第八章 8.3点、直线、平面的关系-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时

进门测



判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　√　)
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　×　)
(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　×　)
(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　√　)
(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　)
作业检查



阶段知识点梳理


1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．



第2课时


阶段训练


题型一　平面基本性质的应用
例1　(1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
(2)已知，空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：

①E、F、G、H四点共面；
②三直线FH、EG、AC共点．
证明　①连接EF、GH，如图所示，

∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD.
又∵CG＝BC，CH＝DC，
∴GH∥BD，∴EF∥GH，
∴E、F、G、H四点共面．
②易知FH与直线AC不平行，但共面，
∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，
∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点．
思维升华　共面、共线、共点问题的证明
(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
　如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E、C、D1、F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF ∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．
题型二　判断空间两直线的位置关系
例2　(1)(2015·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(　　)

A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

答案　(1)D　(2)D　(3)②④
解析　(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．
(2) 连接B1C，B1D1，如图所示，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，

又BD∥B1D1，∴MN∥BD.
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，
∴MN⊥CC1，MN⊥AC.
又∵A1B1与B1D1相交，
∴MN与A1B1不平行，故选D.
(3)图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉平面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
思维升华　空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
　(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面
B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交
C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ
D．a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．
(2)如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误．

题型三　求两条异面直线所成的角
例3　(2016·重庆模拟) 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

答案　
解析　如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，

所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，
在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝.
引申探究
在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cos θ的值．
解　设N为BF的中点，连接EN，MN，

则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角．
不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，
则EN＝，EM＝2，MN＝.
在△MEN中，由余弦定理得
cos∠MEN＝
＝
＝－＝－.
即cos θ＝.
思维升华　用平移法求异面直线所成的角的三步法
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
　(2017·杭州第一次质检) 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝CD＝3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD的内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于________；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于________．

答案　　
解析　当平面ABC⊥平面BCD时，点A在平面BCD上的射影为BC的中点M，

当点A在平面BCD上的射影M在BD上时，因为AB＝AC，所以BM＝MC，因为BC＝CD＝3，所以∠DBC＝30°，所以由∠BCD＝90°得BM＝MD，点M的轨迹的最大长度等于CD＝，将其补为四棱锥，所以AB＝，AE＝＝，又因为∠EBA为直线AB和CD所成的角，所以cos∠EBA＝＝.


18．构造模型判断空间线面位置关系

典例　已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是________．(填序号)
思想方法指导　本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．
解析　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α、β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．

答案　①④


第3课时


阶段重难点梳理



1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

重点题型训练



1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若a⊂α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β⇒b⊥α，
又a⊂α，所以a⊥b；若a⊥b，a⊂α，b⊥β，
则b⊥α或b∥α或b⊂α，此时α∥β或α与β相交，
所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
2．(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线(　　)
A．不存在 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有无数条
答案　D
解析　在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，

当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．
3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)
A．平行 B．相交
C．垂直 D．互为异面直线
答案　C
解析　不论l∥α，l⊂α，还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.
4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则(　　)
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M既不在AC上，也不在BD上
答案　A
解析　由于EF∩HG＝M，且EF⊂平面ABC，
HG⊂平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，
所以点M一定在直线AC上，故选A.
5．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，)
C．(1，) D．(1，)
答案　A
解析　此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于.故选A.
6．(2016·宁波二模)下列命题中，正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面
C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条
答案　D
解析　对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．
对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．
对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.
7．(2016·昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．
答案　24
解析　如图，

若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方形的面对角线有12条，所以所求的“黄金异面直线对”共有＝24对(每一对被计算两次，所以要除以2)．
8．(2016·南昌高三期末) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________．

答案　5
解析　连接A1B，将△A1BC1与△CBC1同时展开形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线CP＋PA1＝A1C达到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝＝2，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1C＋BC＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.对于展开形成的四边形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝＝＝5.
9. 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案　②③④
解析　把正四面体的平面展开图还原，如图所示，

GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
10．(2015·浙江)如图，三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

答案　
解析　如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，
∴MK∥AN，
∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，
N为BC的中点，
由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，
∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝＝.
在△CKM中，由余弦定理，得
cos∠KMC＝
＝＝.
*11.(2016·郑州质量预测) 如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________．

①BM是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A1C；
④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
答案　③
解析　取DC中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得③不正确．
12. 如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解　如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，

在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD.
∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，
∴BE＝.
在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，
∴EF＝.
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝.
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
*13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D、B、F、E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明　(1) 如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，

所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面．
即D、B、F、E四点共面．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
设平面A1ACC1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，
所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．






思导总结



作业布置


1．下列命题正确的个数为(　　)
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．
2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
答案　C
解析　由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．
3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
答案　C
解析　由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．
4. (教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．

答案　45°　60°
解析　∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGF＝45°，
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝，∴∠GBF＝60°.