初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定导学案

一、矩形

1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、性质：

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线平分且相等。

3、判定：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、正方形

1、定义：有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形。

2、性质：

（1）正方形的四条边都相等;

（2）正方形的四个角都是直角。

（3）正方形的两条对角线垂直平分且相等（每一条对角线与边的夹角是45°）

3、判定：

（1）邻边相等的矩形是正方形。

（2）有一个角是直角的菱形是正方形。

（3）对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。

例1：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOD＝60º，AD＝2，

则AB的长为（      ）

A．2          B．4          C．2          D．4

练习1：已知，如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

练习2：如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由矩形的性质2有：

AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

例2 ：已知，如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E。求证：△ACE是等腰三角形。

练习2：已知，如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，于F，若 。求证：CE＝EF。

练习3：在矩形ABCD中，，求这个矩形的周长。

例3：矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将ΔADC沿AC翻折至ΔAEC，AE与BC相交于G，求GC的长。

练习4：如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，求AG的长。

练习5：如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。

矩形的判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）

例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形

矩形的判定2：有三个角是直角的四边形是矩形

例2：已知，如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．

矩形的判定3：对角线相等的平行四边形是矩形

例3：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形。

例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

练习1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

　　求证：OE = OF．

例2点E,F,M,N分别是正方形ABCD四边上的点，且AE=BF=CM=DN,

求证：四边形EFMN是正方形．

证明：

练习2：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

　　求证：四边形PQMN是正方形．

练习1：已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．

练习2：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

练习3：如图所示，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，CE⊥BD于E，OF⊥AB于F，BE：DE=1：3，OF=2cm，求AC的长．

练习4：如图所示，矩形ABCD中，长为7，宽为6，点E、F将BD三等分，求△AEF的面积．

练习5：已知矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE＝EF，CF＝CA。求证：。

8．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：EA⊥AF．

9．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

10、已知，在正方形ABCD中，点G是BC上的任意一点，DE ⊥AG于点E，BF ∥ DE，且交AG于点F，求证：AF—BF=EF

11．（快班做）已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．

1．下列叙述错误的是（     ）．

    A．平行四边形的对角线互相平分          B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

    C．矩形的对角线相等                    D．对角线相等的四边形是矩形

2．下列性质矩形不一定具备的是（      ）．

A．对角线相等    B．四个内角都相等    C．对角线互相平分   D．对角线互相垂直

3．下列说法错误的是（      ）．

A．矩形的对角线互相平分                B．矩形的对角线相等

C．有一个角是直角的四边形是矩形        D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

4. 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（      ）．

A．2对         B．4对         C．6对        D．8对

5．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（      ）．

A.16   B.22   C.26   D.22或26

6．矩形ABCD的长为5，宽为3，点E、F将AC三等分，则△BEF的面积为（      ）．

    A．        D．5

7．已知矩形ABCD的AB=2BC，在CD上取点E，使AE=EB，那么∠EBC等于（      ）．

    A．60°     B．45°     C．30°     D．15°

8．如图1所示，矩形ABCD的对角线交于O，AE⊥BD于E，∠1：∠2=2：1，则∠1的度数为（      ）．

A．22．5°     B．45°     C．30°     D．60°

1．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．

2．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______．

3．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果，那么EF＋EG的长为______．

4．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为__________．

5．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_________°。

6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长_________．

7．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．

8．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，且EB⊥EC．若矩形ABCD的周长为48cm，求矩形ABCD的面积．

9．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．

10．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于F．求证：BF＝EC．

11．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF的关系，并证明．