第七章 7.3二元一次不定式与线性变化-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.( )
(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．( )
(4)线性目标函数的最优解是唯一的．( )
(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( )
(6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
阶段训练
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
命题点1 不含参数的平面区域问题
例1 (1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
(2)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4)
命题点2 含参数的平面区域问题
例2 (1)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq \f(4,3)，则m的值为( )
A．－3 B．1 C.eq \f(4,3) D．3
(2)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域被直线y＝kx＋eq \f(4,3)分为面积相等的两部分，则k的值是_________________．
(1)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋y≤3，,y≥x＋1))表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为( )
A．(0,3] B．[－1,1]
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
(2)已知约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．－2
题型二 求目标函数的最值问题
命题点1 求线性目标函数的最值
例3 (1)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，)) 则z＝x＋y的最大值为________．
(2)已知实数x，y满足：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1≥0，,x<2，,x＋y－1≥0，))z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是( )
A．[eq \f(5,3)，5] B．[0,5]
C．[0,5) D．[eq \f(5,3)，5)
命题点2 求非线性目标函数的最值
例4 实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,x≥0，,y≤2.))
(1)若z＝eq \f(y,x)，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．
引申探究
1．若z＝eq \f(y－1,x－1)，求z的取值范围．
2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．
命题点3 求参数值或取值范围
例5 (1)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
(2)已知a>0，x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3，))若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.
(1)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋2y≥3，,2x＋y≤3，))则z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0 C.eq \f(3,2) D．3
(2)当实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
题型三 线性规划的实际应用问题
某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－b≥5，,a－b≤2，,a<7，,a，b∈N，))设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x等于( )
A．10 B．12 C．13 D．16
第3课时
阶段重难点梳理
11．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
【知识拓展】
1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
3．最优解和可行解的关系：
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
重点题型训练
典例 (1)在直角坐标系xOy中，若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥0，,y≤2x，,y≤kx－1－1))表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．
(2)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝________.
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
2．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋6<0，,x－y＋2≥0))表示的平面区域是( )
3．若x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≤0，,x＋y≤3，,x≥0，))则2x＋y的最大值为( )
4．设实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥0，))若z＝2x＋y，则z的最大值等于________，z的最小值等于________．
作业布置
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
2．已知实数x，y满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥0，,2x＋y≤2，))则eq \r(x2＋y2)的最大值为( )
A．2 B．1 C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(4,5)
3．若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0,1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3))) D．(0,1]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
4．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－3y＋4≥0)) 中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则AB等于( )
A．2eq \r(2) B．4 C．3eq \r(2) D．6
5．设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0，))则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6 C．10 D．17
6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
7．已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,2)或－1 B．2或eq \f(1,2)
C．2或1 D．2或－1
8．已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,4x＋3y≤4，,y≥0，))则ω＝eq \f(y＋1,x)的最小值是( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
9．若关于x，y的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x＋y≥0，,kx－y＋1≥0))表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的平面区域的面积为______．
10．已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0，))若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是__________．
11．设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥x，,4x＋3y≤12，))则eq \f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是________．
*12.设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≤0，,x＋y≤4，,x≥1))表示的平面区域为M，点P(x，y)是平面区域内的动点，则z＝2x－y的最大值是________，若直线l：y＝k(x＋2)上存在区域M内的点，则k的取值范围是________．
13. 已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
14．某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题