第七章 7.5绝对值不等式-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．(　　)

(2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．(　　)

(3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.(　　)

(4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.(　　)

(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|成立．(　　)

2、不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)

A．(－∞，4)   B．(－∞，1)

C．(1,4)   D．(1,5)

3、不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为(　　)

A．(3，＋∞)   B．(－∞，－3)

C．(－∞，－1)   D．(－∞，0)

4、若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．[2,4]   B．[1,2]

C．[－2,4]   D．[－4，－2]

5、若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．

无

题型一　绝对值不等式的解法

例1　已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.

(1)在图中画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

【同步练习】(1)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．

(2)设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A，则a＝________.

题型二　利用绝对值不等式求最值

例2　(1)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．

【同步练习】(1)关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解时，d的取值范围是________．

(2)不等式|x＋|≥|a－2|＋sin y对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为________．

1．绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

【知识拓展】

|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：

(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

题型三　绝对值不等式的综合应用

命题点1　绝对值不等式和函数的综合

例3　已知f(x)＝ax2＋bx＋c，a，b，c∈R，定义域为[－1,1]，

(1)当a＝1，|f(x)|≤1时，求证：|1＋c|≤1；

(2)当b>2a>0时，是否存在x∈[－1,1]，使得|f(x)|≥b?

命题点2　绝对值不等式和数列的综合

例4　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．

(1)证明：数列{|an－|}为单调递减数列；

(2)记Sn为数列{|an＋1－an|}的前n项和，证明：Sn<(n∈N*)．

【同步练习】

1、已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．

例5 不等式|x＋1|＋|x－1|≥3的解集为________________．

一、解绝对值不等式的基本方法有：

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．

二、求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：

(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法．

三、(1)恒成立问题可转化为函数的最值问题；(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决．

四、(1)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩．

(2)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数．

1．不等式|2x－1|<3的解集是(　　)

A．(1,2)   B．(－1,2)

C．(－2，－1)   D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

2．不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集是(　　)

A．{x|－1<x<1}   B．{x|x<－1}

C．{x|x>1}   D．{x|x<－1或x>1}

3．函数y＝|x－1|＋|x＋3|的最小值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

4．在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1 (x∈R)的解集是(　　)

A．(0,4)   B．[0,2]

C．[0,4]   D．(－2,2)

5．若不存在实数x使|x－3|＋|x－1|≤a成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,3)   B．(－∞，2)

C．(0,2)   D．(1，＋∞)

6．不等式|x－1|＋|x－2|≤5的解集为________．

7．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，对f(－2)＝________；若f(x)≤5，则x的取值范围是__________．

8．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

9．已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围是________．

10．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．

11．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.

(1)求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．

12．已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.

13．设f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.

(1)求f(x)≤x＋2的解集；

(2)若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，求x的取值范围．