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2021年江苏省无锡市九年级数学第三次中考适应性试题（word版 含答案）
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这是一份2021年江苏省无锡市九年级数学第三次中考适应性试题（word版 含答案），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省无锡市九年级数学第三次中考适应性试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．2021 B． C． D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a－(b＋c)＝a－b＋c B．(x＋1)2＝x2＋1 C．(2a2)3＝6a6 D．2a2×3a3＝6a5
4．数轴上A，B，C，D四点中，有可能在以原点为圆心，以为半径的圆上的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．三角形的外角等于两个内角的和
D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角
7．在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面推断正确的有（ ）
①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
9．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
10．如图，ABC中，∠C=90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP=3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（ ）
A．8 B．6 C． D．
二、填空题
11．在﹣1、0、、这四个数中，无理数是___．
12．冠状病毒的直径约为纳米，1纳米米，若用科学记数法表示110纳米为___________米．
13．分解因式：4a2﹣16＝_____．
14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，有五个点，将二次函数的图象记为W．下列的判断中
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是_________．
16．某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x(单位：公里)：
乘车距离x
x≤6
6＜x≤12
12＜x≤22
22＜x≤32
x＞32
票价（元）
3
4
5
6
每增加1元可乘20公里
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是___元．
17．如图，直线y＝x+b（b>0)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在第一象限内，∠OPB=45o，则线段OP、AP、BP满足的数量关系式为______．
18．如图，将RtACB绕斜边AB的中点O旋转一定的角度得到RtFAE，已知AC＝6，BC＝4，则cos∠CAE＝___．
三、解答题
19．计算：
（1）(－)-1－|－2|＋(π－2019)0；
（2）化简：a－b＋．
20．（1）解不等式组：；
（2）解方程：2x2－x－1＝0．
21．如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．
22．盒中有x个黑球和y个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是0.4；若往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为0.5．
（1）填空：x＝ ，y＝ ；
（2）小王和小林利用这个黑球和y个白球进行摸球游戏，从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王获胜，若颜色不同则小林获胜，求小王获胜的概率是多少？
23．在某项针对18～35岁的青年人每天发朋友圈数量的调查中，设一个人的“日均发朋友圈条数”为m，规定：当m≥5时为A级，当3≤m＜5时为B级，当0≤m＜3时为C级.现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发朋友圈条数”的调查，所抽青年人的“日均发朋友圈条数”的数据如下：
2
5
1
1
4
2
5
0
0
3
0
3
3
2
1
4
2
0
2
0
7
1
0
6
0
1
3
6
17
2
（1）求样本数据中为A 级的频率；
（2）试估计2000 名18～35 岁的青年人中“日均发朋友圈条数”为A 级的人数；
（3）若将此次调查的数据绘制成“日均发朋友圈条数的扇形统计图”，则C级所对应扇形的圆心角为 度．
24．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B、C重合)．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF的长；
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为 ，此时AE与BF的数量关系是 ；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
25．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元张）
零售价（元张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多30张，且餐桌和餐椅的总数量不超过270张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
26．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
（1）已知点A的坐标为(1，0)．
①若点B的坐标为(5，0)，在点P1(4，3)、P2(3，﹣2)和P3(2，)中，是点A、点B的“直角点”的是 ；
②点B在x轴的正半轴上，且AB＝，当直线y＝x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，点D(1，3)为点E(0，1)、点F(m，n)的“直角点”，若使得DEF与⊙O有交点，请直接写出半径r的取值范围．
27．如图，一次函数y＝x+2的图象交x、y轴于A、B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角ABC，反比例函数y＝的图象经过点C，连接OC交AB于点D．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求∠ADC的正切值；
（3）将AOC绕平面内一点顺时针旋转90°得，使点、均落在y＝的图象上，求的坐标．
28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴正半轴交于点A、点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点记为D，ABC的面积为10．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求∠BCD的正弦值；
（3）将此抛物线沿y轴上下平移，所得新抛物线的顶点为P，且PBD与BCD相似，求平移后的新抛物线的解析式．
参考答案
1．D
【分析】
直接利用倒数的定义分析得出答案．
【详解】
解：-2021的倒数为：，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．
2．D
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
3．D
【分析】
根据去括号法则、完全平方公式、单项式乘单项式法则分别判断即可．
【详解】
解：A、a-（b+c）=a-b-c，故原题计算错误；
B、（x+1）2=x2+2x+1，故原题计算错误；
C、（2a2）3＝8a6，故原题计算错误；
D、2a2•3a3=6a5，故原题计算正确；
故选D．
【点睛】
此题主要考查了去括号、完全平方公式、单项式乘单项式，关键是掌握计算法则．
4．A
【分析】
估算出与的取值范围，结合数轴判断即可．
【详解】
解：∵4＜6＜6.25，
∴2＜＜2.5，-2.5＜＜-2
∴以原点为圆心，以为半径的圆上的点是点A，
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确估算出与的取值范围是解题关键．
5．D
【分析】
由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．
【详解】
点与点关于轴对称；
由于的图象关于原点对称，因此选项错误；
由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
选项正确
故选．
【点睛】
考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
6．D
【详解】
试题分析：A、若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补，错误；
B、相等的角是对顶角，错误；
C、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故错误；
D、若三条直线两两相交，则共有6对对顶角，故正确；
故选D．
考点：命题与定理．
7．C
【分析】
根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断．
【详解】
解：∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%，
∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
故①正确，
∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在在50%与70%之间，
∴不能确定哪个年级的优秀率大，
故②错误；
∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%之间．
∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
故③正确．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了频数与频率，正确理解优秀率的计算方法是解题关键．
8．D
【分析】
根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，
当y＜0时，n=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．C
【分析】
通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a．
【详解】
过点D作DE⊥BC于点E
.
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．.
∴AD=a.
∴DE•AD＝a.
∴DE=2.
当点F从D到B时，用s.
∴BD=.
Rt△DBE中，
BE=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC=a-1，DC=a，
Rt△DEC中，
a2=22+（a-1）2.
解得a=.
故选C．
【点睛】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
10．B
【分析】
连接CQ，PQ，证明点Q在CP的垂直平分线上，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，可得PQ扫过的面积为△PMN的面积，证明△ABC∽△ACP，得到MN∥AB，再证明△CMN∽△CBA，得到相似比，求出△CMN的面积即可得解．
【详解】
解：连接CQ，PQ，
∵∠ACB=90°，PE⊥PF，Q为EF中点，
∴PQ=CQ=EF，
∴点Q在CP的垂直平分线上，
如图，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，
∴PQ扫过的面积为△PMN的面积，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵AP=3.6，
则，又∠C=∠C，
∴△ABC∽△ACP，
∴∠APC=∠ACB=90°，即CP⊥AB，
∵MN⊥CP，
∴MN∥AB，
∴△CMN∽△CBA，又MN垂直平分CP，
∴，且△CMN和△PMN的面积相等，
∴S△PMN=S△CMN=S△ABC==6，
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是推出点Q的路径，得到点Q在CP的垂直平分线上．
11．
【分析】
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【详解】
解：-1，0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是无理数．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
12．
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：110纳米=110×10-9米=1.1×10-7米．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．4（a+2）（a﹣2）
【分析】
首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：4a2﹣16＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2）．
故答案为：4（a+2）（a﹣2）．
【点睛】
本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键.
14．45°
【分析】
根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
由题意可得：
∠1=∠3，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．
15．①②
【分析】
由m≠0可得点A 不在抛物线上，故可判断①；先根据B，C两点坐标求出函数关系式，再把D点坐标代入即可判断点D是否在函数图象上；将C、E两点坐标代入，能求出a，m则可判断出C、E均在函数图象上，否则，则不在函数图象上.
【详解】
由二次函数知其顶点坐标为（2，m），而m≠0，
故（2，0）不在函数图象上，
所以，点A不在函数图象上，即点A一定不在W上，故①正确；
把C（-2，4），B（0，-2）代入得，
，
解得，，
∴
当x=4时，y=-2,
所以，点D在函数的图象上，
因此，点B，C，D可以同时在W上，故②正确；
把C（-2，4），E（7，0）分别代入得，
，
解得，
∴
所以，点C，E可能同时在W上，故③错误.
故答案为：①②.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，运用待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键.
16．4
【分析】
根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可．
【详解】
解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5元，即每天10元，10天后花费100元，第22次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8=4元，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用问题，根据条件确定对应的分段函数关系，分别进行计算是解决本题的关键．
17．BP2+2OP2=AP2
【分析】
以OP为边作等腰直角三角形OPQ，证明△AOP≌△BOQ，得到AP=BQ，证明△BPQ为直角三角形，得到BP2+PQ2=BQ2，再利用等量代换即可得到结论．
【详解】
解：如图，以OP为边作等腰直角三角形OPQ，
则OP=OQ，∠POQ=90°，∠OPQ=∠OQP=45°，OP=PQ，
∵直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=b，令y=0，则x=-b，
即A（-b，0），B（0，b），即OA=OB=b，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOB+∠POB=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ，
OA=OB，OP=OQ，
∴△AOP≌△BOQ（SAS），
∴AP=BQ，
∵∠OPB=45°，
∴∠BPQ=∠OPB+∠OPQ=90°，
∴在△BPQ中，BP2+PQ2=BQ2，
∴BP2+2OP2=AP2，
故答案为：BP2+2OP2=AP2．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，有一定难度，解题的关键是添加辅助线，构造出全等三角形．
18．
【分析】
如图，连接，，作于，于．想办法证明，求出即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接，，作于，于．
由题意：，
，，，，共圆，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
由题意，易证，四边形是矩形，
，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查旋转变换，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．（1）；（2）
【分析】
（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，去绝对值进行计算，再求出即可；
（2）先通分，再作加法．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行化简和计算是解此题的关键．
20．（1）≤x＜2；（2）x1=2，x2=-1
【分析】
（1）先解出不等式组中的两个不等式的解集，然后取其交集即为该不等式组的解集；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1），
解不等式①，得x≥，
解不等式②，得x＜2，
∴原不等式组的解集为≤x＜2；
（2），
∴a=2，b=-1，c=-1，
∵b2-4ac=1-4×2×（-1）=9，
∴x=，
解得：x1=2，x2=-1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程—公式法、解一元一次不等式组，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b，c的值，然后当b2-4ac≥0时，将a，b及c的值代入求根公式来求解．
21．证明见解析
【分析】
根据菱形的性质可得AB=BC，AD∥BC，再根据两直线平行，同位角相等可得∠A=∠CBF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠A＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键．
22．（1）2，3；（2）
【分析】
（1）根据题意列出方程组，解之即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球颜色相同、颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）根据题意得：
，
解得：；
故答案为：2，3；
（2）画树状图得：
共有20种等可能的结果，两球颜色相同的有8种情况，颜色不同的有12种情况，
（小王胜），（小林胜）．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）；（2）400人；（3）216°
【分析】
（1）由抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有6人，即可求得样本数据中为A级的频率；
（2）用2000乘以“日均发朋友圈条数”为A 级的频率；
（3）用C级所占样本的比例乘以360°即可．
【详解】
解：（1）∵抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有6人，
∴样本数据中为A级的频率为：=；
（2）2000个18～35岁的青年人中“日均发朋友圈条数”为A级的人数为：
2000×=400人；
（3）∵C级对应的有18人，
∴C级所对应扇形的圆心角为=216°．
【点睛】
本题考查了频数与频率，扇形统计图圆心角，样本估计总体的知识，解题的关键是读懂题意，不重不漏的处理题干中的数据，掌握相关量的计算方法．
24．（1）等边三角形，EF=；（2）①正方形，AE=BF，②y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范围为：8≤y＜16．
【分析】
（1）由旋转性质，易得是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长；
（2）①四边形EFGH是正方形；利用三角形全等证明AE＝BF；
②求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围．
【详解】
解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE＝CF．
设AE＝CF＝x，则BE＝BF＝4﹣x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴．
∴．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2＝DE2，即：，
解得：，（舍去）
∴．
DEF的形状为等边三角形，EF的长为．
（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．
由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，
∴四边形EFGH的形状为正方形．
∴∠HEF＝90°
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3．
∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝∠4．
在△AEH与△BFE中，
∴△AEH≌△BFE（ASA）
∴AE＝BF．
②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，
∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4﹣x．
∴．
∴y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4）
∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0时，y＝16，
∴y的取值范围为：8≤y＜16．
故答案是：（1）等边三角形，；（2）①正方形，AE=BF，②y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范围为：8≤y＜16．
【点睛】
本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正多边形、勾股定理、二次函数等知识点．本题难度不大，着重对于几何基础知识的考查，是一道好题．
25．（1）260；（2）当购进餐桌40张、餐椅230张时，才能获得最大利润，最大利润是12400元
【分析】
（1）根据数量=总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+30）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润=单件（单套）利润×销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）根据题意得：，
解得a=260，
经检验，a=260是原分式方程的解．
答：表中a的值为260．
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+30）张，
根据题意得：x+5x+30≤270，
解得：x≤40．
设销售利润为y元，
根据题意得：y=[940-260-4×（260-140）]×x+（380-260）×x+[160-（260-140）]×（5x+30-4×x）=280x+1200，
∵k=280＞0，
∴当x=40时，y取最大值，最大值为：280×40+1200=12400．
答：当购进餐桌40张、餐椅230张时，才能获得最大利润，最大利润是12400元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质解决最值问题．
26．（1）①，；②；（2）
【分析】
（1）①根据“直角点”的定义即可解决问题；②首先求出的中点坐标，再利用“直角点”的定义确定：点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上，根据边界直线，确定的值，可得结论；
（2）以为圆心，以为半径画圆求出半径是最小值，以为半径画圆求出半径是最大值，可得结论．
【详解】
解：（1）①点的坐标为，若点的坐标为，点，
，，，
，
不是点、点的“直角点”；
同理得：，是点、点的“直角点”；
故答案为：，；
②，，
线段的中点，，
点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上，
当直线与相切于点，与两坐标轴相交于点、时，如图，连接，则，
，，
，
，
，
即，
同理：当直线与相切于点时，
，
，
即，
综上所述：；
（2）如图，
点为点、点的“直角点”，
，且，，
以为圆心为半径作圆，连接，以为半径作圆，
过D作DG⊥EF，垂足为G，
可得：EG=1，DG=2，
∴cos∠DEF=，
，
中，由勾股定理得：，
．
【点睛】
本题考查圆的综合题、圆的有关知识、一次函数的性质、“直角点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（1）；（2）3；（3），或，
【分析】
（1）分别令和代入一次函数中求出A，B坐标，作辅助线，证明，得，得四边形是正方形，根据面积公式计算，根据反比例函数的几何意义可得的值；
（2）先由（1）得：，由面积法可得的长，利用勾股定理计算的长，最后由三角函数的定义代入计算可得结论；
（3）根据题意可得，通过画图可知存在两种情况：①当、在反比例函数的图象的第一象限时，如图2，②当、在反比例函数的图象的第三象限时，如图3，作辅助线构建两个全等的等腰直角三角形，根据条件可设，的坐标，代入反比例函数表达式，得到方程，解出可得结论．
【详解】
解：（1）当时，，
，即，
当时，，
则
，即，
由勾股定理得：，
是等腰直角三角形，
，
过作于，作于，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）如图1，由（1）得：，
，
过作于，
，
∴，
∴，
设交于，
当时，，
，
，
，
，
，
，
设，，
则，
解得：，
，
中，，
；
（3）根据题意可得，与轴平行．
①当、在反比例函数的图象的第一象限时，如图2，过作轴于，过作轴，过作轴，
可得两个全等的等腰直角和△，根据条件可设，，
则，
解得，
，
，
，；
②当、在反比例函数的图象的第三象限时，如图3，过作轴于，
同理，根据条件可设，，
则，
解得，
，
，
，；
综上，的坐标为，或，．
【点睛】
本题是反比例函数和一次函数综合题型，主要考查了一次函数与坐标的交点，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，长方形和三角形的面积公式，以及一元二次方程等知识，本题难点在于（3）根据旋转角是判断出，与轴平行时，注意要分情况讨论．
28．（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）令，由求出点、的坐标，即用含的代数式表示点、的横坐标，求出的长，再根据的面积为10求出点的坐标，由此求出的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）过点作的垂线交于点，求出直线的解析式，再求出直线的解析式并将这两条直线的解析式联立成方程组，解方程组求出它们的交点的坐标，再求、的长，即可求的正弦值；
（3）分情况画出图形，求出平移距离，即可求得平移后的抛物线的解析式．
【详解】
解：（1）当时，由，得，，
，，；
设，则，解得，
；
又，
，
解得或（不符合题意，舍去），
抛物线的解析式为；
（2）如图1，作于点，交于点，设直线的解析式为．
，
，
，
解得，
；
由（1），得，，
，
为的中点，，，
设直线的解析式为，则，解得，
，
由，得，
，，
，，
．
（3）如图2，过点作轴于点，交于点，则，
，
，
，
，
又（公共角），
，
点为抛物线平移后的顶点，
，
，
；
平移后的抛物线与抛物线的形状相同且对称轴相同，
平移后的抛物线为，即．
若△BPD∽△DBC，
∴，
∵BD==，CD==，
BC==，
∴，
解得：，
，
∴平移后的抛物线为；
综上：平移后的新抛物线的解析式为或．
【点睛】
此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定、解直角三角形、解一元二次方程、用待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是正确地作出有关的辅助线，第（3）题应注意用好前面得出的结论，找到点P的位置且求出点P的坐标．
2021年江苏省无锡市九年级数学第三次中考适应性试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．2021 B． C． D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a－(b＋c)＝a－b＋c B．(x＋1)2＝x2＋1 C．(2a2)3＝6a6 D．2a2×3a3＝6a5
4．数轴上A，B，C，D四点中，有可能在以原点为圆心，以为半径的圆上的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．三角形的外角等于两个内角的和
D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角
7．在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面推断正确的有（ ）
①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
9．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
10．如图，ABC中，∠C=90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP=3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（ ）
A．8 B．6 C． D．
二、填空题
11．在﹣1、0、、这四个数中，无理数是___．
12．冠状病毒的直径约为纳米，1纳米米，若用科学记数法表示110纳米为___________米．
13．分解因式：4a2﹣16＝_____．
14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，有五个点，将二次函数的图象记为W．下列的判断中
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是_________．
16．某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x(单位：公里)：
乘车距离x
x≤6
6＜x≤12
12＜x≤22
22＜x≤32
x＞32
票价（元）
3
4
5
6
每增加1元可乘20公里
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是___元．
17．如图，直线y＝x+b（b>0)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在第一象限内，∠OPB=45o，则线段OP、AP、BP满足的数量关系式为______．
18．如图，将RtACB绕斜边AB的中点O旋转一定的角度得到RtFAE，已知AC＝6，BC＝4，则cos∠CAE＝___．
三、解答题
19．计算：
（1）(－)-1－|－2|＋(π－2019)0；
（2）化简：a－b＋．
20．（1）解不等式组：；
（2）解方程：2x2－x－1＝0．
21．如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．
22．盒中有x个黑球和y个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是0.4；若往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为0.5．
（1）填空：x＝ ，y＝ ；
（2）小王和小林利用这个黑球和y个白球进行摸球游戏，从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王获胜，若颜色不同则小林获胜，求小王获胜的概率是多少？
23．在某项针对18～35岁的青年人每天发朋友圈数量的调查中，设一个人的“日均发朋友圈条数”为m，规定：当m≥5时为A级，当3≤m＜5时为B级，当0≤m＜3时为C级.现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发朋友圈条数”的调查，所抽青年人的“日均发朋友圈条数”的数据如下：
2
5
1
1
4
2
5
0
0
3
0
3
3
2
1
4
2
0
2
0
7
1
0
6
0
1
3
6
17
2
（1）求样本数据中为A 级的频率；
（2）试估计2000 名18～35 岁的青年人中“日均发朋友圈条数”为A 级的人数；
（3）若将此次调查的数据绘制成“日均发朋友圈条数的扇形统计图”，则C级所对应扇形的圆心角为 度．
24．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B、C重合)．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF的长；
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为 ，此时AE与BF的数量关系是 ；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
25．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元张）
零售价（元张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多30张，且餐桌和餐椅的总数量不超过270张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
26．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
（1）已知点A的坐标为(1，0)．
①若点B的坐标为(5，0)，在点P1(4，3)、P2(3，﹣2)和P3(2，)中，是点A、点B的“直角点”的是 ；
②点B在x轴的正半轴上，且AB＝，当直线y＝x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，点D(1，3)为点E(0，1)、点F(m，n)的“直角点”，若使得DEF与⊙O有交点，请直接写出半径r的取值范围．
27．如图，一次函数y＝x+2的图象交x、y轴于A、B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角ABC，反比例函数y＝的图象经过点C，连接OC交AB于点D．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求∠ADC的正切值；
（3）将AOC绕平面内一点顺时针旋转90°得，使点、均落在y＝的图象上，求的坐标．
28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴正半轴交于点A、点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点记为D，ABC的面积为10．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求∠BCD的正弦值；
（3）将此抛物线沿y轴上下平移，所得新抛物线的顶点为P，且PBD与BCD相似，求平移后的新抛物线的解析式．
参考答案
1．D
【分析】
直接利用倒数的定义分析得出答案．
【详解】
解：-2021的倒数为：，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．
2．D
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
3．D
【分析】
根据去括号法则、完全平方公式、单项式乘单项式法则分别判断即可．
【详解】
解：A、a-（b+c）=a-b-c，故原题计算错误；
B、（x+1）2=x2+2x+1，故原题计算错误；
C、（2a2）3＝8a6，故原题计算错误；
D、2a2•3a3=6a5，故原题计算正确；
故选D．
【点睛】
此题主要考查了去括号、完全平方公式、单项式乘单项式，关键是掌握计算法则．
4．A
【分析】
估算出与的取值范围，结合数轴判断即可．
【详解】
解：∵4＜6＜6.25，
∴2＜＜2.5，-2.5＜＜-2
∴以原点为圆心，以为半径的圆上的点是点A，
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确估算出与的取值范围是解题关键．
5．D
【分析】
由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．
【详解】
点与点关于轴对称；
由于的图象关于原点对称，因此选项错误；
由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
选项正确
故选．
【点睛】
考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
6．D
【详解】
试题分析：A、若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补，错误；
B、相等的角是对顶角，错误；
C、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故错误；
D、若三条直线两两相交，则共有6对对顶角，故正确；
故选D．
考点：命题与定理．
7．C
【分析】
根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断．
【详解】
解：∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%，
∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
故①正确，
∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在在50%与70%之间，
∴不能确定哪个年级的优秀率大，
故②错误；
∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%之间．
∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
故③正确．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了频数与频率，正确理解优秀率的计算方法是解题关键．
8．D
【分析】
根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，
当y＜0时，n=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．C
【分析】
通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a．
【详解】
过点D作DE⊥BC于点E
.
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．.
∴AD=a.
∴DE•AD＝a.
∴DE=2.
当点F从D到B时，用s.
∴BD=.
Rt△DBE中，
BE=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC=a-1，DC=a，
Rt△DEC中，
a2=22+（a-1）2.
解得a=.
故选C．
【点睛】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
10．B
【分析】
连接CQ，PQ，证明点Q在CP的垂直平分线上，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，可得PQ扫过的面积为△PMN的面积，证明△ABC∽△ACP，得到MN∥AB，再证明△CMN∽△CBA，得到相似比，求出△CMN的面积即可得解．
【详解】
解：连接CQ，PQ，
∵∠ACB=90°，PE⊥PF，Q为EF中点，
∴PQ=CQ=EF，
∴点Q在CP的垂直平分线上，
如图，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，
∴PQ扫过的面积为△PMN的面积，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵AP=3.6，
则，又∠C=∠C，
∴△ABC∽△ACP，
∴∠APC=∠ACB=90°，即CP⊥AB，
∵MN⊥CP，
∴MN∥AB，
∴△CMN∽△CBA，又MN垂直平分CP，
∴，且△CMN和△PMN的面积相等，
∴S△PMN=S△CMN=S△ABC==6，
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是推出点Q的路径，得到点Q在CP的垂直平分线上．
11．
【分析】
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【详解】
解：-1，0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是无理数．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
12．
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：110纳米=110×10-9米=1.1×10-7米．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．4（a+2）（a﹣2）
【分析】
首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：4a2﹣16＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2）．
故答案为：4（a+2）（a﹣2）．
【点睛】
本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键.
14．45°
【分析】
根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
由题意可得：
∠1=∠3，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．
15．①②
【分析】
由m≠0可得点A 不在抛物线上，故可判断①；先根据B，C两点坐标求出函数关系式，再把D点坐标代入即可判断点D是否在函数图象上；将C、E两点坐标代入，能求出a，m则可判断出C、E均在函数图象上，否则，则不在函数图象上.
【详解】
由二次函数知其顶点坐标为（2，m），而m≠0，
故（2，0）不在函数图象上，
所以，点A不在函数图象上，即点A一定不在W上，故①正确；
把C（-2，4），B（0，-2）代入得，
，
解得，，
∴
当x=4时，y=-2,
所以，点D在函数的图象上，
因此，点B，C，D可以同时在W上，故②正确；
把C（-2，4），E（7，0）分别代入得，
，
解得，
∴
所以，点C，E可能同时在W上，故③错误.
故答案为：①②.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，运用待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键.
16．4
【分析】
根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可．
【详解】
解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5元，即每天10元，10天后花费100元，第22次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8=4元，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用问题，根据条件确定对应的分段函数关系，分别进行计算是解决本题的关键．
17．BP2+2OP2=AP2
【分析】
以OP为边作等腰直角三角形OPQ，证明△AOP≌△BOQ，得到AP=BQ，证明△BPQ为直角三角形，得到BP2+PQ2=BQ2，再利用等量代换即可得到结论．
【详解】
解：如图，以OP为边作等腰直角三角形OPQ，
则OP=OQ，∠POQ=90°，∠OPQ=∠OQP=45°，OP=PQ，
∵直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=b，令y=0，则x=-b，
即A（-b，0），B（0，b），即OA=OB=b，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOB+∠POB=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ，
OA=OB，OP=OQ，
∴△AOP≌△BOQ（SAS），
∴AP=BQ，
∵∠OPB=45°，
∴∠BPQ=∠OPB+∠OPQ=90°，
∴在△BPQ中，BP2+PQ2=BQ2，
∴BP2+2OP2=AP2，
故答案为：BP2+2OP2=AP2．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，有一定难度，解题的关键是添加辅助线，构造出全等三角形．
18．
【分析】
如图，连接，，作于，于．想办法证明，求出即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接，，作于，于．
由题意：，
，，，，共圆，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
由题意，易证，四边形是矩形，
，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查旋转变换，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．（1）；（2）
【分析】
（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，去绝对值进行计算，再求出即可；
（2）先通分，再作加法．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行化简和计算是解此题的关键．
20．（1）≤x＜2；（2）x1=2，x2=-1
【分析】
（1）先解出不等式组中的两个不等式的解集，然后取其交集即为该不等式组的解集；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1），
解不等式①，得x≥，
解不等式②，得x＜2，
∴原不等式组的解集为≤x＜2；
（2），
∴a=2，b=-1，c=-1，
∵b2-4ac=1-4×2×（-1）=9，
∴x=，
解得：x1=2，x2=-1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程—公式法、解一元一次不等式组，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b，c的值，然后当b2-4ac≥0时，将a，b及c的值代入求根公式来求解．
21．证明见解析
【分析】
根据菱形的性质可得AB=BC，AD∥BC，再根据两直线平行，同位角相等可得∠A=∠CBF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠A＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键．
22．（1）2，3；（2）
【分析】
（1）根据题意列出方程组，解之即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球颜色相同、颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）根据题意得：
，
解得：；
故答案为：2，3；
（2）画树状图得：
共有20种等可能的结果，两球颜色相同的有8种情况，颜色不同的有12种情况，
（小王胜），（小林胜）．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）；（2）400人；（3）216°
【分析】
（1）由抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有6人，即可求得样本数据中为A级的频率；
（2）用2000乘以“日均发朋友圈条数”为A 级的频率；
（3）用C级所占样本的比例乘以360°即可．
【详解】
解：（1）∵抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有6人，
∴样本数据中为A级的频率为：=；
（2）2000个18～35岁的青年人中“日均发朋友圈条数”为A级的人数为：
2000×=400人；
（3）∵C级对应的有18人，
∴C级所对应扇形的圆心角为=216°．
【点睛】
本题考查了频数与频率，扇形统计图圆心角，样本估计总体的知识，解题的关键是读懂题意，不重不漏的处理题干中的数据，掌握相关量的计算方法．
24．（1）等边三角形，EF=；（2）①正方形，AE=BF，②y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范围为：8≤y＜16．
【分析】
（1）由旋转性质，易得是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长；
（2）①四边形EFGH是正方形；利用三角形全等证明AE＝BF；
②求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围．
【详解】
解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE＝CF．
设AE＝CF＝x，则BE＝BF＝4﹣x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴．
∴．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2＝DE2，即：，
解得：，（舍去）
∴．
DEF的形状为等边三角形，EF的长为．
（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．
由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，
∴四边形EFGH的形状为正方形．
∴∠HEF＝90°
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3．
∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝∠4．
在△AEH与△BFE中，
∴△AEH≌△BFE（ASA）
∴AE＝BF．
②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，
∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4﹣x．
∴．
∴y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4）
∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0时，y＝16，
∴y的取值范围为：8≤y＜16．
故答案是：（1）等边三角形，；（2）①正方形，AE=BF，②y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范围为：8≤y＜16．
【点睛】
本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正多边形、勾股定理、二次函数等知识点．本题难度不大，着重对于几何基础知识的考查，是一道好题．
25．（1）260；（2）当购进餐桌40张、餐椅230张时，才能获得最大利润，最大利润是12400元
【分析】
（1）根据数量=总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+30）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润=单件（单套）利润×销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）根据题意得：，
解得a=260，
经检验，a=260是原分式方程的解．
答：表中a的值为260．
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+30）张，
根据题意得：x+5x+30≤270，
解得：x≤40．
设销售利润为y元，
根据题意得：y=[940-260-4×（260-140）]×x+（380-260）×x+[160-（260-140）]×（5x+30-4×x）=280x+1200，
∵k=280＞0，
∴当x=40时，y取最大值，最大值为：280×40+1200=12400．
答：当购进餐桌40张、餐椅230张时，才能获得最大利润，最大利润是12400元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质解决最值问题．
26．（1）①，；②；（2）
【分析】
（1）①根据“直角点”的定义即可解决问题；②首先求出的中点坐标，再利用“直角点”的定义确定：点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上，根据边界直线，确定的值，可得结论；
（2）以为圆心，以为半径画圆求出半径是最小值，以为半径画圆求出半径是最大值，可得结论．
【详解】
解：（1）①点的坐标为，若点的坐标为，点，
，，，
，
不是点、点的“直角点”；
同理得：，是点、点的“直角点”；
故答案为：，；
②，，
线段的中点，，
点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上，
当直线与相切于点，与两坐标轴相交于点、时，如图，连接，则，
，，
，
，
，
即，
同理：当直线与相切于点时，
，
，
即，
综上所述：；
（2）如图，
点为点、点的“直角点”，
，且，，
以为圆心为半径作圆，连接，以为半径作圆，
过D作DG⊥EF，垂足为G，
可得：EG=1，DG=2，
∴cos∠DEF=，
，
中，由勾股定理得：，
．
【点睛】
本题考查圆的综合题、圆的有关知识、一次函数的性质、“直角点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（1）；（2）3；（3），或，
【分析】
（1）分别令和代入一次函数中求出A，B坐标，作辅助线，证明，得，得四边形是正方形，根据面积公式计算，根据反比例函数的几何意义可得的值；
（2）先由（1）得：，由面积法可得的长，利用勾股定理计算的长，最后由三角函数的定义代入计算可得结论；
（3）根据题意可得，通过画图可知存在两种情况：①当、在反比例函数的图象的第一象限时，如图2，②当、在反比例函数的图象的第三象限时，如图3，作辅助线构建两个全等的等腰直角三角形，根据条件可设，的坐标，代入反比例函数表达式，得到方程，解出可得结论．
【详解】
解：（1）当时，，
，即，
当时，，
则
，即，
由勾股定理得：，
是等腰直角三角形，
，
过作于，作于，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）如图1，由（1）得：，
，
过作于，
，
∴，
∴，
设交于，
当时，，
，
，
，
，
，
，
设，，
则，
解得：，
，
中，，
；
（3）根据题意可得，与轴平行．
①当、在反比例函数的图象的第一象限时，如图2，过作轴于，过作轴，过作轴，
可得两个全等的等腰直角和△，根据条件可设，，
则，
解得，
，
，
，；
②当、在反比例函数的图象的第三象限时，如图3，过作轴于，
同理，根据条件可设，，
则，
解得，
，
，
，；
综上，的坐标为，或，．
【点睛】
本题是反比例函数和一次函数综合题型，主要考查了一次函数与坐标的交点，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，长方形和三角形的面积公式，以及一元二次方程等知识，本题难点在于（3）根据旋转角是判断出，与轴平行时，注意要分情况讨论．
28．（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）令，由求出点、的坐标，即用含的代数式表示点、的横坐标，求出的长，再根据的面积为10求出点的坐标，由此求出的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）过点作的垂线交于点，求出直线的解析式，再求出直线的解析式并将这两条直线的解析式联立成方程组，解方程组求出它们的交点的坐标，再求、的长，即可求的正弦值；
（3）分情况画出图形，求出平移距离，即可求得平移后的抛物线的解析式．
【详解】
解：（1）当时，由，得，，
，，；
设，则，解得，
；
又，
，
解得或（不符合题意，舍去），
抛物线的解析式为；
（2）如图1，作于点，交于点，设直线的解析式为．
，
，
，
解得，
；
由（1），得，，
，
为的中点，，，
设直线的解析式为，则，解得，
，
由，得，
，，
，，
．
（3）如图2，过点作轴于点，交于点，则，
，
，
，
，
又（公共角），
，
点为抛物线平移后的顶点，
，
，
；
平移后的抛物线与抛物线的形状相同且对称轴相同，
平移后的抛物线为，即．
若△BPD∽△DBC，
∴，
∵BD==，CD==，
BC==，
∴，
解得：，
，
∴平移后的抛物线为；
综上：平移后的新抛物线的解析式为或．
【点睛】
此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定、解直角三角形、解一元二次方程、用待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是正确地作出有关的辅助线，第（3）题应注意用好前面得出的结论，找到点P的位置且求出点P的坐标．
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