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第七章 7.1不等关系与不等式-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】
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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若eq \f(a,b)>1，则a>b.( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)a>b>0，c>d>0⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c).( )
(6)若ab>0，则a>b⇔eq \f(1,a)阶段训练
题型一 比较两个数(式)的大小
例1 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
(2)若a＝eq \f(ln 3,3)，b＝eq \f(ln 4,4)，c＝eq \f(ln 5,5)，则( )
A．aC．c (1)设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq \r(a)＋eq \r(b)，B＝eq \r(a＋b)，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
题型二 不等式的性质
例2 (1)已知a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)<0
C．cb20
(2)若eq \f(1,a)①a＋b|b|；③aA．①② B．②③ C．①④ D．③④
若a>0>b>－a，cbc；②eq \f(a,d)＋eq \f(b,c)<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
方法二 取特殊值．
题型三 不等式性质的应用
命题点1 应用性质判断不等式是否成立
例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③eq \r(a－b)>eq \r(a)－eq \r(b)；④a3＋b3>2a2b.
其中一定成立的不等式为( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
命题点2 求代数式的取值范围
例4 已知－1引申探究
1．若将已知条件改为－12．若将本例条件改为－1 (1)若aA.eq \f(1,a－b)>eq \f(1,b) B．a2C.eq \f(|b|,|a|)bn
(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①eq \f(c,a)>eq \f(c,b)；②aclga(b－c)．
其中所有正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
第3课时
阶段重难点梳理
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a > b,a－b＝0⇔a ＝ b,a－b<0⇔a < b)) (a，b∈R)；
(2)作商法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)>1⇔a > b,\f(a,b)＝1⇔a ＝ b,\f(a,b)<1⇔a < b)) (a∈R，b>0)．
2．不等式的基本性质
【知识拓展】
不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)②a<0③a>b>0,0eq \f(b,d).
④0(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)．
②eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
重点题型训练
典例 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
1．设aA.eq \f(1,a)>eq \f(1,b) B.eq \f(1,a－b)>eq \f(1,a)
C．|a|>－b D.eq \r(－a)>eq \r(－b)
2．若a，b都是实数，则“eq \r(a)－eq \r(b)>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
4．若0作业布置
1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( )
A．ad>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
2．若6A．9≤c≤18 B．15C．9≤c≤30 D．93．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设α∈(0，eq \f(π,2))，β∈[0，eq \f(π,2)]，那么2α－eq \f(β,3)的取值范围是( )
A．(0，eq \f(5π,6)) B．(－eq \f(π,6)，eq \f(5π,6))
C．(0，π) D．(－eq \f(π,6)，π)
6．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若eq \f(a,c)>eq \f(b,c)，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)
D．若a2>b2且ab>0，则eq \f(1,a)7．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a) B.eq \f(b,a)>eq \f(b＋1,a＋1)
C．a－eq \f(1,b)>b－eq \f(1,a) D.eq \f(2a＋b,a＋2b)>eq \f(a,b)
8．若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是( )
A.eq \f(1,a)lg2b
C．a2＋b2≤2a＋2b－2 D．b9．已知a，b，c∈R，有以下命题：
①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；
③若a>b，则a·2c>b·2c.
其中正确命题的序号是________．
10．已知a＝lg23＋lg2eq \r(3)，b＝lg29－lg2eq \r(3)，c＝lg32，则a，b，c的大小关系是________．
11．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0；
②若ab>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，则ab>0.
其中正确的命题是________．
12．设a>b>c>0，x＝eq \r(a2＋b＋c2)，y＝eq \r(b2＋c＋a2)，z＝eq \r(c2＋a＋b2)，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连接)
13．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？
*14.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
注意c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac同向可加性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)a>b>0，c>d>0⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c).( )
(6)若ab>0，则a>b⇔eq \f(1,a)
题型一 比较两个数(式)的大小
例1 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M
C．M＝N D．不确定
(2)若a＝eq \f(ln 3,3)，b＝eq \f(ln 4,4)，c＝eq \f(ln 5,5)，则( )
A．a
A．A≤B B．A≥B
C．AB
(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
题型二 不等式的性质
例2 (1)已知a，b，c满足c
C．cb2
(2)若eq \f(1,a)
若a>0>b>－a，c
A．1 B．2 C．3 D．4
方法二 取特殊值．
题型三 不等式性质的应用
命题点1 应用性质判断不等式是否成立
例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③eq \r(a－b)>eq \r(a)－eq \r(b)；④a3＋b3>2a2b.
其中一定成立的不等式为( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
命题点2 求代数式的取值范围
例4 已知－1
1．若将已知条件改为－1
(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①eq \f(c,a)>eq \f(c,b)；②ac
其中所有正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
第3课时
阶段重难点梳理
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a > b,a－b＝0⇔a ＝ b,a－b<0⇔a < b)) (a，b∈R)；
(2)作商法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)>1⇔a > b,\f(a,b)＝1⇔a ＝ b,\f(a,b)<1⇔a < b)) (a∈R，b>0)．
2．不等式的基本性质
【知识拓展】
不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)
④0
若a>b>0，m>0，则
①eq \f(b,a)
②eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)
重点题型训练
典例 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
1．设a
C．|a|>－b D.eq \r(－a)>eq \r(－b)
2．若a，b都是实数，则“eq \r(a)－eq \r(b)>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
4．若0
1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( )
A．ad>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
2．若6
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设α∈(0，eq \f(π,2))，β∈[0，eq \f(π,2)]，那么2α－eq \f(β,3)的取值范围是( )
A．(0，eq \f(5π,6)) B．(－eq \f(π,6)，eq \f(5π,6))
C．(0，π) D．(－eq \f(π,6)，π)
6．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若eq \f(a,c)>eq \f(b,c)，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)
D．若a2>b2且ab>0，则eq \f(1,a)
A．a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a) B.eq \f(b,a)>eq \f(b＋1,a＋1)
C．a－eq \f(1,b)>b－eq \f(1,a) D.eq \f(2a＋b,a＋2b)>eq \f(a,b)
8．若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是( )
A.eq \f(1,a)
C．a2＋b2≤2a＋2b－2 D．b
①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；
③若a>b，则a·2c>b·2c.
其中正确命题的序号是________．
10．已知a＝lg23＋lg2eq \r(3)，b＝lg29－lg2eq \r(3)，c＝lg32，则a，b，c的大小关系是________．
11．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0；
②若ab>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，则ab>0.
其中正确的命题是________．
12．设a>b>c>0，x＝eq \r(a2＋b＋c2)，y＝eq \r(b2＋c＋a2)，z＝eq \r(c2＋a＋b2)，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连接)
13．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？
*14.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
注意c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)
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