人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示测试题

2.3 第2课时 平面向量的正交分解、坐标表示与坐标运算

一、选择题

1．(08·四川)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝(　　)

A．(7,3)　　  B．(7,7)　　

C．(1,7)　　  D．(1,3)

[答案]　A

[解析]　a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)，故选A.

2．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)

A．(6,9)    B．(5,4)

C．(7,14)    D．(9,24)

[答案]　B

[解析]　＝(－1，－5).＝3a＝(6,9)，

故＝＋＝(5,4)，

故点B坐标为(5,4)．

3．原点O在正六边形ABCDEF的中心，＝(－1，－)，＝(1，－)，则等于(　　)

A．(2,0)    B．(－2,0)

C．(0，－2)   D．(0，)

[答案]　A

[解析]　∵正六边形中，OABC为平行四边形，

∴＝＋，

∴＝－＝(2,0)．

4．(09·湖北理)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝(　　)

A．{(1,1)}    B．{(－1,1)}

C．{(1,0)}    D．{(0,1)}

[答案]　A

[解析]　根据题意知，a＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，b＝(1,1)＋n(－1，1)＝(1－n,1＋n)，

令a＝b得，，解得，∴a＝(1,1)＝b.

∴P∩Q＝{(1,1)}．

5．(08·辽宁文)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)

A.    B.

C．(3,2)    D．(1,3)

[答案]　A

[解析]　＝(3,1)－(－1，－2)＝(4,3)，

2＝2(x，y－2)＝(2x,2y－4)

∵＝2，

∴，解得，故选A.

6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)

A.     B. 

C．－    D．－

[答案]　A

[解析]　∵＝2，

∴－＝2(－)，

∴＝＋.

又∵＝＋λ，∴λ＝.

7．(08·辽宁理)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　)

A．2－   B．－＋2

C.－   D．－＋

[答案]　A

[解析]　∵2＋＝0，

∴2(－)＋(－)＝0，

∴＋－2＝0，∴＝2－.

8．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝α＋β，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y－2)2＝5

B．3x＋2y－11＝0

C．2x－y＝0

D．x＋2y－5＝0

[答案]　D

[分析]　求轨迹方程的问题求哪个点的轨迹设哪个点的坐标，故设C(x，y)，据向量的运算法则及向量相等的关系，列出关于α、β、x、y的关系式，消去α、β即得．

[解析]　解法1：设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)．由＝α＋β得

(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)．

于是

由(3)得β＝1－α代入(1)(2)消去β得，.

再消去α得x＋2y＝5，

即x＋2y－5＝0.∴选D.

解法2：由平面向量共线定理，当＝α＋β，α＋β＝1时，A、B、C三点共线．

因此，点C的轨迹为直线AB，

由两点式直线方程得＝，

即x＋2y－5＝0.∴选D.

9．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为(　　)

A．2a－b    B．－a＋2b

C．a－2b    D．a＋2b

[答案]　C

[解析]　设c＝xa＋yb，∴(3，－5)＝(x－y，－x＋2y)，

∴，解之得，

∴c＝a－2b，故选C.

10．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(　　)

A．(1，－1)   B．(－1,1)

C．(－4,6)    D．(4，－6)

[答案]　D

[解析]　设c＝(x，y)，∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，∴4a＝(4，－12),3b－2a＝(－8,18)．

又由表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a＋(3b－2a)＋c＝0，

即(4，－12)＋(－8,18)＋(x，y)＝(0,0)，

∴x＝4，y＝－6，∴c＝(4，－6)．

二、填空题

11．已知＝(2，－1)，＝(－4,1)，则的坐标为________．

[答案]　(－6,2)

[解析]　＝－＝(－6,2)．

12．在坐标平面内，已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：

①直线OC与直线BA平行；

②＋＝；

③＋＝；

④＝－2.

其中所有正确命题的序号为________．

[答案]　①③④

[解析]　①∵＝(－2,1)，＝(2，－1)，

∴＝－(2，－1)＝－，

又OC，BA不共线，∴OC∥BA，∴①正确；

②∵＋＝≠，∴②错误；

③∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；

④∵＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)

＝(－4,0)，∴④正确．

13．已知点A(7,1)，B(1,4)，若直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a＝________.

[答案]　1

[解析]　设C(x0，ax0)，则＝(x0－7，ax0－1)，＝(1－x0,4－ax0)，

∵＝2，∴，解之得.

14．已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，＝α，＝β，则＋的值为________．

[答案]　3

[解析]　连结AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴＝＝(＋)，

设＝λ，

∴－＝λ(－)，

∴＝＋，

∴＋＝＋，

∵与不共线，

∴，∴，∴＋＝3.

三、解答题

15．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.

[解析]　因为A(7,8)，B(3,5)C(4,3)

所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．

又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC的中点，

所以F为AD的中点，

故有＝＝－＝(1.75,2)．

[点评]　注意向量表示的中点公式，M是A、B的中点，O是任一点，则＝(＋)．

16．如图所示，在▱ABCD中，已知＝，＝.

求证：B、F、E三点共线．

[证明]　设＝a，＝b.则＝＋＝a＋b.

∵＝b－a，∴＝＝(b－a)．

∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b－a

＝a＋b＝.

∴＝.

∴向量与向量共线，它们有公共点B.

∴B、F、E三点共线．

17．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．

[解析]　设M(x0，y0)，N(x，y)，

由＝2，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，

所以，又∵M(x0，y0)在圆C上，

把x0、y0代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，

整理得x2＋y2＝1，

所以所求的轨迹方程为x2＋y2＝1.