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第八章 8.2空间体表面积和体积-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】
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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )
(3)球的体积之比等于半径比的平方．( × )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ )
(5)长方体既有外接球又有内切球．( × )
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )
作业检查
阶段知识点梳理
1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
第2课时
阶段训练
题型一 求空间几何体的表面积
例1 (1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋eq \r(3) B．18＋eq \r(3)
C．21 D．18
(2)一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
答案 (1)A (2)12
解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为
6×(4－eq \f(1,2))＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝21＋eq \r(3).故选A.
(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.
由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×h＝2eq \r(3)，
∴h＝1，
∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，
∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12.
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为____．
答案 26
解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋eq \f(1,2)×2π×1＝26.
题型二 求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)π B.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),3)π
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π D．1＋eq \f(\r(2),6)π
答案 C
解析 由三视图知，半球的半径R＝eq \f(\r(2),2)，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V＝eq \f(1,3)×1×1×1＋eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π，故选C.
命题点2 求简单几何体的体积
例3 (2016·江苏改编) 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积为________m3.
答案 312
解析 由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m．因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积
V锥＝eq \f(1,3)·A1Beq \\al(2,1)·PO1＝eq \f(1,3)×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,2)
答案 (1)eq \f(\r(3),3) (2)A
解析 (1) 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰长为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1)×1＝eq \f(\r(3),3).
(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝eq \f(1,2)，
AG＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)，
∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).故选A.
题型三 与球有关的切、接问题
例4 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A.eq \f(3\r(17),2) B．2eq \r(10)
C.eq \f(13,2) D．3eq \r(10)
答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
又AM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，
OM＝eq \f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ eq \r(\f(5,2)2＋62)＝eq \f(13,2).
引申探究
1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4eq \r(3)，
从而V外接球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(2eq \r(3))3＝32eq \r(3)π，
V内切球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).
2．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解 正四面体的表面积为S1＝4·eq \f(\r(3),4)·a2＝eq \r(3)a2，其内切球半径r为正四面体高的eq \f(1,4)，即r＝eq \f(1,4)·eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，则eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq \f(6\r(3),π).
3．已知侧棱和底面边长都是3eq \r(2)的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？
解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3eq \r(2)×eq \r(2)＝6，高为 eq \r(3\r(2)2－\f(1,2)×62)＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(1)(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.eq \f(9π,2) C．6π D.eq \f(32π,3)
(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.eq \f(81π,4) B．16π C．9π D.eq \f(27π,4)
答案 (1)B (2)A
解析 (1)由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为eq \f(9π,2).
(2) 如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq \r(2))2＝r2，
解得r＝eq \f(9,4)，
∴该球的表面积为4πr2＝4π×(eq \f(9,4))2＝eq \f(81,4)π.
17．巧用补形法解决立体几何问题
典例 (2016·青岛模拟) 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．
思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等．
解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝eq \f(1,2)V三棱柱＝eq \f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq \f(1,2)×24×8＝96.
答案 96
第3课时
阶段重难点梳理
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
重点题型训练
1．(2017·合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．12＋4eq \r(2) B．18＋8eq \r(2)
C．28 D．20＋8eq \r(2)
答案 D
解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为eq \f(1,2)×2×2×2＋4×2×2＋4×2eq \r(2)＝20＋8eq \r(2)，故选D.
2．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )
A.eq \f(4＋π\r(3),3) B.eq \f(8＋π\r(3),6)
C.eq \f(8＋π\r(3),3) D．(4＋π)eq \r(3)
答案 B
解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为eq \r(3).则V＝eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π＋4))·eq \r(3)＝eq \f(8＋π\r(3),6).故选B.
3．(2015·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(4π,3) C.eq \f(5π,3) D．2π
答案 C
解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq \f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq \f(1,3)π×12×1＝eq \f(5π,3)，故选C.
4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A．1＋eq \r(3) B．2＋eq \r(3)
C．1＋2eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 B
解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S表＝2×eq \f(1,2)×2×1＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝2＋eq \r(3)，故选B.
5．(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )
A.eq \f(20,3)π B．6π C.eq \f(10,3)π D.eq \f(16,3)π
答案 C
解析 该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝eq \f(1,2)×π×4×1＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×π×4×2＝eq \f(10,3)π.故选C.
6．(2016·福建三明一中第二次月考) 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C．2 D．1
答案 A
解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为eq \r(2).∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为eq \r(2)×1＝eq \r(2).故选A.
7．(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
答案 eq \f(3,2)
解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱，
底面积S＝eq \f(1＋2×1,2)＝eq \f(3,2)，高h＝1，
所以四棱柱体积V＝S·h＝eq \f(3,2)×1＝eq \f(3,2).
8．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝eq \r(6)，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．
答案 7π
解析 (图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝eq \r(6)，∴AE＝eq \f(\r(10),2).同理BE＝eq \f(\r(10),2).取AB的中点为F，连接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(\r(6),2)，AE＝eq \f(\r(10),2)，∴EF＝1.取EF的中点为O，连接OA，则OF＝eq \f(1,2).在Rt△OFA中，OA＝eq \f(\r(7),2).∵OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是eq \f(\r(7),2)，∴外接球的表面积是7π.
9．(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
答案 3π
解析 方法一 由三视图可知，
此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的eq \f(1,4)，所以V＝eq \f(3,4)×π×12×4＝3π.
方法二 由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的eq \f(1,4)，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V＝eq \f(1,2)×π×12×6＝3π.
10．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．
答案 eq \f(9,32)
解析 设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，
则V圆锥＝eq \f(1,3)·πa2·eq \r(3)a＝eq \f(\r(3),3)πa3.
又R2＝a2＋(eq \r(3)a－R)2，所以R＝eq \f(2\r(3),3)a，
故V球＝eq \f(4π,3)·(eq \f(2\r(3),3)a)3＝eq \f(32\r(3)π,27)a3，
则其体积比为eq \f(9,32).
11．已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积；
(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．
解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆锥加一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧＝eq \f(1,2)(2πa)·(eq \r(2)a)＝eq \r(2)πa2，
S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，
S圆柱底＝πa2，
所以S表＝eq \r(2)πa2＋4πa2＋πa2＝(eq \r(2)＋5)πa2.
(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．
则PQ＝eq \r(AP2＋AQ2)＝eq \r(a2＋πa2)＝aeq \r(1＋π2)，
所以从P点到Q点在侧面上的最短路径长为aeq \r(1＋π2).
12．(2016·全国丙卷) 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体NBCM的体积．
(1)证明 由已知得AM＝eq \f(2,3)AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝eq \f(1,2)BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为eq \f(1,2)PA.
取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(5).
由AM∥BC得M到BC的距离为eq \r(5)，
故S△BCM＝eq \f(1,2)×4×eq \r(5)＝2eq \r(5).
所以四面体NBCM的体积VN-BCM＝eq \f(1,3)×S△BCM×eq \f(PA,2)＝eq \f(4\r(5),3).
*13.(2017·浙江七校联考)如图所示，在空间几何体ADE－BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB＝AD＝DE＝2，EF＝4，M是线段AE上的动点．
(1)试确定点M 的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，平面MDF将几何体ADE－BCF分成两部分，求空间几何体M－DEF与空间几何体ADM－BCF的体积之比．
解 (1) 当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF.
理由如下：
连接CE交DF于点N，连接MN.因为M，N分别是AE，CE的中点，所以MN∥AC.又因为MN⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，所以AC∥平面MDF.
(2)将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－B′CF，如图所示，
三棱柱ADE－B′CF的体积为V＝S△ADE·CD＝eq \f(1,2)×2×2×4＝8，则几何体ADE－BCF的体积VADE－BCF＝VADE－B′CF－VF－BB′C＝8－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq \f(20,3).
因为三棱锥M－DEF的体积
VM－DEF＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×4))×1＝eq \f(4,3)，
所以VADM－BCF＝eq \f(20,3)－eq \f(4,3)＝eq \f(16,3)，
所以两几何体的体积之比为eq \f(4,3)∶eq \f(16,3)＝1∶4.
思导总结
作业布置
1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
答案 B
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2 cm.
2．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )
A．12π B.eq \f(32,3)π
C．8π D．4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2eq \r(3)即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
3．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
答案 80 40
解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的棱长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如图所示，
其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)，体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．
4. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为______．
答案 eq \f(2,3)
解析 设点P到平面ABC，平面A1B1C1的距离分别为h1，h2，则棱柱的高为h＝h1＋h2，又记S＝S△ABC＝，则三棱柱的体积为V＝Sh＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥P－ACC1A1的剩余体积为V′＝VP－ABC＋＝eq \f(1,3)Sh1＋eq \f(1,3)Sh2＝eq \f(1,3)S(h1＋h2)＝eq \f(1,3)，从而＝V－V′＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )
(3)球的体积之比等于半径比的平方．( × )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ )
(5)长方体既有外接球又有内切球．( × )
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )
作业检查
阶段知识点梳理
1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
第2课时
阶段训练
题型一 求空间几何体的表面积
例1 (1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋eq \r(3) B．18＋eq \r(3)
C．21 D．18
(2)一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
答案 (1)A (2)12
解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为
6×(4－eq \f(1,2))＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝21＋eq \r(3).故选A.
(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.
由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×h＝2eq \r(3)，
∴h＝1，
∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，
∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12.
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为____．
答案 26
解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋eq \f(1,2)×2π×1＝26.
题型二 求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)π B.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),3)π
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π D．1＋eq \f(\r(2),6)π
答案 C
解析 由三视图知，半球的半径R＝eq \f(\r(2),2)，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V＝eq \f(1,3)×1×1×1＋eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π，故选C.
命题点2 求简单几何体的体积
例3 (2016·江苏改编) 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积为________m3.
答案 312
解析 由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m．因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积
V锥＝eq \f(1,3)·A1Beq \\al(2,1)·PO1＝eq \f(1,3)×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,2)
答案 (1)eq \f(\r(3),3) (2)A
解析 (1) 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰长为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1)×1＝eq \f(\r(3),3).
(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝eq \f(1,2)，
AG＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)，
∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).故选A.
题型三 与球有关的切、接问题
例4 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A.eq \f(3\r(17),2) B．2eq \r(10)
C.eq \f(13,2) D．3eq \r(10)
答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
又AM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，
OM＝eq \f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ eq \r(\f(5,2)2＋62)＝eq \f(13,2).
引申探究
1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4eq \r(3)，
从而V外接球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(2eq \r(3))3＝32eq \r(3)π，
V内切球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).
2．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解 正四面体的表面积为S1＝4·eq \f(\r(3),4)·a2＝eq \r(3)a2，其内切球半径r为正四面体高的eq \f(1,4)，即r＝eq \f(1,4)·eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，则eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq \f(6\r(3),π).
3．已知侧棱和底面边长都是3eq \r(2)的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？
解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3eq \r(2)×eq \r(2)＝6，高为 eq \r(3\r(2)2－\f(1,2)×62)＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(1)(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.eq \f(9π,2) C．6π D.eq \f(32π,3)
(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.eq \f(81π,4) B．16π C．9π D.eq \f(27π,4)
答案 (1)B (2)A
解析 (1)由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为eq \f(9π,2).
(2) 如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq \r(2))2＝r2，
解得r＝eq \f(9,4)，
∴该球的表面积为4πr2＝4π×(eq \f(9,4))2＝eq \f(81,4)π.
17．巧用补形法解决立体几何问题
典例 (2016·青岛模拟) 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．
思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等．
解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝eq \f(1,2)V三棱柱＝eq \f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq \f(1,2)×24×8＝96.
答案 96
第3课时
阶段重难点梳理
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
重点题型训练
1．(2017·合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．12＋4eq \r(2) B．18＋8eq \r(2)
C．28 D．20＋8eq \r(2)
答案 D
解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为eq \f(1,2)×2×2×2＋4×2×2＋4×2eq \r(2)＝20＋8eq \r(2)，故选D.
2．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )
A.eq \f(4＋π\r(3),3) B.eq \f(8＋π\r(3),6)
C.eq \f(8＋π\r(3),3) D．(4＋π)eq \r(3)
答案 B
解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为eq \r(3).则V＝eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π＋4))·eq \r(3)＝eq \f(8＋π\r(3),6).故选B.
3．(2015·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(4π,3) C.eq \f(5π,3) D．2π
答案 C
解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq \f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq \f(1,3)π×12×1＝eq \f(5π,3)，故选C.
4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A．1＋eq \r(3) B．2＋eq \r(3)
C．1＋2eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 B
解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S表＝2×eq \f(1,2)×2×1＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝2＋eq \r(3)，故选B.
5．(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )
A.eq \f(20,3)π B．6π C.eq \f(10,3)π D.eq \f(16,3)π
答案 C
解析 该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝eq \f(1,2)×π×4×1＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×π×4×2＝eq \f(10,3)π.故选C.
6．(2016·福建三明一中第二次月考) 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C．2 D．1
答案 A
解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为eq \r(2).∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为eq \r(2)×1＝eq \r(2).故选A.
7．(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
答案 eq \f(3,2)
解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱，
底面积S＝eq \f(1＋2×1,2)＝eq \f(3,2)，高h＝1，
所以四棱柱体积V＝S·h＝eq \f(3,2)×1＝eq \f(3,2).
8．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝eq \r(6)，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．
答案 7π
解析 (图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝eq \r(6)，∴AE＝eq \f(\r(10),2).同理BE＝eq \f(\r(10),2).取AB的中点为F，连接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(\r(6),2)，AE＝eq \f(\r(10),2)，∴EF＝1.取EF的中点为O，连接OA，则OF＝eq \f(1,2).在Rt△OFA中，OA＝eq \f(\r(7),2).∵OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是eq \f(\r(7),2)，∴外接球的表面积是7π.
9．(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
答案 3π
解析 方法一 由三视图可知，
此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的eq \f(1,4)，所以V＝eq \f(3,4)×π×12×4＝3π.
方法二 由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的eq \f(1,4)，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V＝eq \f(1,2)×π×12×6＝3π.
10．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．
答案 eq \f(9,32)
解析 设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，
则V圆锥＝eq \f(1,3)·πa2·eq \r(3)a＝eq \f(\r(3),3)πa3.
又R2＝a2＋(eq \r(3)a－R)2，所以R＝eq \f(2\r(3),3)a，
故V球＝eq \f(4π,3)·(eq \f(2\r(3),3)a)3＝eq \f(32\r(3)π,27)a3，
则其体积比为eq \f(9,32).
11．已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积；
(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．
解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆锥加一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧＝eq \f(1,2)(2πa)·(eq \r(2)a)＝eq \r(2)πa2，
S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，
S圆柱底＝πa2，
所以S表＝eq \r(2)πa2＋4πa2＋πa2＝(eq \r(2)＋5)πa2.
(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．
则PQ＝eq \r(AP2＋AQ2)＝eq \r(a2＋πa2)＝aeq \r(1＋π2)，
所以从P点到Q点在侧面上的最短路径长为aeq \r(1＋π2).
12．(2016·全国丙卷) 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体NBCM的体积．
(1)证明 由已知得AM＝eq \f(2,3)AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝eq \f(1,2)BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为eq \f(1,2)PA.
取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(5).
由AM∥BC得M到BC的距离为eq \r(5)，
故S△BCM＝eq \f(1,2)×4×eq \r(5)＝2eq \r(5).
所以四面体NBCM的体积VN-BCM＝eq \f(1,3)×S△BCM×eq \f(PA,2)＝eq \f(4\r(5),3).
*13.(2017·浙江七校联考)如图所示，在空间几何体ADE－BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB＝AD＝DE＝2，EF＝4，M是线段AE上的动点．
(1)试确定点M 的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，平面MDF将几何体ADE－BCF分成两部分，求空间几何体M－DEF与空间几何体ADM－BCF的体积之比．
解 (1) 当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF.
理由如下：
连接CE交DF于点N，连接MN.因为M，N分别是AE，CE的中点，所以MN∥AC.又因为MN⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，所以AC∥平面MDF.
(2)将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－B′CF，如图所示，
三棱柱ADE－B′CF的体积为V＝S△ADE·CD＝eq \f(1,2)×2×2×4＝8，则几何体ADE－BCF的体积VADE－BCF＝VADE－B′CF－VF－BB′C＝8－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq \f(20,3).
因为三棱锥M－DEF的体积
VM－DEF＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×4))×1＝eq \f(4,3)，
所以VADM－BCF＝eq \f(20,3)－eq \f(4,3)＝eq \f(16,3)，
所以两几何体的体积之比为eq \f(4,3)∶eq \f(16,3)＝1∶4.
思导总结
作业布置
1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
答案 B
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2 cm.
2．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )
A．12π B.eq \f(32,3)π
C．8π D．4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2eq \r(3)即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
3．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
答案 80 40
解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的棱长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如图所示，
其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)，体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．
4. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为______．
答案 eq \f(2,3)
解析 设点P到平面ABC，平面A1B1C1的距离分别为h1，h2，则棱柱的高为h＝h1＋h2，又记S＝S△ABC＝，则三棱柱的体积为V＝Sh＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥P－ACC1A1的剩余体积为V′＝VP－ABC＋＝eq \f(1,3)Sh1＋eq \f(1,3)Sh2＝eq \f(1,3)S(h1＋h2)＝eq \f(1,3)，从而＝V－V′＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
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