间为：240÷80=3（小时），
∴乙车行驶到B地的时间为：3+2=5（小时），故C选项正确；
由题意得，甲刚开始的速度为40千米/时，乙的速度为80千米/时，甲出发3～4小时（1小时维修）行驶的路程为千米，（小时），即乙出发小时后（此时甲在维修）两车相遇，故D选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查行程问题与函数图像，准确找出题目中的行驶速度和行驶时间，是解题的关键．
11．
【分析】
利用二次根式的乘法法则进行计算，注意结果要化成最简二次根式
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查二次根式的乘法计算，掌握运算法则准确计算是解题关键
12．假命题
【分析】
将原命题“正方形对角线互相垂直平分”中的条件和结论交换一下，就是所求逆命题，对逆命题进行分析得出结论即可．
【详解】
原命题中的条件是“正方形”，结论是“对角线互相垂直平分”，
将原命题中的条件和结论互换，就是原命题的逆命题，
可描述为“对角线互相垂直平分的四边形是正方形”，
该命题对两条对角线的长度没有作长度相等的要求，是个假命题．
故答案为：假命题．
【点睛】
本题考查了写一个命题的逆命题，判断命题的真假，牢固掌握命题的基本结构是解题关键．
13．
【分析】
作辅助线，构建相似三角形，证明△BDE∽△BCA，列比例式求出DE的长，最后利用勾股定理求直径AE，进而即可求解．
【详解】
解：连接DE、AE、CD，


∵∠ACB=90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠EBD＝∠ABC，∠BDE＝∠BCA＝90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
∵D是斜边AB的中点，
∴BD＝AD，
由勾股定理得：AB=，
∴BD＝AD＝AB＝5，
∴，
∴DE＝，
∴AE＝，
∴OE＝AE＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆中的基本性质和直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
14．90°
【分析】
（1）先根据已知条件证明△AOC ≌△BOD，再根据等腰直角三角形的性质计算即可．
（2）先利用中位线定理得出BD的长，再根据全等三角形的性质得出AC，利用勾股定理得出AP，根据△AOC≌△BOD，利用相似比和面积的关系计算即可．
【详解】
（1)∵△AOB与△COD都是等腰直角三角形
∴ OA=OB. OC=OD
∠ODC= ∠OCD=45°
又∵ ∠AOB-∠BOC= ∠COD- ∠BOC
∴ ∠AOC=∠BOD，
即OA=OB，OC=OD，
∠AOC= ∠BOD
∴ △AOC ≌△BOD (SAS) ，
∴ ∠BDO=∠ACO=180°-∠OCD=135°，
∴ ∠ADB=∠BDO-∠ODC＝135°-45°=90°；
（2)由题意可知PC是△ABD的中位线，
∴ BD=2PC=2， PC∥BD
∴ △ACP是直角三角形，
又∵△AOC≌△BOD
∴AC=CD=BD=2，
∴AP=
AB=
又△COD∽△AOB，
∴；
故答案为：90°；
【点睛】
本题考查手拉手模型、相似三角形、全等三角形、勾股定理、相似三角形的性质．了解手拉手模型对解决本题有很大的作用．熟悉相似三角形的性质、判定是关键．
15．，3
【分析】
根据单项式乘多项式法则和平方差公式，先化简，再代入求值，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
=，
当时，原式==3．
【点睛】
本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
16．（1）；（2），证明见详解．
【分析】
（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第6个等式；
（2）结合（1）即可写出第n个等式，再利用分式的加减法法则，进行验证，即可．
【详解】
解：（1），
故答案为：；
（2）．
故答案为：．
证明：左边＝＝＝==＝右边，
所以等式成立．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
17．（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）利用网格特点和平移的性质，把四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移2个单位得到四边形；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C、D对应点A2、B2，C2，D2，则可得到四边形．
【详解】
解：（1）如解图，四边形为所作；
（2）如解图，四边形为所作．

【点睛】
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
18．4.9米
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，在Rt△BCN中，求出CN、BN，在Rt△ABE中用AB的代数式表示AE，再根据∠ADC＝45°得出CF＝DF，列方程求解即可．
【详解】
解：过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足为N、F，如图所示：

在Rt△BCN中，CN＝BC•sin∠MBC＝2×sin34°＝2×0.56=1.12（米），
BN＝BC×cos34°＝2×0.83＝1.66（米）
在Rt△ABE中，
AE＝AB•tan∠ABE＝AB×tan34°＝AB×0.67＝0.67AB，
∵∠ADC＝45°，
∴CF＝DF，
∴BN＋AB＝AD−AF，
即：1.66＋AB＝0.67AB＋4.4−1.12，
解得，AB≈4.9（米）
答：匾额悬挂的高度AB的长约为4.9米．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的边角关系，通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边，再利用各条边之间的关系，列方程求解是解决问题的常用方法．
19．骑自行车的速度为15千米/时．
【分析】
设骑自行车的速度为x千米/时，则驾车的速度为4x千米/时．依据“小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答．
【详解】
设骑自行车的速度为x千米/时，则驾车的速度为4x千米/时．根据题意，得
．解得x=15．经检验，x=15是原方程的解，且符合题意．答：骑自行车的速度为15千米/时．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
20．（1）见详解；（2）
【分析】
（1）连接OB．利用SAS证明△POB≌△POA，根据全等三角形对应角相等得出∠PBO＝∠PAO＝90°，即直线PB是⊙O的切线；
（2）根据△POB≌△POA得出PB＝PA，由已知条件“BD＝2PA”、等量代换可以求得BD＝2PB；然后由相似三角形的对应边成比例可以求得，进而即可求解．
【详解】
（1）证明：如解图，连接.

∵，
∴，.
又∵，
∴，
∴.
在与中，
，
∴．
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质及勾股定理．
21．（1）见解析；（2）160，28.8°；（3）
【分析】
(1)根据频数分布直方图可知第三组有10人，再求出第四组的人数填表或补图即可；
(2)根据图表中高于80分（含80分）的人数所占百分比，即可求出人数和圆心角度数；
(3)列树状图即可求出概率．
【详解】
解：（1）由频数分布直方图可知第三组有10人，第四组的人数为：50-16-20-10-2=2（人）
补全频数分布表和频数分布直方图如下：
频数分布表
分组
分数
频数
第一组

16
第二组

20
第三组

10
第四组

2
第五组

2
合计

50

（2）全校2000名学生午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数为：（人）；
午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占扇形的圆心角的度数为：；
故答案为：160，28.8°；
（3）依题意得第四组的频数是2，第五组的频数也是2，设第四组的2名学生分别为，第五组的2名学生分别为，画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能的结果，其中两个都在第五组的有两种，所以恰好都在第五组的概率为．
【点睛】
本题考查了统计与概率，解题关键是准确的从图表中获得信息，会用树状图求概率．
22．（1）顾客一次至少购买50只，才能以最低价购买；（2）y＝；最低价至少要提高到16.5元/只，理由见详解．
【分析】
（1）理解促销方案，正确表示售价，得方程求解；
（2）分类讨论，①10＜x≤50，②x＞50，分别得出y与x的表达式即可；
（3）由（2）可得当10＜x＜50时，y＝−0.1（x−45）2＋202.5，从而得x＝45时，y最大，进而即可得到答案．
【详解】
（1）解：设顾客一次至少购买m只，才能以最低价购买，
根据题意得：20−0.10（m−10）＝16，解得：m＝50．
答：顾客一次至少购买50只，才能以最低价购买；
（2）当10＜x＜50时，y＝[20−0.10（x−10）−12]x＝−0.1x2＋9x，
当x≥50时，y＝（16−12）x＝4x，
即：y＝；
（3）为了使每次卖的数量越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价至少要提高到16.5元/只，理由是：
由（2）得，当10＜x＜50时，y＝−0.1x2＋9x＝−0.1（x−45）2＋202.5，
∴当10＜x≤45时，y随着x的增大而增大，x＝45时，y最大，
所以取x＝45，得最低售价为20−0.10×（45−10）＝16.5，
因此最低价至少要提高到16.5元/只．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，分类讨论得出函数解析式是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）证明，结合即可证明；
（2）证明，结合可证明，故可得，再结合即可得到结论；
（3）证明和可证明，从而可得，最后求出DG的长即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：如图，

∵四边形ABCD是正方形
∴

∵是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∴
又
∴．
（2）∵
∴
又
∴
∴
又
∴
∴
又
∴为等腰直角三角形；
（3）如图，

∵四边形ABCD为正方形
∴，，
∵
∴
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵为的中点
∴
∴
∴
∴为的中点
∴
在中，
∴
【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．