人教版新课标A第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示当堂达标检测题

2.3　平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1　平面向量基本定理

课时过关·能力提升

基础巩固

1.如图,在△ABC中,,EF∥BC,EF交AC于F,设=a,=b,则等于(　　)

A.-a+b 

B.a-b

C.a-b 

D.a+b

解析:∵,EF∥BC,∴.

∴b-a.

答案:A

2.下列三种说法:①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量.其中正确的说法是(　　)

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

答案:B

3.已知向量a与b是不共线的非零向量,实数x,y满足(2x-y)a+4b=5a+(x-2y)b,则x+y的值是(　　)

A.-1 B.1 C.0 D.3

解析:∵a与b不共线,且(2x-y)a+4b=5a+(x-2y)b,

∴解得∴x+y=1.

答案:B

4.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有+λ,则λ等于(　　)

A. B. C.- D.-

解析:因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使=t,则=t().

所以+t()=(1-t)+t.

所以解得λ=-.

答案:C

5.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=(　　)

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a+b

解析:=a+

=a+(b-a)

=a+b.

答案:D

6.若a与b是一组基底,p=a+mb,q=ma+2b,且p与q不能组成一组基底,则实数m=　　　　. 

解析:∵p与q不能组成一组基底,

∴p∥q,

∴存在实数λ,使p=λq,

∴有a+mb=λ(ma+2b),

即a+mb=λma+2λb,

∴解得m=±.

答案:±

7.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且a与b是一组基底,则实数λ的取值范围是　　　　. 

解析:当a∥b时,设a=mb,则有e1+2e2=m(λe1+e2),即e1+2e2=mλe1+me2,

∴解得λ=,

即当λ=时,a∥b.

又a与b是一组基底,

∴a与b不共线,

∴λ≠.

答案:

8.如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.

解:=b-a,

∵O是BD的中点,G是DO的中点,

∴(b-a),

∴

=a+(b-a)

=a+b.

9.已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,=a,=b,用a,b表示向量.

解:设AD,BE交于点G,连接DE,如图,则DE∥AB,且,

∴a,b.

∵b+a,

∴=2b+a.

能力提升

1.如图,在平面直角坐标系xOy中,两个非零向量与x轴正半轴的夹角分别为,向量满足=0,则与x轴正半轴夹角的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

答案:B

2.如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点P,若=m+3m=λ,则λ=(　　)

A. B.

C. D.

解析:由,且共线,

∴存在实数μ,使=μ=μ(m+3m).

∵=λ,

∴μ(m+3m)-=λ(),

即解得λ=,故选C.

答案:C

3.在△ABC中,点D,E分别是边AC,AB上的点,且满足=λ+μ,则λ-μ=　　　　　. 

解析:∵,

∴.

∴)=.

∴λ-μ=-=-.

答案:-

4.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则a与b的夹角等于　　　　　. 

解析:如图,=a,=b,=a+b,则OB=2,BC=1,∠BCO=90°,∴∠BOC=30°.∴∠AOB=120°,即a与b的夹角为120°.

答案:120°

5.★如图,不共线,=t(t∈R),用表示=　　　　. 

解析:∵=t,∴+t+t()=+t-t=(1-t)+t.

答案:(1-t)+t

6.已知a,b是非零向量,且a,b的夹角为,若向量p=,则|p|=　　　　. 

解析:是与a同向的单位向量,是与b同向的单位向量,如图所示,作,则∠AOB=,则△AOB是边长为1的等边三角形.

以OA,OB为邻边作▱OACB,则=p,且▱OACB是菱形,所以AB与OC互相垂直平分,所以|p|=||=2||=2×|=.

答案:

7.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.

解:如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则.

在Rt△OCD中,∵||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,

∴||=4,||=2,故=4=2,

即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6.

8.如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点,若=x=y.试问:是否为定值?

解:设=a,=b,则=xa,=yb,)=(a+b).

所以(a+b)-xa=a+b,=yb-xa=-xa+yb.

因为共线,

所以存在实数λ,使=λ.

所以a+b=λ(-xa+yb)=-λxa+λyb.

因为a与b不共线,所以

消去λ,得=4,所以为定值.