高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示课后复习题

2.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

课时过关·能力提升

基础巩固

1.在向量正交分解中,两基底的夹角等于(　　)

A.45° B.90° 

C.180° D.不确定

答案:B

2.如图,向量的坐标是(　　)

A.(1,1) 

B.(-1,-2)

C.(2,3) 

D.(-2,-3)

答案:D

3.若向量=(x,y)(O为原点)的终点A位于第二象限,则(　　)

A.x>0,y>0 B.x>0,y<0

C.x<0,y>0 D.x<0,y<0

解析:∵=(x,y),∴A(x,y).

又点A在第二象限,∴x<0,y>0.

答案:C

4.在平面直角坐标系中,已知i,j是两个互相垂直的单位向量,若a=i-2j,则向量用坐标表示a=　　　　　. 

答案:(1,-2)

5.已知m=(2,7),n=(x+2,7),若m=n,则x=　　　　　. 

解析:∵2=x+2,∴x=0.

答案:0

6.如图,向量的坐标是　　　　. 

答案:(2,-3)

7.如图,分别用基底i,j表示向量a,b,并写出它们的坐标.

解：a=i+2j,b=i-2j,

即a=(1,2),b=(1,-2).

能力提升

1.下列可作为正交分解的基底的是(　　)

A.等边三角形ABC中的

B.锐角三角形ABC中的

C.直角三角形ABC中的,且∠A=90°

D.钝角三角形ABC中的

解析:选项A中,的夹角为60°;选项B中,的夹角为锐角;选项D中,的夹角为锐角或钝角,所以选项A,B,D都不符合题意.选项C中,的夹角为∠A=90°,则选项C符合题意.

答案:C

2.★如果将绕原点O逆时针方向旋转120°得到,那么的坐标是(　　)

A. B.

C.(-1,) D.

解析:因为所在直线的倾斜角为30°,绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°,所以A,B两点关于y轴对称,由此可知点B坐标为,故的坐标是,故选D.

答案:D

3.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　　)

A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2)

解析:∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),

∴a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).

令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),

∴解得

∴a在基底m,n下的坐标为(0,2).

答案:D

4.★如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　. 

解析:设AB=1,则AC=1,BC=,ED=,BD=,过点D作DF⊥AB,交AB的延长线于点F,如图,

∴DF=,BF=.

∴.

∴x=1+,y=.

答案:1+

5.在平面直角坐标系中,质点在坐标平面内做直线运动,分别求下列位移向量的坐标.

(1)向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度;

(2)向量b表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度;

(3)向量c表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度.

解:如图,设=a,=b,=c,P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).

设x轴、y轴正方向的单位向量分别为i,j.

(1)因为∠POP'=45°,||=2,

所以a=i+j,

所以a=().

(2)因为∠QOQ'=60°,||=4,

所以b==-2i+2j,

所以b=(-2,2).

(3)因为∠ROR'=30°,||=6,

所以c==3i-3j,

所以c=(3,-3).