2018届中考数学提升练习：专题(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度

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【经典母题】
图Z14－1
如图Z14－1，测得两楼之间的距离为32.6 m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度．(精确到0.1 m)
解：略．
【思想方法】 利用解直角三角形测物高是常见的考题，通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．
【中考变形】
图Z14－2
1．[2016·长沙]如图Z14－2，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，
看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为
( A )
A．160eq \r(3) m
B．120eq \r(3) m
C．300 m
D．160eq \r(2) m
图Z14－3
2．[2017·内江]如图Z14－3，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．
(结果保留根号)
【解析】 先求出∠DBE＝30°，∠BDE＝30°，得出BE＝DE，设EC＝x，则BE＝2x，DE＝2x，DC＝3x，BC＝eq \r(3)x，再根据∠DAC＝45°，可得AC＝CD，列出方程求出x的值，即可求出塔ED的高度．
解：由题意，得∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.
又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.
∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.[来源:学&科&网][来源:学*科*网Z*X*X*K]
设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x，DC＝EC＋DE＝3x，
BC＝eq \r(BE2－EC2)＝eq \r(3)x.
∵∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC.
∴eq \r(3)x＋60＝3x，解得x＝30＋10 eq \r(3).DE＝2x＝60＋20 eq \r(3)，
答：塔高约为(60＋20 eq \r(3)) m.
3．[2017·菏泽]如图Z14－4，某小区1号楼与11号楼隔河相望，李明家住在1号楼，他很想知道11号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42 m高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮李明计算11号楼的高度CD.
图Z14－4 中考变形3答图
【解析】 过点A作AE⊥CD于E，分别在Rt△BCD和Rt△ACE中，利用锐角三角函数用BD可以分别表示CE，CD的长，然后根据CD－CE＝AB，即可求得CD长．
解：如答图，过点A作AE⊥CD于E，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝eq \f(CD,BD)，
∴CD＝BD·tan60°＝ eq \r(3)BD，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝eq \f(CE,BD)，
∴CE＝BD·tan30°＝eq \f(\r(3),3)BD，
∴AB＝CD－CE，即eq \r(3)BD－eq \f(\r(3),3)BD＝42，eq \f(2\r(3),3)BD＝42，解得BD＝21 eq \r(3)，
∴CD＝BD·tan60°＝ eq \r(3)BD＝63 m.
答：11号楼的高度CD为63 m.
4．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图Z14－5①)，侧面示意图为图②，使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12 cm.
图Z14－5
(1)求∠CAO′的度数；
(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少厘米？
(3)如图④，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
解：(1)∵O′C⊥AC，O′C＝12 cm，O′A＝OA＝24 cm，
∴sin∠CAO′＝eq \f(O′C,O′A)＝eq \f(12,24)＝eq \f(1,2)，
∴∠CAO′＝30°，
中考变形4答图
(2)如答图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
∵∠BOD＝180°－∠AOB＝60°，
∴BD＝24·sin60°＝12eq \r(3)(cm)，
又∵B′C＝BO＋O′C＝24＋12＝36(cm)，
∴B′C－BD＝(36－12eq \r(3))cm；
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36－12eq \r(3))cm；
(3)120°－90°＝30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
图Z14－6
5．[2017·岳阳]某太阳能热水器的横截面示意图如图Z14－6所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)
解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，∴cs30°＝eq \f(CD,80) ＝eq \f(\r(3),2)，解得CD＝40eq \r(3) cm；
(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，∴tan30°＝eq \f(OC,165)＝eq \f(\r(3),3)，
解得OC＝55eq \r(3) cm，
∴OA＝2OC＝110eq \r(3)(cm)，OB＝OD＝OC－CD＝55eq \r(3)－40eq \r(3)＝15eq \r(3)(cm)，AB＝OA－OB＝110eq \r(3)－15eq \r(3)＝95eq \r(3)(cm)．
6．[2016·泸州]如图Z14－7，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60eq \r(3) m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡比为i＝1∶eq \r(3)的斜坡DB前进30 m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈eq \f(4,3)，结果保留根号)
图Z14－7 中考变形6答图
解：如答图，过点B作BN⊥CD于点N，BM⊥AC于点M.
在Rt△BDN中，BD＝30 m，BN∶ND＝1∶eq \r(3)，∴∠D＝30°.
∴BN＝15 m，DN＝15eq \r(3) m，
∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM＝BN＝15 m，BM＝CN＝60eq \r(3)－15eq \r(3)＝45eq \r(3)(m)，
在Rt△ABM中，tan∠ABM＝eq \f(AM,BM)≈eq \f(4,3)，
∴AM＝60eq \r(3) m，
∴AC＝AM＋CM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15＋60\r(3))) m.
7．[2016·海南]如图Z14－8，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4 m，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
(1)求斜坡CD的高度DE；
(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)

图Z14－8 中考变形7答题
解：(1)在Rt△DCE中，CD＝4 m，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，
∴DE＝eq \f(1,2)CD＝2(m)；
(2)如答图，过点D作DF⊥AB，交AB于点F.
∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF＝DF＝x(m)，
∵∠DEC＝∠EAF＝∠AFD＝90°，
∴四边形DEAF为矩形，
∴AF＝DE＝2 m，即AB＝(x＋2)m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝eq \f(AB,cs30°)＝eq \f(x＋2,\f(\r(3),2))＝eq \f(2x＋4,\r(3))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)（2x＋4）,3))) m，
BD＝eq \r(2)BF＝eq \r(2)x m，DC＝4 m，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得2x2＝eq \f(（2x＋4）2,3)＋16，解得x＝4＋4eq \r(3)或4－4eq \r(3)(舍去)，
∴AB＝(6＋4eq \r(3))m.
【中考预测】
某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图Z14－9①，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30 cm.
(1)如图②，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；
(2)如图③，当∠BAC＝12°时，求AD的长．(结果保留根号，参考数据：sin24°≈0.40，cs24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20)
图Z14－9
解：(1)∵∠BAC＝24°，CD⊥AB，
∴sin24°＝ eq \f(CD,AC)，
∴CD＝ACsin24°≈30×0.40＝12(cm)；
∴支撑臂CD的长为12 cm；
中考预测答图
(2)如答图，过点C作CE⊥AB于点E，
当∠BAC＝12°时，sin12°＝ eq \f(EC,AC)＝eq \f(EC,30)，
∴CE≈30×0.20＝6，
∵CD＝12，∴DE＝6 eq \r(3)，
∴AE＝eq \r(302－62)＝12eq \r(6) cm，
∴AD的长为(12eq \r(6)＋6eq \r(3))cm或(12eq \r(6)－6eq \r(3))cm.