高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示练习题

2.3.4　平面向量共线的坐标表示

课时过关·能力提升

基础巩固

1.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y= (　　)

A.13 B.-13 C.9 D.-9

解析:=(-8,8),=(11,y-2),因为,

所以-8(y-2)-8×11=0,解得y=-9.

答案:D

2.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为(　　)

A. B.2 C.- D.-2

解析:ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),由ma+4b与a-2b共线,有-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2,故选D.

答案:D

3.下列向量与a=(1,3)共线的是(　　)

A.(1,2) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(2,6)

答案:D

4.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,则2a-b= (　　)

A.(4,0) B.(0,4) C.(4,-8) D.(-4,8)

解析:由a∥b知4+2m=0,

∴m=-2,2a-b=(2,-4)-(-2,4)=(4,-8).

故选C.

答案:C

5.若向量a=(x,1),b=(4,x),则当x=　　　　时,a与b共线且方向相同. 

解析:∵a=(x,1),b=(4,x),若a∥b,则x2-4=0,即x2=4,∴x=±2.当x=-2时,a和b方向相反;当x=2时,a与b方向相同.

答案:2

6.若三点A(-2,-2),B(0,m),C(n,0)(mn≠0)共线,则的值为　　　　　. 

解析:=(2,m+2),=(n+2,2).

∵A,B,C三点共线,∴,

∴2×2-(m+2)(n+2)=0,

即mn+2m+2n=0.∵mn≠0,∴=-.

答案:-

7.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则x=　　　　　. 

解析:=(1,-5),=(x-1,-10),

因为共线,

所以1×(-10)-(-5)(x-1)=0,解得x=3.

答案:3

8.已知点P1(2,-1),点P2(-1,3),点P在线段P1P2上,且||=|,求点P的坐标.

解:设点P的坐标为(x,y),

由于点P在线段P1P2上,则有.

又=(x-2,y+1),=(-1-x,3-y),

由题意得解得

故点P的坐标为.

9.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,求实数m应满足的条件.

分析:转化为求三点A,B,C不共线时m满足的条件.

解:若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,即不共线.

又=(3,1),=(2-m,1-m),故知3(1-m)≠2-m,则m≠.故m满足的条件为m≠.

10.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),,求证:.

证明设E(x1,y1),F(x2,y2).

∵=(2,2),=(-2,3),=(4,-1),

∴,

.

∴(x1,y1)-(-1,0)=,

(x2,y2)-(3,-1)=.

∴(x1,y1)=,(x2,y2)=.

∴=(x2,y2)-(x1,y1)=.

∵4×-(-1)×=0,∴.

能力提升

1.已知向量a=(1,1),b=(-1,0),λa+μb与a-2b共线,则=(　　)

A. B.2 C.- D.-2

解析:λa+μb=(λ-μ,λ),a-2b=(3,1),由共线条件可得,λ-μ=3λ,即=-.

答案:C

2.已知向量a=(3,4),b=(sin α,cos α),且a∥b,则tan α等于(　　)

A. B.- C. D.-

解析:∵a∥b,∴3cos α-4sin α=0.

∴4sin α=3cos α.∴tan α=.

答案:A

3.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞,0)∪(0,+∞)

B.(-∞,3)

C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)

D.[-3,3)

解析:若平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则向量a,b不共线,由a=(1,3),b=(m,2m-3),得2m-3≠3m,解得m≠-3,即实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,+∞).

答案:C

4.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=　　　　　. 

解析:a-2b=(,3).因为a-2b与c共线,

所以,解得k=1.

答案:1

5.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述正确的序号是　　　　　. 

①存在实数x,使a∥b;②存在实数x,使(a+b)∥a;③存在实数x,m,使(ma+b)∥a;④存在实数x,m,使(ma+b)∥b.

解析:若a∥b,则x2=-9,显然不成立,即①错;同理可得②③错,只有④正确,可令m=0,则ma+b=b,无论x为何值,都有b∥b.

答案:④

6.★已知点A(2,3),B(6,-3),P是线段AB上靠近A的一个三等分点,则点P的坐标是　　　　　　　　　　. 

解析:设P(x,y),由题意得,

即(x-2,y-3)=(4,-6),

解方程组

答案:

7.★在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),交于点M,求点M的坐标.

解:∵(0,5)=,∴C.

∵(4,3)=,∴D.

设M(x,y),则=(x,y-5),

,

-(0,5)=.

∵,∴-x-2(y-5)=0,

即7x+4y=20.①

∵,∴x-4=0,

即7x-16y=-20.②

联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.

8.过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,过A,B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C,D两点.求证:O,C,D三点在一条直线上.

证明设A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),

则=(x1,log8x1),=(x2,log8x2),

根据已知共线,

所以x1log8x2-x2log8x1=0.

又根据题设条件可知C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),

所以=(x1,log2x1),=(x2,log2x2).

因为x1log2x2-x2log2x1=x1lo-x2lo

=3(x1log8x2-x2log8x1)=0,

所以共线,

又有公共点O,

所以O,C,D三点在一条直线上.