第九章 9.5椭圆-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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椭圆

知识梳理

1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a 2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1 (a>b>0)
＋＝1 (a>b>0)
图形

性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

【知识拓展】
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
例题解析

题型一基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　√　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　√　)
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　×　)
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　√　)

【例2】
1、椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．8 C．4或8 D．12
答案　C
解析　由题意知
或
解得m＝4或m＝8.
2．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．9
答案　B
解析　由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
3．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，由题意得，|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝×2b＝b.
在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b，解得a＝2c，故椭圆离心率e＝＝，故选B.

4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案　或
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
题型二　椭圆的定义及标准方程
命题点1　利用定义求轨迹
【例3】如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案　A
解析　由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．

命题点2　利用待定系数法求椭圆方程
【例4】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_____________________________________________________________________．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为_______________________________________________________________．
答案　(1)＋y2＝1或＋＝1
(2)＋＝1
解析　(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，
∴＋＝1，即a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点P(3,0)．∴＋＝1，即b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．
则
①②两式联立，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.

命题点3　利用定义解决“焦点三角形”问题
【例5】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
答案　3
解析　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)
＝4a2－4c2＝4b2，
又∵＝r1r2
＝b2＝9，∴b＝3.
【同步练习】
1．在例5中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解　由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆方程为＋＝1.
2．在例5中条件“⊥”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“＝3”，结果如何？
解　|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为＝|PF1||PF2|·sin 60°
＝×b2×＝b2＝3，
所以b＝3.
3、(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且 2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，
∴＝mn＝1.

思维升华　(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．

题型三　椭圆的几何性质
【例5】(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．2
(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝
＝2
＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.
(2)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.
【同步练习】　
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案　
解析　联立方程组解得B，C两点坐标为
B，C，又F(c,0)，
则＝，＝，
又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得
c2－a2＋＝0，①
又因为b2＝a2－c2.
代入①式可化简为＝，则椭圆离心率为e＝＝＝.
思维升华　(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．

题型四　直线与椭圆
【例6】设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．
解　(1)设F(c,0)，由＋＝，
即＋＝，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，
则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，由方程组
消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2或x＝.由题意得xB＝，从而yB＝.
由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，
有＝(－1，yH)，＝.
由BF⊥HF，得·＝0，
所以＋＝0，
解得yH＝.
因此直线MH的方程为y＝－x＋.
设M(xM，yM)，由方程组消去y，
解得xM＝.
在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔|MA|＝|MO|，
即(xM－2)2＋y＝x＋y，
化简得xM＝1，即＝1，
解得k＝－或k＝.
所以直线l的斜率为－或.
思维升华　(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝ (k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
【同步练习】1、温州第一次适应性测试)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(1，)，且离心率等于.点A，B分别为椭圆C的左，右顶点，M，N是椭圆C上不同于顶点的两点，且△OMN的面积等于.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作AP∥OM交椭圆C于点P，求证：BP∥ON.
(1)解　由题意得解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　方法一　设直线OM，ON的方程为y＝kOMx，y＝kONx，
联立方程组
解得M(，)，
同理可得N(－，－)，
作MM′⊥x轴，NN′⊥x轴，M′，N′为垂足，
S△OMN＝S梯形MM′N′N－S△OMM′－S△ONN′
＝[(yM＋yN)(xM－xN)－xMyM＋xNyN]
＝(xMyN－xNyM)
＝(＋)
＝，
已知S△OMN＝，化简可得kOMkON＝－.
设P(xP，yP)，则4－x＝2y，
又已知kAP＝kOM，所以要证kBP＝kON，只要证明kAPkBP＝－即可．
而kAPkBP＝·＝＝－，
所以可得BP∥ON.
(M，N在y轴同侧同理可得)
方法二　设直线AP的方程为y＝kOM(x＋2)，代入x2＋2y2＝4，
得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－4＝0，
设P(xP，yP)，则它的两个根为－2和xP，
可得xP＝，yP＝，
从而kBP＝＝－.
所以只需证－＝kON，即kOMkON＝－，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
若直线MN的斜率不存在，易得x1＝x2＝±，
从而可得kOMkON＝－.
若直线MN的斜率存在，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，
代入＋＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝8(4k2＋2－m2)>0，
S△OMN＝|m|·|x1－x2|
＝|m|·＝，
化简得m4－(4k2＋2)m2＋(2k2＋1)2＝0，得m2＝2k2＋1，
kOM·kON＝＝
＝＝＝－.
所以可得BP∥ON.

题型五高考中求椭圆的离心率问题
考点分析　离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
【例7】已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝ ∈，故选A.

答案　A

【例8】如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0， [3分]
故x1＝0，x2＝－，
因此|AM|＝|x1－x2|＝·. [6分]
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，
且k1>0，k2＞0，k1≠k2. [8分]
由(1)知|AP|＝，|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0. [10分]
由k1≠k2，k1>0，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)，① [12分]
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，
由e＝＝，得0 所以离心率的取值范围是(0，]. [15分]

课后练习

1．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
答案　A
解析　依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.

2．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21 B．21
C．－或21 D.或－21
答案　D
解析　当9>4－k>0，即4>k>－5时，
a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，
∴＝，解得k＝.
当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，
∴＝，解得k＝－21，故选D.

3．已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设P(x0，y0)，则×＝－，
化简得＋＝1，
则＝，e＝＝＝，故选D.

4．已知椭圆：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0
答案　B
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，
所以
两式相减得＋x－x＝0，
得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，
又弦AB被点P(，)平分，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
将其代入上式得＋x1－x2＝0，
得＝－9，
即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为
y－＝－9(x－)，
即9x＋y－5＝0，故选B.

5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
答案　D
解析　设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2
(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.

6.设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得·＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，) C．(，1) D．(，1)
答案　D
解析　A1(－a,0)，A2(a,0)，
设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(a－x，－y)，
∵·＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0，
∴y2＝ax－x2>0，∴0 整理得(b2－a2)x2＋a3x－a2b2＝0，其在(0，a)上有解，
令f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，
∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，
如图，Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2)
＝a2(a4－4a2b2＋4b4)
＝a2(a2－2b2)2≥0，
∴对称轴满足0<－ ∴<1，∴>.又0<<1，∴<<1，故选D.

7．若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．
答案　＋＝1
解析　设切点坐标为(m，n)，
则·＝－1，
即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，
即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.

8．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
答案　7
解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.

9．椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．
答案　(－，)
解析　设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
x2<2，∴x2<.
解得－
10．已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a，0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　∵△AOP是等腰三角形，A(－a,0)，∴P(0，a)．
设Q(x0，y0)，∵＝2，
∴(x0，y0－a)＝2(－a－x0，－y0)．
∴解得
代入椭圆方程化简，可得＝，
∴e＝＝.

11．如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
解　(1)由已知|AB|＝|BF|，
即＝a，
4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，
∴e＝＝.
(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由消去y，
得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
从而－＋4＝0，
解得b＝1，满足b>.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

12．已知点C(x0，y0)是椭圆＋y2＝1上的动点，以C为圆心的圆过点F(1,0)．
(1)若圆C与y轴相切，求实数x0的值；
(2)若圆C与y轴相交于A，B两点，求|FA|·|FB|的取值范围．
解　(1)当圆C与y轴相切时，|x0|＝，
又因为点C在椭圆上，所以＋y＝1，
解得x0＝－2±2，
因为－≤x0≤，所以x0＝－2＋2.
(2)圆C的方程是
(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋y，
令x＝0，y2－2y0y＋2x0－1＝0，
设A(0，y1)，B(0，y2)，则y1＋y2＝2y0，y1·y2＝2x0－1，
由Δ＝4y－4(2x0－1)>0及y＝1－x，
得－2－2 又由点C在椭圆上，得－≤x0≤，
所以－≤x0<－2＋2，
|FA|·|FB|＝·＝
＝＝＝(2－x0)．
所以|FA|·|FB|∈(4－4,2＋2]．

13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．
(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程．
解　(1)设椭圆半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝，y－＝(x－)，
于是圆心坐标为(，)．
所以p＋q＝＋≤0，
整理得ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，
所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2.
所以e2＝≥，即≤e<1.
(2)当e＝时，a＝b＝c，
此时椭圆的方程为＋＝1，
设M(x，y)，则－c≤x≤c，
所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.
当c≥时，上式的最小值为c2－，即c2－＝，得c＝2；
当0 即(c)2－c＋c2＝，
解得c＝，不合题意，舍去．
综上所述，椭圆的方程为＋＝1.